最新高中数学解三角形实际应用题(详解)Word文件下载.doc
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当取得最小值，且最小值为。
此时，在中，，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。
3..如图，直角三角形ABC中，∠B＝，AB＝1，BC＝．点M,N分别在边AB和AC
上（M点和B点不重合），将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△MN，使顶点落在边BC上（点和B点不重合）.设∠AMN＝．
（1）用表示线段的长度，并写出的取值范围；
（2）求线段长度的最小值．
（1）设，则．（2分）
在Rt△MB中，，（4分）
A'
C
N
M
q
∴．（5分）
∵点M在线段AB上，M点和B点不重合，点和B点不重合，
∴．（7分）
（2）在△AMN中，∠ANM＝,（8分）
（9分）
＝．（10分）
令＝
＝．（13分）
∵，∴．（14分）
当且仅当，时，有最大值，（15分）
∴时，有最小值．（16分）
4.如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB的长为4.5km，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60度（海岸线可以看作是直线），跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离。
D为海湾一侧海岸线CT上的一点，设CD=x（km），点D对跑道AB的视角为。
（1）将表示为x的函数；
（2）求点D的位置，使取得最大值.
5.（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。
测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。
试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449）
解:
在△ABC中，∠DAC=30°
∠ADC=60°
－∠DAC=30,
所以CD=AC=0.1又∠BCD=180°
－60°
=60°
故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，
……5分
在△ABC中，
即AB=
因此，BD=
故B，D的距离约为0.33km。
6.（2009福建卷理）（本小题满分13分）
如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动
赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数
y=Asinx（A>
0,>
0）x[0,4]的图象，且图象的最高点为
S（3，2）；
赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛
运动员的安全，限定MNP=120
（I）求A,的值和M，P两点间的距离；
（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
解法一
（Ⅰ）依题意，有，，又，。
当时，
又
（Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120°
，MP=5，
设∠PMN=，则0°
<
60°
由正弦定理得
故
0°
，当=30°
时，折线段赛道MNP最长
亦即，将∠PMN设计为30°
时，折线段道MNP最长
解法二：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120°
由余弦定理得∠MNP=
即
从而，即
当且仅当时，折线段道MNP最长
注：
本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：
①；
②；
③点N在线段MP的垂直平分线上等
7.如图，在平面四边形中，已知，，且△为正三角形.
（Ⅰ）将四边形的面积表示为的函数；
（Ⅱ）求得最大值及此时的值.
命题意图：
强化一下三角在解三角形中的应用。
思考与建议：
07年海南、宁夏题中就是考查的三角在实际问题中的应用，同为新课表地区的广东，三角题今年是否会突破以前的传统，变成了一个应用题？
（Ⅰ）△的面积，正△的面积
∴四边形的面积为
.
（Ⅱ）由，当，即时，四边形的面积最大，且最大值为.
8.如图，是沿湖南北方向道路,为太中观光岛屿,为停车场，km．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q,已知游船以km/h的速度沿方位角的方向行驶，．游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M处，然后乘出租汽车到点Q（设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车）．假设游客甲乘小船行驶的方位角是，出租汽车的速度为66km/h．
（Ⅰ）设，问小船的速度为多少km/h时，游客甲才能和游船同时到达点Q；
（Ⅱ）设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角，当角余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达．
（Ⅰ）如图，作,为垂足．
，，
在△中，
（km）,
=（km）．
在△中，
（km）．
设游船从P到Q所用时间为h，游客甲从经到所用时间为h，小船的速度为km/h，则
（h）,
（h）．
由已知得：
，，∴．
∴小船的速度为km/h时，游客甲才能和游船同时到达．
（Ⅱ）在△中，
（km）,（km）．
∴（km）．
∴＝．
∵,
∴令得：
．
当时，；
当时，．
∵在上是减函数，
∴当方位角满足时，t最小，即游客甲能按计划以最短时间到达．
9.如图，是佛山市一环东线的一段，其中、、分别是林上路、佛陈路、花卉大道出口，经测量陈村花卉世界位于点的北偏东方向处，位于点的正北方向，位于点的北偏西方向上，并且．
（Ⅰ）求佛陈路出口与花卉世界之间的距离；
（精确到0.1km）
（Ⅱ）求花卉大道出口与花卉世界之间的距离．（精确到0.1km）
（参考数据：
，，，，，，）
（Ⅰ）设，则由余弦定理，
即，解得，舍去．所以.
