高中数学典型例题解析平面解析几何文档格式.doc
《高中数学典型例题解析平面解析几何文档格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学典型例题解析平面解析几何文档格式.doc（34页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
（2）对于直线1∶，2∶，当1，2，1，2都不为零时，有以下结论：
①1∥2=≠②1⊥212+12=0
③1与2相交≠④1与2重合==
7．点到直线的距离公式.
（1）已知一点P（）及一条直线：
，则点P到直线的距离d=；
（2）两平行直线1:
，2:
之间的距离d=.
8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。
圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系
（1）圆的标准方程：
，其中（，b）是圆心坐标，是圆的半径；
（2）圆的一般方程：
（＞0），圆心坐标为（-，-），半径为=.
二、疑难知识导析
1．直线与圆的位置关系的判定方法.
（1）方法一 直线：
；
圆：
.
一元二次方程
（2）方法二 直线:
；
，圆心（，b）到直线的距离为
d=
2．两圆的位置关系的判定方法.
设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为1，2，|O1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下：
|O1O2|>
1+2两圆外离；
|O1O2|=1+2两圆外切；
|1-2|<
|O1O2|<
1+2两圆相交；
|O1O2|=|1-2|两圆内切；
0<
|O1O2|<
|1-2|两圆内含.
三、经典例题导讲
［例1］直线l经过P（2,3）,且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程.
错解：
设直线方程为:
又过P（2,3）,∴,求得a=5
∴直线方程为x+y-5=0.
错因：
直线方程的截距式:
的条件是:
≠0且b≠0,本题忽略了这一情形.
正解：
在原解的基础上,再补充这样的过程:
当直线过（0,0）时,此时斜率为:
∴直线方程为y=x
综上可得:
所求直线方程为x+y-5=0或y=x.
［例2］已知动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A（1,3）的距离的平方,求动点P的轨迹方程.
设动点P坐标为（x,y）.由已知3
化简3=x2-2x+1+y2-6y+9.
当x≥0时得x2-5x+y2-6y+10=0.①
当x＜0时得x2+x+y2-6y+10=0.②
上述过程清楚点到y轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得
（x-）2+（y-3）2=①和（x+）2+（y-3）2=-②
两个平方数之和不可能为负数,故方程②的情况不会出现.
接前面的过程,∵方程①化为（x-）2+（y-3）2=,方程②化为（x+）2+（y-3）2=-,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P的轨迹方程为:
（x-）2+（y-3）2=（x≥0）
［例3］m是什么数时，关于x,y的方程（2m2+m-1）x2+（m2-m+2）y2+m+2=0的图象表示一个圆？
欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要A=C≠0，
得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，
∴当m=1或m=-3时，x2和y2项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆
A=C，是Ax2+Cy2+F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是：
A=C≠0且＜0.
（1）当m=1时，方程为2x2+2y2=-3不合题意，舍去.
（2）当m=-3时，方程为14x2+14y2=1,即x2+y2=,原方程的图形表示圆.
［例4］自点A（-3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7＝0相切，求光线L所在的直线方程.
设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称，L过点A（-3，3），点A关于x轴的对称点A′（-3，-3），于是L′过A（-3，-3）.
设L′的斜率为k，则L′的方程为y-（-3）＝k［x-（-3）］，即kx-y+3k-3＝0，
已知圆方程即（x-2）2+（y-2）2＝1，圆心O的坐标为（2，2），半径r＝1
因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1
即
整理得12k2-25k+12＝0
解得k＝ L′的方程为y+3＝（x+3）
即4x-3y+3＝0 因L和L′关于x轴对称
故L的方程为4x+3y+3＝0.
漏解
设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称，L过点A（-3，3），点A关于x轴的对称点A′（-3，-3）， 于是L′过A（-3，-3）.
