1、当取得最小值,且最小值为。此时,在中,故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东,航行速度为30海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇。3. .如图,直角三角形ABC中,B,AB1,BC点M,N分别在边AB和AC 上(M点和B点不重合),将AMN沿MN翻折,AMN变为MN,使顶点落在边BC上(点和B点不重合).设AMN(1) 用表示线段的长度,并写出的取值范围;(2) 求线段长度的最小值 (1)设,则(2分)在RtMB中, (4分)A C NMq (5分) 点M在线段AB上,M点和B点不重合,点和B点不重合, (7分)(2)在AMN中,ANM,(8分),(9分)(10分)令(13分), (14分)
2、 当且仅当,时,有最大值,(15分)时,有最小值(16分)4. 如图,某机场建在一个海湾的半岛上,飞机跑道AB的长为4.5km,且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60度(海岸线可以看作是直线),跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离。D为海湾一侧海岸线CT上的一点,设CD=x(km),点D对跑道AB的视角为。(1)将表示为x的函数;(2)求点D的位置,使取得最大值.5. (2009辽宁卷理)如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为,于水面C处测得B点和D点的仰角均为,AC=0.1km。试探究图中B,D间距
3、离与另外哪两点间距离相等,然后求B,D的距离(计算结果精确到0.01km,1.414,2.449) 解:在ABC中,DAC=30, ADC=60DAC=30,所以CD=AC=0.1 又BCD=18060=60故CB是CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA, 5分在ABC中,即AB=因此,BD=故B,D的距离约为0.33km。 6. (2009福建卷理)(本小题满分13分)如图,某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asinx(A0, 0) x0,4的图象,且图象的最高点为S(3,2);赛道的后一部分为折线段MNP,为保证参赛运动员的
4、安全,限定MNP=120(I)求A , 的值和M,P两点间的距离;(II)应如何设计,才能使折线段赛道MNP最长? 解法一()依题意,有,又,。当 时, 又()在MNP中MNP=120,MP=5,设PMN=,则040=AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QE=AE-AQ=15.过点E作EPBC于点P,则EP为点E到直线BC的距离.在Rt中,PE=QEsin=所以船会进入警戒水域.11. 如图,一科学考察船从港口O出发,沿北偏东角的射线OZ方向航行,而在离港口Oa(a为正常数)海里的北偏东角的A处共有一个供给科考船物资的小岛,其中已知.现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O正东m海里的B处的补给船,
5、速往小岛A装运物资供给科考船.该船沿BA方向全速追赶科考船,并在C处相遇.经测算当两船运行的航线与海岸线OB围成的三角形OBC的面积S最小时,这种补给最适宜. (1)求S关于m的函数关系式S(m); (2)应征调m为何值处的船只,补给最适宜?(I)以O点为原点,指北的方向为y轴建立直角坐标系,则直线OZ的方程为y=3x, 设点A(x0,y0),则x0=asin=3a,y0=acos=2a,即A(3a,2a), 又B(m,0),则直线AB的方程是y=, 由此得到C点坐标为, ; (II), 当且仅当时等号成立, 答:征调海里处的船只时,补给最适宜.12. 某地有三个村庄,分别位于等腰直角三角形A
6、BC的三个顶点处,已知AB=AC=6km,现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站. 记P到三个村庄的距离之和为y. (1)设,把y表示成的函数关系式;(2)变电站建于何处时,它到三个小区的距离之和最小?【解】(1)在中,所以=OA=.所以由题意知. 所以点P到A、B、C的距离之和为. 故所求函数关系式为. (2)由(1)得,令即,又,从而. 当时, .数学驿站 所以当 时,取得最小值, 此时(km),即点P在OA上距O点km处. 【答】变电站建于距O点km处时,它到三个小区的距离之和最小.D13. 如图,在四边形ABCD中,AD=8,CD=6,AB=13,ADC=90,且高.(1)求s
7、inBAD的值;高.考.资.源.网(2)设ABD的面积为SABD,BCD的面积为SBCD,求的值解 (1)在RtADC中,AD=8,CD=6,则AC=10,又,AB=13, , (2), 则, 又,AB=13,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则,14. 如图,现在要在一块半径为1m。圆心角为60的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ,使点P在AB弧上,点Q在OA上,点M,N在OB上,设的面积为S。(1) 求S关于的函数关系式;(2) 求S的最大值及相应的值15. 如图一块长方形区域,。在边的中点处,有一个可转动的探照灯,其照射角始终为,设,探照灯照射在长方形内部区域的面积为.(1
