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1、第十五章 多面体与旋转体91一、多面体的概念与性质 91二、旋转体的概念与性质 92三、多面体与旋转体的体积 94第十六章 排列组合与二项式定理97一、计数原理 97二、排列与组合 97三、二项式定理 98第十七章 概率与统计初步100一、概率初步100二、统计初步102第一章 集合与命题、充要条件一、集合1.集合的有关概念集合的定义：具有某种共同的确定的属性的元素的全体。用大写的英文字母表示：A, B, C,L,其中的元素用小写的英文字母表示： a, b, cL集合与元素的关系： x 属于 A ： x A ； x 不属于 A ： x A ;集合中元素的基本性质：确定性、互异性、无序性；集合的

2、分类：按元素个数分：有限集、无限集；空集、一元集、多元集。 空集的特点：没有元素的集合称为空集，记作 ； 0, 0, , 0, ; 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。按元素性质分：数集、点集等。x -1A = x | y = 表示函数的定义域；A = y | y =表示函数的值域；A = f （x） | f （x） = 表示一个函数组成的集合；- 104 -A = （ x, y ） | y = 表示曲线上的点组成的集合；集合的表示方法：*列举法：a1, a2 , a3 L；描述法：x | x 的属性 ；字母法：N N Z Q R C；其中： N * :正整数集， N : 自然数集，

3、I : 虚数集， C :复数集；2.子集的概念与性质Z :整数集，Q : 有理数集，CRQ : 无理数集， R : 实数集，子集的定义： A B : A B；集合与集合的关系： A 是 B 的子集： A 是 B 的真子集： A B ； B 中至少含有一个元素不属于 A ；A 不是 B 的子集： A A 与 B 相等： A = B A B 且 B 子集的性质： A， A（ A ）, A A； A = B ： B, 且 B A B, B C C ； A B CU B CU A A I B = A A U B = B A I CU B = CU A U B = U ;子集个数公式：集合 A 含有 n

4、 个元素，则:集合 A 的子集个数为 2n ，真子集个数为 2n -1 ，非空子集个数为2n -1，非空真子集个数为 2n - 2 。3.集合的运算交集： A I B = x | x A 且 x B；交集的性质： A I B = B I A; A I A = A; A I = ; A I B A; B;并集： A U B = x | x A 或 x 并集的性质： A U B = B U A; A U A = A; A U = A; A U B 补集： CI A = x | x I 且 x A；其中 I 称为全集。补集的性质： I ;CI A A I CI A = A U CI A = I ;C

5、I （CI A） = A;注：补集思想在解题中有着很重要的作用；4.Ven 图两个集合的Ven 图： A I B： A I CI B： B I CI A ： CI A I CI B三个集合的Ven 图： A I B I C A I B I CIC A I C I CI B： B I C I CI A： A I CI B I CIC： B I CIC I CI A： C I CI A I CI B： CI A I CI B I CIC5.集合运算律交换律： A I B = B I A，A U B = B U A；结合律： （ A I B） I C = A I （B I C），（ A U B） U

6、 C = A U （B U C）；分配律： （ A I B） U C = （ A U C） I （B U C），（ A U B） I C = （ A I C） U （B I C）；摩根定律： CI （ A I B） = CI A U CI B，CI （ A U B） = CI A I CI B；二、命题 1.命题的定义：一个可以确定真假的判断语句叫作一个命题。 其形式均可改写为：“如果K ，那么K 。”或“若K ，则K 。” 2.命题的分类按正确与否分：真命题，假命题； 真假命题的判断方法：判断真命题，需要证明；判断假命题，只需举一个反例即可。按命题形式分：简单命题，复合命题； 3.复合命题的