已知圆方程即（x-2）2+（y-2）2＝1，圆心O的坐标为（2，2），半径r＝1
因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1
解得k＝或k＝
L′的方程为y+3＝（x+3）;
或y+3＝（x+3）。
即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0
因L和L′关于x轴对称
故L的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0.
［例5］求过直线和圆的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：
（1）过原点；
（2）有最小面积.
解：
设所求圆的方程是：
即：
（1）因为圆过原点，所以，即
故所求圆的方程为：
（2）将圆系方程化为标准式，有：
当其半径最小时，圆的面积最小，此时为所求.
故满足条件的圆的方程是.
点评：
（1）直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；
当然也可以待定系数法。
（2）面积最小时即圆半径最小。
也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面积最小.
［例6］（06年辽宁理科）已知点A（），B（）（≠0）是抛物线上的两个动点，O是坐标原点，向量满足｜｜＝｜｜.设圆C的方程为
（1）证明线段AB是圆C的直径；
（2）当圆C的圆心到直线的距离的最小值为时，求的值.
（1）证明 ∵｜｜＝｜｜，∴（）2＝（）2，
整理得：
＝0 ∴＋＝0
设M（）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则＝0
即 ＋＝0
整理得：
故线段AB是圆C的直径.
（2）设圆C的圆心为C（），则
∵，
∴
又∵＋＝0 ，＝－
∴－
∵≠0，∴≠0
∴＝－4
＝
所以圆心的轨迹方程为
设圆心C到直线的距离为ｄ，则
＝
当＝时，ｄ有最小值，由题设得＝
∴＝2.
四、典型习题导练
1．直线截圆得的劣弧所对的圆心角为（）
A.B.C.D.
2.已知直线x=a（a＞0）和圆（x-1）2+y2=4相切，那么a的值是（）
A.5B.4C.3D.2
3.如果实数x、y满足等式（x-2）2+y2＝３，则的最大值为：
.
4.设正方形ABCD（A、B、C、D顺时针排列）的外接圆方程为x2+y2-6x+a=0（a<
9），C、D点所在直线l的斜率为.
（1）求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率；
（2）如果在x轴上方的A、B两点在一条以原点为顶点，以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程；
（3）如果ABCD的外接圆半径为2，在x轴上方的A、B两点在一条以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程.
5.如图，已知圆C：
（x+4）2+y2=4。
圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切。
圆D与y轴交于A、B两点，点P为（-3，0）.
（1）若点D坐标为（0，3），求∠APB的正切值；
（2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的正切值的最大值；
（3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？
如果存在，求出点Q坐标；
如果不存在，说明理由.
7.2圆锥曲线
1．椭圆定义：
在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹
2．椭圆的标准方程：
，（）
3椭圆的第二定义:
一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率
椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式
4．椭圆的准线方程
对于，左准线；
右准线
对于，下准线；
上准线
5.焦点到准线的距离（焦参数）
椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称
6椭圆的参数方程
7．双曲线的定义：
平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距
8．双曲线的标准方程及特点：
（1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：
焦点在轴上时双曲线的标准方程为：
（,）；
焦点在轴上时双曲线的标准方程为：
（,）
（2）有关系式成立，且
其中与b的大小关系:
可以为
9焦点的位置:
从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；
项的系数是正的，那么焦点在轴上
10．双曲线的几何性质：
（1）范围、对称性
由标准方程，从横的方向来看，直线x=-,x=之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心
（2）顶点
顶点：
，特殊点：
实轴：
长为2,叫做半实轴长虚轴：
长为2b，b叫做虚半轴长
双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异
（3）渐近线
过双曲线的渐近线（）
（4）离心率
双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率范围：
双曲线形状与e的关系：
，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔
11．双曲线的第二定义：
到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线常数e是双曲线的离心率．
12．双曲线的准线方程：
对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线；
焦点到准线的距离（也叫焦参数）
对于来说，相对于上焦点对应着上准线；
相对于下焦点对应着下准线
抛物线
图形
焦点
准线
13抛物线定义：
平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线
椭圆、双曲线、抛物线同属于圆锥曲线，它们的定义、标准方程及其推导过程以及简单的几何性质都存在着相似之处，也有着一定的区别,因此，要准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系
1．等轴双曲线
定义：
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：
（1）渐近线方程为：
（2）渐近线互相垂直；
（3）离心率
2．共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：
或写成
3．共轭双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法：
将1变为-1
4．抛物线的几何性质
（1）范围
因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标（x，y）满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；
当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
（2）对称性
以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
（3）顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点．
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．
19抛物线的焦半径公式：
抛物线，
抛物线，
[例1]设双曲线的渐近线为：
，求其离心率.
