上海高考数学基础知识点精简版Word文件下载.docx

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第十五章多面体与旋转体… 91

一、多面体的概念与性质… 91

二、旋转体的概念与性质… 92

三、多面体与旋转体的体积… 94

第十六章排列组合与二项式定理 97

一、计数原理… 97

二、排列与组合… 97

三、二项式定理… 98

第十七章概率与统计初步… 100

一、概率初步… 100

二、统计初步… 102

第一章集合与命题、充要条件

一、集合

1.集合的有关概念

⑴集合的定义：

具有某种共同的确定的属性的元素的全体。

用大写的英文字母表示：

A,B,C,L,

其中的元素用小写的英文字母表示：

a,b,cL

⑵集合与元素的关系：

x属于A：

xÎ

A；

x不属于A：

xÏ

⑶集合中元素的基本性质：

确定性、互异性、无序性；

⑷集合的分类：

①按元素个数分：

有限集、无限集；

空集、一元集、多元集。

空集的特点：

没有元素的集合称为空集，记作Æ

；

0,Æ

{0},Æ

{Æ

},Æ

{0,Æ

};

空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。

②按元素性质分：

数集、点集等。

x-1

A={x|y= }表示函数的定义域；

A={y|y= }表示函数的值域；

A={f（x）|f（x）= }表示一个函数组成的集合；

-104-

A={（x,y）|y=

}表示曲线上的点组成的集合；

⑸集合的表示方法：

①列举法：

{a1,a2,a3L}；

②描述法：

{x|x的属性}；

③字母法：

NÌ

ZÌ

QÌ

RÌ

C；

其

中：

N*:

正整数集，N:

自然数集，

虚数集，C:

复数集；

2.子集的概念与性质

整数集，Q:

有理数集，CRQ:

无理数集，R:

实数集，

⑴子集的定义：

AÍ

AÞ

B；

⑵集合与集合的关系：

①A是B的子集：

②A是B的真子集：

AÌ

B；

B中至少含有一个元素不属于A；

③

A不是B的子集：

AË

④A与B相等：

A=BÛ

AÍ

B且BÍ

⑶子集的性质：

①Æ

A，Æ

A（A¹

）,AÍ

A；

②A=B：

B,且BÍ

③AÍ

B,BÍ

CÞ

C；

④AÍ

BÛ

CUBÍ

CUAÛ

AIB=AÛ

AUB=BÛ

AICUB=Æ

CUAUB=U;

⑷子集个数公式：

集合A含有n个元素，则:

集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n-1，非空子集个数为

2n-1，非空真子集个数为2n-2。

3.集合的运算

⑴交集：

AIB={x|xÎ

A且xÎ

B}；

交集的性质：

AIB=BIA;

AIA=A;

AIÆ

=Æ

;

AIBÍ

⑵并集：

AUB={x|xÎ

A或xÎ

并集的性质：

AUB=BUA;

AUA=A;

AUÆ

=A;

AUBÊ

⑶补集：

CIA={x|xÎ

I且xÏ

A}；

其中I称为全集。

补集的性质：

CIAÍ

AICIA=Æ

AUCIA=I;

CI（CIA）=A;

注：

补集思想在解题中有着很重要的作用；

4.Ven图

⑴两个集合的Ven图：

①：

AIB

②：

AICIB

③：

BICIA④：

CIAICIB

⑵三个集合的Ven图：

AIBIC

AIBICIC

AICICIB

④：

BICICIA

⑤：

AICIBICIC

⑥：

BICICICIA

⑦：

CICIAICIB

⑧：

CIAICIBICIC

5.集合运算律

⑴交换律：

AIB=BIA，AUB=BUA；

⑵结合律：

（AIB）IC=AI（BIC），（AUB）UC=AU（BUC）；

⑶分配律：

（AIB）UC=（AUC）I（BUC），（AUB）IC=（AIC）U（BIC）；

⑷摩根定律：

CI（AIB）=CIAUCIB，CI（AUB）=CIAICIB；

二、命题1.命题的定义：

一个可以确定真假的判断语句叫作一个命题。

其形式均可改写为：

“如果K，那么K。

”或“若K，则K。

”2.命题的分类

⑴按正确与否分：

真命题，假命题；

真假命题的判断方法：

判断真命题，需要证明；

判断假命题，只需举一个反例即可。

⑵按命题形式分：

简单命题，复合命题；

3.复合命题的形式

⑴逻辑与：

P且Q，记作PÙ

Q,一假必假；

⑵逻辑或：

P或Q，记作PÚ

Q,一真必真；

⑶逻辑非：

非P，记作Ø

P,真假互换；

4.命题的四种形式

⑴四种形式：

①原命题：

pÞ

②逆命题：

qÞ

③否命题：

pÞ

④逆否命题：

qÞ

⑵四种形式的有关结论：

①否命题是条件与结论均否，不同于命题的否定形式，即非命题；

②原命题等价于逆否命题，逆命题与否命题等价；

③原命题为真，则逆否命题为真，逆命题与否命题不一定为真；

④对于以否定形式出现的问题，通常转化为其等价命题来判定；

5.语句的否定形式

原语句

反设词

是（等于）

不是（不等于）

都是

不都是

一定是

不一定是

整数

非整数

至少有一个

一个也没有

至多有一个

至少有两个

至多有n个

至少有（n+1）个

p或q

p且Ø

p且q

p或Ø

x都成立

$某个x不成立

x都不成立

$某个x成立

其中：

“"