7、形式逻辑与： P 且 Q ，记作 P Q ,一假必假；逻辑或： P 或 Q ，记作 P Q ,一真必真；逻辑非：非 P ，记作 P ,真假互换；4.命题的四种形式四种形式：原命题： p q; 逆命题： q p; 否命题： p q; 逆否命题：q p;四种形式的有关结论：否命题是条件与结论均否，不同于命题的否定形式，即非命题；原命题等价于逆否命题，逆命题与否命题等价；原命题为真，则逆否命题为真，逆命题与否命题不一定为真；对于以否定形式出现的问题，通常转化为其等价命题来判定； 5.语句的否定形式原语句反设词是（等于）不是（不等于）都是不都是一定是不一定是整数非整数至少有一个一个也没有至多有一个至少

8、有两个至多有 n 个至少有 （n +1） 个p 或 qp 且 qp 且 qp 或 x 都成立$ 某个 x 不成立 x 都不成立$ 某个 x 成立其中：“ ”为全称变量，读作“对任意的”；“ $ ”为特称变量，读作“存在”。6.反证法原理与运用反证法的步骤：假设结论的否定形式正确，推导出矛盾，则原结论正确。矛盾的四种形式：与生活常识矛盾；与已知条件矛盾；与公理矛盾；与定理矛盾；自相矛盾；等等LL 注意：在证明有关命题时，多会用到条。 三、充要条件1.定义: P Q ：命题 P 是命题 Q 的充分条件，命题 Q 是命题 P 的必要条件。2.条件的四种形式 P Q 且 Q P ：命题 P 是命题 Q

9、 的充分非必要条件； Q P 且 P Q ：命题 P 是命题 Q 的必要非充分条件； P Q 且 Q P ：命题 P 是命题 Q 的充分必要条件； P Q 且 Q P ：命题 P 是命题 Q 的非充分非必要条件；3.条件的求法求命题 P 的充分条件：求能推出命题 P 的命题；求命题 P 的必要条件：求命题 P 能推出的命题；求命题 P 的充要条件：求与命题 P 能相互推出的命题；4.条件的集合表示记满足命题 P 的所有元素组成集合 A ；满足命题 Q 的所有元素组成集合 B ；则：当 A B 时， P 是 Q 的充分条件;若 A B, 则 P 是 Q 的充分非必要条件；当 B A 时， P 是

10、 Q 的必要条件;若 B A, 则 P 是 Q 的必要非充分条件；当 A = B 时， P 是 Q 的充要条件；这就意味着 P 和 Q 是可以相互推出的；当 A B 且 B A 时， P 是 Q 的非充分非必要条件；小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围；第二章 不等式一、不等式的基本性质1.对称性： a b b c c； 3.可加性： a + c b + c；4.可乘性： b, c 0 ac bc; b, c ac b - c；6.叠乘性： b 0, c d bd , a b ；a 0, c d 0 0 0;ababab8.乘方开方性： an bn , n a n b，（n N *）;9.

11、分式放缩性： m b - m b + m ;a - maa + m10.指数放缩性： a L L; a2 L an b :当 a 0 时， x 当 a 0 时， x aa当 a = 0, b 0 时， x ，当 a = 0, b 0）, x 0ax2 + bx + c ax2 + bx + c x x2x x1 或 x x1 x x1 x D = 0x - b2ax Rx =- bD 0） ；序轴标根法:f （x） 0：位于序轴上方的区间； f （x） 0,f （x） f （x）g（x） 0 ；g（x）g（x）g（x） f （x）f （x） - g（x）h（x）（ f （x） - g（x）h（

12、x） g（x） h（x） 分式不等式也可用序轴标根法解之，在前面的基础上我们还需注意：不能对角相乘，只能移项通分；分母不能为零，分母为零处画空圈； 注意：对于可以作出图像的分式不等式，也可用数形结合法解之，方便快捷； 3.绝对值不等式的解法：定义法，平方法，公式法，零点分段讨论等。 f （x） a（a 0） f （x） a 或 f （x） -a；f （x） -a f （x） g（x） g（x） 或 f （x） -g（x）； -g（x） g（x）； f （x） g（x） f 2 （x） f （x） g（x） g（x） g（x） f （x） 或; 0； f （x） g 2 （x） g（x）0g（x