8、) 当时,写出关于的函数表达式(2) 当时,求的最大值。(3) 若探照灯每9分钟旋转“一个来回”(自转到,再回到,称“一个来回”,忽略在及处所用的时间),且转动的角速度大小一定。设边上有一点,且,求点在“一个来回”中被照到的时间。16. 某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯,样式如图中实线部分所示. 其上部分是以为直径的半圆,点为圆心,下部分是以为斜边的等腰直角三角形,是两根支杆,其中米,. 现在弧、线段与线段上装彩灯,在弧、弧、线段与线段上装节能灯. 若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比,且彩灯的比例系数为,节能灯的比例系数为,假定该霓虹灯整体的“心悦效果”是所有
9、灯“心悦效果”的和.OEF第18题2x()试将表示为的函数;w ww.ks5 u.co m()试确定当取何值时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳?()因为,所以弧EF、AE、BF的长分别为3分 连接OD,则由OD=OE=OF=1,所以 所以()因为由解得,即 又当时,所以此时y在上单调递增;当时,所以此时y在上单调递减.故当时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳17.如图,灌溉渠的横截面是等腰梯形,底宽2米,边坡的长为x米、倾角为锐角.(1)当且灌溉渠的横截面面积大于8平方米时,求x的最小正整数值;x(2)当x=2时,试求灌溉渠的横截面面积的最大值. 由已知得等腰梯形的高为xsin,上底长为2+2x
10、cos,从而横截面面积S=(2+2+2xcos)xsin=x2sincos+2xsin.(1)当时,面积是(0,+)上的增函数,当x=2时,S=38;当x=3时,S=. 所以,灌溉渠的横截面面积大于8平方米时,x的最小正整数值是3.(2)当x=2时,S=4sincos+4sin,S=4cos2-4sin2+4cos=4(2cos2+cos-1)=4(2cos-1)(cos+1),由S=0及是锐角,得. 当00,S是增函数;当时,S0,S是减函数。所以,当=时,S有最大值. 综上所述,灌溉渠的横截面面积的最大值是.18. 某建筑的金属支架如图所示,根据要求至少长2.8m,为的中点,到的距离比的长
11、小0.5m,已知建筑支架的材料每米的价格一定,问怎样设计的长,可使建造这个支架的成本最低?解析:设连结BD.则在中,地面设则等号成立时答:当时,建造这个支架的成本最低.19. 如图,某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道,赛道的前一部分为曲线段FBC,该曲线段是函数 ,时的图象,且图象的最高点为B(1,2)。赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD,且CD/ EF。赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧(1)求的值和的大小;(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”,矩形的一边在道路EF上,一个顶点在半径OD上,另外一个顶点P在圆弧上,且,求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值
12、(1)由条件,得, , 曲线段FBC的解析式为 当x=0时,又CD=, (2)由(1),可知又易知当“矩形草坪”的面积最大时,点P在弧DE上,故设,“矩形草坪”的面积为 = ,故取得最大值20. ()设为圆环的圆心,依题意,CA1O=CA2O=CA3O=,CA1=CA2=CA3=,CO=, 设金属杆总长为ym,则=,(), 当时,;当时,当时,函数有极小值,也是最小值。()依题意,=,当时,;当n4时,所以C点应上移。21. 在海岸A处,发现北偏东45方向,距离A(-1)n mile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75的方向,距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船.此时,走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?解 如图所示,注意到最快追上走私船且两船所用时间相等,若在D处相遇,则可先在ABC中求出BC,再在BCD中求BCD.设缉私船用t h在D处追上走私船,则有CD=10t,BD=10t.在ABC中,AB=-1,AC=2,BAC=120由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=(-1)2+22-2(-1)2cos120=6,BC=,CBD=90+30=120在BCD中,由正弦定理,得sinBCD=,BCD=30即缉私船北偏东60方向能最快追上走私船.
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