”为全称变量，读作“对任意的”；

“$”为特称变量，读作“存在”。

6.反证法原理与运用

⑴反证法的步骤：

假设结论的否定形式正确，推导出矛盾，则原结论正确。

⑵矛盾的四种形式：

①与生活常识矛盾；

②与已知条件矛盾；

③与公理矛盾；

④与定理矛盾；

⑤自相矛盾；

等等LL注意：

在证明有关命题时，多会用到②④⑤条。

三、充要条件

1.定义:

PÞ

Q：

命题P是命题Q的充分条件，命题Q是命题P的必要条件。

2.条件的四种形式

⑴PÞ

Q且QP：

命题P是命题Q的充分非必要条件；

⑵QÞ

P且PQ：

命题P是命题Q的必要非充分条件；

⑶PÞ

Q且QÞ

P：

命题P是命题Q的充分必要条件；

⑷PQ且QP：

命题P是命题Q的非充分非必要条件；

3.条件的求法

⑴求命题P的充分条件：

求能推出命题P的命题；

⑵求命题P的必要条件：

求命题P能推出的命题；

⑶求命题P的充要条件：

求与命题P能相互推出的命题；

4.条件的集合表示

记满足命题P的所有元素组成集合A；

满足命题Q的所有元素组成集合B；

则：

⑴当AÍ

B时，P是Q的充分条件;

若AÌ

B,则P是Q的充分非必要条件；

⑵当BÍ

A时，P是Q的必要条件;

若BÌ

A,则P是Q的必要非充分条件；

⑶当A=B时，P是Q的充要条件；

这就意味着P和Q是可以相互推出的；

⑷当AË

B且BË

A时，P是Q的非充分非必要条件；

小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围；

第二章不等式

一、不等式的基本性质

1.对称性：

bÛ

a；

2.传递性：

b,b>

cÞ

c；

3.可加性：

a+c>

b+c；

4.可乘性：

b,c>

0Þ

ac>

bc;

b,c<

ac<

bc；

5.叠加性：

dÞ

b+d,a-d>

b-c；

6.叠乘性：

0,c>

bd,a>

b；

0,c<

d c d c

1 1 1 1 1 1

7.可倒性：

b,ab>

；

0Û

,0>

a b a b a b

8.乘方开方性：

an>

bn,na>

nb，（nÎ

N*）;

9.分式放缩性：

b-m<

b+m;

a-m a a+m

10.指数放缩性：

1Þ

a2>

a2<

an<

二、不等式的解法

1.整式不等式的解法：

⑴一元一次不等式的解法：

ax>

当a>

0时，x>

当a<

0时，x<

a a

当a=0,b³

0时，xÎ

，当a=0,b<

R。

⑵一元二次不等式的解法：

f（x）=ax2+bx+c（a>

0）,x<

x；

1 2

ax2+bx+c>

ax2+bx+c³

ax2+bx+c<

ax2+bx+c£

x1或x>

x£

x1或x³

x1<

x1£

x£

D=0

x¹

-b

xÎ

x=-b

⑶一元高次不等式的解法：

f（x）=a0（x-x1）（x-x2）L（x-xn）（a0>

0）；

序轴标根法:

f（x）>

0：

位于序轴上方的区间；

f（x）<

位于序轴下方的区间；

注意：

①各因式x前的系数必须为正数；

②从最大根右侧的上方画起；

③可取的根画实圈，不可取的根画空圈；

④奇重根直接穿过，偶重根反弹；

俗称“奇穿偶不穿”。

2.分式不等式的解法：

f（x）g（x）>

f（x）³

f（x）g（x）³

0；

g（x）

g（x）¹

f（x）

f（x）-g（x）h（x）

（f（x）-g（x）h（x））g（x）³

h（x）Û

分式不等式也可用序轴标根法解之，在前面的基础上我们还需注意：

①不能对角相乘，只能移项通分；

②分母不能为零，分母为零处画空圈；

注意：

对于可以作出图像的分式不等式，也可用数形结合法解之，方便快捷；

3.绝对值不等式的解法：

定义法，平方法，公式法，零点分段讨论等。

⑴f（x）>

a（a>

0）Û

f（x）>

a或f（x）<

-a；

f（x）<

-a<

f（x）<

⑵f（x）>

g（x）Û

g（x）或f（x）<

-g（x）；

-g（x）<

g（x）；

⑶f（x）<

g（x）Û

f2（x）<

g2（x）;

f2（x）>

⑷f（x）±

g（x）<

h（x）：

令f（x）=0，g（x）=0，得到x=x1,x2;