13、） g（x） f （x） 对于根号下是一次或二次的无理不等式，我们也可以用解析法解之，方便快捷； 5.不等式的恒成立、能成立、恰成立问题：分离变量不等式的恒成立问题：不等式 M （t） f （x） 在区间 D 上恒成立 在区间 D 上， M （t） f （x）min ；当 x D 时， f （x） 的值域为 （m, n） ，则：不等式 M （t） M （t） 在区间 D 上恰成立 不等式 f （x） M （t） 的解集为区间 D ；三、基本不等式1.基本不等式 a, b R, a2 + b2 2 ab 2ab （当且仅当 a = b 时取等号）；ab a, b R+, a + b 2（当且仅当

14、 a = b 时取等号）； a, b R+, a2 + b2 （ a + b ）2 ab （当且仅当 a = b 时取等号）；22 a, b, c R+, a + b + c 33 abc （当且仅当 a = b = c 时取等号）；2.极值定理：已知 a, b 都是正实数，则：p若 ab 是定值 p ，则当 a = b 时， a + b 有最小值 2；2若 a + b 是定值 q ，则当 a = b 时， ab 有最大值 q ；4简言之：一正二定三相等，和定积最大，积定和最小。 3.均值不等式：调和平均数 几何平均数 算术平均数 平方平均数：a2 + b2若 a, b R+, 则：2 a +

15、 b ；（当且仅当 a = b 时取等号）；1 + 12ab若 a , a ,L, a R+, n N *, 则：12nn a1a2 Lan 12n na2 + a2 +L+ a2na + a +L+ a 1 + 1 +L+ 1 12n a1 a2an（当且仅当 a1 = a2 =L = an 时取等号）；4.绝对值不等式：若 a, b, c R, 则：| a | - | b | a b | a | + | b |；其中等号成立的条件为：当且仅当 ab 0 时， | a | - | b |=| a - b |, a + b = a + b ;当且仅当 ab 0 时， | a | - | b |

16、=| a + b |, a - b = a + b ;推广： a , a ,L, a R, n a + a +L+ a a + a +L+ a .12n12n12n（当且仅当 a1, a2 ,L, an 两两非异号时等号成立）。在很多时候，我们可以利用不等式的取等条件做题； 四、不等式的证明：1.比较法：作差法：作差与 0 比较大小，常用于求证的不等式两端是多项式或分式的形式；作商法：作商与1比较大小，常用于求证的不等式两端是乘积形式或幂指数式； 2.分析法：“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。分析法论证“若 A 则 B ”这个命题的模式是：为了证明命题 B 为真，需证命题

17、 B1 为真，从而有,需证命题 B2 为真，从而又有,需证命题 A 为真 而已知 A 为真，故 B 必真。 3.综合法：“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。4.换元法：常用于条件不等式的证明；“1”的妙用：多用于整式与分式的相互证明等，任意常数都可以比例地换成 1；三角换元法：如已知 x 2 + y 2 = a 2 ，可设 x = a cosq , y = a sinq ；5.放缩法：把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明不等式的方法，放缩 的标准是应该有利于计算的顺利进行； 6.反证法：凡是至少、唯一或含有否定词的命题，适宜用反证法。一、函数的有关概念第三章

18、 函数的基本性质1.函数的定义： f （x） : x y, x D, y E, D：定义域，必须为非空数集； E：值域，必须为非 空数集； f （x）：对应法则；一对一，多对一，不能一对多。2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则；对应法则是核心。定义域的表示方法：集合表示法、区间表示法；函数的表示方法：解析法、图像法、列表法。函数相同：定义域、值域、解析式均相同； 3.函数的图像作图方法：描点法步骤：列表 描点 连线（平滑曲线）函数图像的变换：只对单个的 x 或 y 有效；平移变换：左加右减，上加下减；横向平移：向左平移a个单位y = f （x）y =向右平移a个单位f （x + a）；向上平移b个单位纵向平移： y = f （x）y = f （x） + b向下平移b个单位沿向量平移： 0，b y