由双曲线的渐近线为：
，可得：
，从而
剖析：
由双曲线的渐近线为是不能确定焦点的位置在x轴上的，当焦点的位置在y轴上时，，故本题应有两解，即：
或.
［例2］设点P（x,y）在椭圆上，求的最大、最小值.
因∴，得：
，同理得：
，故∴最大、最小值分别为3,-3.
本题中x、y除了分别满足以上条件外，还受制约条件的约束.当x=1时,y此时取不到最大值2,故x+y的最大值不为3.其实本题只需令，则，故其最大值为，最小值为.
［例3］已知双曲线的右准线为，右焦点,离心率,求双曲线方程.
错解一：
故所求的双曲线方程为
错解二：
由焦点知
故所求的双曲线方程为
这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。
由于判断错误，而造成解法错误。
随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法.
解法一：
设为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为，右焦点，离心率，由双曲线的定义知整理得
解法二：
依题意，设双曲线的中心为,
则解得,所以
故所求双曲线方程为
［例4］设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的最远距离是，求这个椭圆的方程.
依题意可设椭圆方程为
则，
所以，即
设椭圆上的点到点的距离为，
则
所以当时，有最大值，从而也有最大值。
所以，由此解得：
于是所求椭圆的方程为
尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。
结果正确只是碰巧而已。
由当时，有最大值，这步推理是错误的，没有考虑到的取值范围.事实上，由于点在椭圆上，所以有，因此在求的最大值时，应分类讨论.
若，则当时，（从而）有最大值.
于是从而解得.
所以必有，此时当时，（从而）有最大值，
所以，解得
［例5］从椭圆,（>
b>
0）上一点M向x轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F1，A、B分别是椭圆长、短轴的端点，AB∥OM设Q是椭圆上任意一点，当QF2⊥AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若⊿F1PQ的面积为20，求此时椭圆的方程
本题可用待定系数法求解
∵b=c,=c，可设椭圆方程为
∵PQ⊥AB,∴kPQ=-，则PQ的方程为y=（x-c），
代入椭圆方程整理得5x2-8cx+2c2=0，
根据弦长公式，得,
又点F1到PQ的距离d=c
∴,由
故所求椭圆方程为
［例6］已知椭圆：
，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长
a=3,b=1,c=2;
则F（-2，0）
由题意知：
与联立消去y得：
设A（、B（，则是上面方程的二实根，由违达定理，
，又因为A、B、F都是直线上的点，
所以|AB|=
也可利用“焦半径”公式计算
［例7］（06年全国理科）设P是椭圆短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求｜PQ｜的最大值.
依题意可设P（0,1），Q（），则｜PQ｜＝，又因为Q在椭圆上，所以，，｜PQ｜2＝＝
＝.
因为≤1，＞1，若≥，则≤1，当时，｜PQ｜取最大值；
若1＜＜，则当时，｜PQ｜取最大值2.