将x1,x2标于序轴得到三个区间，分别于这三个区间进行讨论去绝对值符号。

4.无理不等式的解法：

f（x）³

⑴ >

g（x）Þ

g（x）³

f（x）³

或 ;

g（x）>

0 ；

f（x）>

g2（x）

g（x） 0

⑵ ³

g（x）>

g（x）³

f（x）£

对于根号下是一次或二次的无理不等式，我们也可以用解析法解之，方便快捷；

5.不等式的恒成立、能成立、恰成立问题：

分离变量

⑴不等式的恒成立问题：

①不等式M（t）<

f（x）在区间D上恒成立Û

在区间D上，M（t）<

f（x）min；

②当xÎ

D时，f（x）的值域为（m,n），则：

不等式M（t）<

f（x）在区间D上恒成立

在区间D上，M（t）£

m.；

⑵不等式的能成立问题（有解问题）：

f（x）在区间D上能成立（有解）Û

f（x）max；

②关于x的方程的有解无解问题：

关于x的方程M（t）=f（x）在区间D上有解Û

在区间D上，M（t）Î

f（x）的值域；

关于x的方程M（t）=f（x）在区间D上无解Û

在区间D上，M（t）Ï

记住：

“恒成立问题，有解问题，分离变量”。

⑶不等式的恰成立问题：

不等式f（x）>

M（t）在区间D上恰成立Û

不等式f（x）>

M（t）的解集为区间D；

三、基本不等式

1.基本不等式

⑴a,bÎ

R,a2+b2³

2ab³

2ab（当且仅当a=b时取等号）；

⑵a,bÎ

R+,a+b³

（当且仅当a=b时取等号）；

⑶a,bÎ

R+,a

2+b2

（a+b）2³

ab（当且仅当a=b时取等号）；

2 2

⑷a,b,cÎ

R+,a+b+c³

33abc（当且仅当a=b=c时取等号）；

2.极值定理：

已知a,b都是正实数，则：

①若ab是定值p，则当a=b时，a+b有最小值2 ；

②若a+b是定值q，则当a=b时，ab有最大值q；

简言之：

一正二定三相等，和定积最大，积定和最小。

3.均值不等式：

调和平均数£

几何平均数£

算术平均数£

平方平均数：

a2+b2

⑴若a,bÎ

R+,则：

2 £

a+b£

；

（当且仅当a=b时取等号）；

1+1 2

a b

⑵若a,a,L,a

R+,nÎ

N*,则：

1 2 n

na1a2Lan

1 2 n

a2+a2+L+a2

n a+a+L+a

1+1+L+1

1 2 n£

a1a2 an

（当且仅当a1=a2=L=an时取等号）；

4.绝对值不等式：

若a,b,cÎ

R,则：

||a|-|b||£

|a±

b|£

|a|+|b|；

其中等号成立的条件为：

①当且仅当ab³

0时，||a|-|b||=|a-b|,a+b=a+b;

②当且仅当ab£

0时，||a|-|b||=|a+b|,a-b=a+b;

推广：

a,a,L,aÎ

R,nÎ

a+a+L+a£

a+a+L+a.

1 2 n 1 2 n 1 2 n

（当且仅当a1,a2,L,an两两非异号时等号成立）。

在很多时候，我们可以利用不等式的取等条件做题；

四、不等式的证明：

1.比较法：

⑴作差法：

作差与0比较大小，常用于求证的不等式两端是多项式或分式的形式；

⑵作商法：

作商与1比较大小，常用于求证的不等式两端是乘积形式或幂指数式；

2.分析法：

“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。

分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：

为了证明命题B为真，

需证命题B1为真，从而有……,需证命题B2为真，从而又有……,需证命题A为真而已知A为真，故B必真。

3.综合法：

“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。

4.换元法：

常用于条件不等式的证明；

⑴“1”的妙用：

多用于整式与分式的相互证明等，任意常数都可以比例地换成1；

⑵三角换元法：

如已知x2+y2=a2，可设x=acosq,y=asinq；

5.放缩法：

把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明不等式的方法，放缩的标准是应该有利于计算的顺利进行；

6.反证法：

凡是"

至少"

、"

唯一"

或含有否定词的命题，适宜用反证法。

一、函数的有关概念

第三章函数的基本性质

1.函数的定义：

f（x）:

x®

y,xÎ

D,yÎ

E,D：

定义域，必须为非空数集；

E：

值域，必须为非空数集；

f（x）：

对应法则；

一对一，多对一，不能一对多。

2.函数的三要素：

定义域，值域，对应法则；

对应法则是核心。

⑴定义域的表示方法：

集合表示法、区间表示法；

⑵函数的表示方法：

解析法、图像法、列表法。

⑶函数相同：

定义域、值域、解析式均相同；

3.函数的图像

⑴作图方法：

描点法

步骤：

列表®

描点®

连线（平滑曲线）

⑵函数图像的变换：

只对单个的x或y有效；

①平移变换：

左加右减，上加下减；

横向平移：

向左平移a个单位

y=f（x） y=

向右平移a个单位

f（x+a）；

向上平移b个单位

纵向平移：

y=f（x） y=f（x）+b

向下平移b个单位

沿向量平移：

0，b>

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