［例8］已知双曲线的中心在原点，过右焦点F（2，0）作斜率为的直线，交双曲线于M、N两点，且=4，求双曲线方程
设所求双曲线方程为，由右焦点为（2，0）知C=2，b2=4-2
则双曲线方程为，设直线MN的方程为：
，代入双曲线方程整理得：
（20-82）x2+122x+54-322=0
设M（x1,y1）,N（x2,y2）,则，
解得 ，
故所求双曲线方程为：
利用待定系数法求曲线方程，运用一元二次方程的根与系数关系将两根之和与积整体代入，体现了数学的整体思想，也简化了计算，要求学生熟练掌握
1.设双曲线两焦点为F1、F2,点Q为双曲线上除顶点外的任一点,过F1作∠F1QF2的平分线的垂线,垂足为P,则点P的轨迹是 （）
A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分
C.抛物线的一部分D.圆的一部分.
2．已知点（-2，3）与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离是5，则p=.
3.平面内有两定点上，求一点P使取得最大值或最小值，并求出最大值和最小值.
4.已知椭圆的离心率为.
（1）若圆（x-2）2+（y-1）2=与椭圆相交于A、B两点且线段AB恰为圆的直径，求椭圆方程；
（2）设L为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于M、N两点，且L的倾斜角为600，求的值.
5.已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值．
6.线段AB过x轴正半轴上一点M（m,0）（m>
0），端点A、B到x轴距离之积为，以x轴为对称轴，过A，O，B三点作抛物线
（1）求抛物线方程；
（2）若的取值范围
7.3点、直线和圆锥曲线
1．点M（x0，y0）与圆锥曲线C：
f（x，y）=0的位置关系
已知（a＞b＞0）的焦点为F1、F2,（a＞0,b＞0）
的焦点为F1、F2，（p＞0）的焦点为F，一定点为P（x0，y0），M点到抛物线的准线的距离为d，则有：
上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明．
2．直线∶Ax＋B＋C=0与圆锥曲线C∶f（x，y）＝0的位置关系：
直线与圆锥曲线的位置关系可分为：
相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；
对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：
设直线:
Ax+By+C=0,圆锥曲线C:
f（x,y）=0,由
消去y（或消去x）得:
ax2+bx+c=0,△=b2-4ac,（若a≠0时），
△＞0相交△＜0相离△=0相切
注意：
直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．
1．椭圆的焦半径公式：
（左焦半径）,（右焦半径）,其中是离心率。
焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：
（其中分别是椭圆的下上焦点）.
焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关可以记为：
左加右减，上减下加.
2．双曲线的焦半径
双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径.
焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：
焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：
（其中分别是双曲线的下上焦点）
3．双曲线的焦点弦：
过焦点的直线割双曲线所成的相交弦。
焦点弦公式：
当双曲线焦点在x轴上时，
过左焦点与左支交于两点时：
过右焦点与右支交于两点时：
。
当双曲线焦点在y轴上时，
4．双曲线的通径：
过焦点且垂直于对称轴的相交弦.
5．直线和抛物线
（1）位置关系：
相交（两个公共点或一个公共点）；
相离（无公共点）；
相切（一个公共点）.
联立，得关于x的方程
当（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）；
当，则
若，两个公共点（交点）；
，一个公共点（切点）；
，无公共点（相离）.
（2）相交弦长：
弦长公式：
（3）焦点弦公式：
抛物线，.
抛物线，.
（4）通径：
过焦点且垂直于对称轴的相交弦通径：
（5）常用结论：
和
和.
[例1]求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点.
设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为
，消去得整理得
直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为
①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切.②当所求直线斜率为零时，直线为y=1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点.③一般地，设所求的过点的直线为,则，
令解得k=,∴ 所求直线为
综上，满足条件的直线为：
[例2]已知曲线C：
与直线L：
仅有一个公共点，求m的范围.
曲线C：
可化为①，联立，得：
，由Δ＝0,得.
方程①与原方程并不等价，应加上.
原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.（如图），结合图形易求得m的范围为.
在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错.
[例3]已知双曲线，过P（1,1）能否作一条直线L与双曲线交于A、B两点，且P为AB中点.
（1）过点P且与x轴垂直的直线显然不符合要求.
（2）设过P的直线方程为，代入
升级会员 