故佛陈路出口B与花卉世界之间的距离约为．
（Ⅱ）在DABD中，由正弦定理得，所以.
在DCBD中，，
由正弦定理得，.
花卉大道出口与花卉世界之间的距离约为．
10.在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+（其中sin=，）且与点A相距10海里的位置C.
（1）求该船的行驶速度（单位：
海里/小时）;
（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.
解（I）如图，AB=40，AC=10，
由于,所以cos=
由余弦定理得BC=
所以船的行驶速度为（海里/小时）.…（6分）
（2）解法一如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，
设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）,C（x1，y2）,BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y1=AB=40,x2=ACcos,
y2=ACsin所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.又点E（0，-55）到直线l的距离d=
所以船会进入警戒水域.…………………………………（14分）
解法二如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.
在△ABC中，由余弦定理得，
==.从而
在中，由正弦定理得，AQ=
由于AE=55>
40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.
过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.
在Rt中，PE=QE·
sin
=所以船会进入警戒水域.
11.如图，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东α角的射线OZ方向航行，而在离港口Oa（a为正常数）海里的北偏东β角的A处共有一个供给科考船物资的小岛，其中已知.现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O正东m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科考船.该船沿BA方向全速追赶科考船，并在C处相遇.经测算当两船运行的航线与海岸线OB围成的三角形OBC的面积S最小时，这种补给最适宜.
（1）求S关于m的函数关系式S（m）；
（2）应征调m为何值处的船只，补给最适宜？
（I）以O点为原点，指北的方向为y轴建立直角坐标系，则直线OZ的方程为y=3x，
设点A（x0，y0），则x0=asinβ=3a，y0=acosβ=2a，即A（3a，2a），
又B（m，0），则直线AB的方程是y=，
由此得到C点坐标为，
；
（II），
∴当且仅当时等号成立，
答：
征调海里处的船只时，补给最适宜.
12.某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，
已知AB=AC=6km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个
变电站.记P到三个村庄的距离之和为y.
（1）设，把y表示成的函数关系式；
（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？
【解】
（1）在中，所以=OA=.所以
由题意知.
所以点P到A、B、C的距离之和为
.
故所求函数关系式为.
（2）由
（1）得，令即，又，从而.
当时,.数学驿站
所以当时，取得最小值，
此时（km），即点P在OA上距O点km处.
【答】变电站建于距O点km处时，它到三个小区的距离之和最小.
D
13.如图，在四边形ABCD中，AD=8，CD=6，AB=13，∠ADC=90°
，且．高.
（1）求sin∠BAD的值；
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（2）设△ABD的面积为S△ABD，△BCD的面积为S△BCD，求的值．
解
（1）在Rt△ADC中，AD=8，CD=6，
则AC=10，．
又∵，AB=13，∴．
∵，∴．
∴．
（2），，，
则，∴．
又∵，AB=13，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
∴．
则，∴．
14.如图，现在要在一块半径为1m。
圆心角为60°
的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在AB弧上，点Q在OA上，点M,N在OB上，设的面积为S。
（1）求S关于的函数关系式；
（2）求S的最大值及相应的值
15.如图一块长方形区域，。
在边的中点处，有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，设,探照灯照射在长方形内部区域的面积为.
（1）当时，写出关于的函数表达式
（2）当时，求的最大值。
（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（自转到,再回到，称“一个来回”，忽略在及处所用的时间），且转动的角速度大小一定。
设边上有一点,且,求点在“一个来回”中被照到的时间。
16.某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示.其上部分是以为直径的半圆，点为圆心，下部分是以为斜边的等腰直角三角形，是两根支杆，其中米，.现在弧、线段与线段上装彩灯，在弧、弧、线段与线段上装节能灯.若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为，节能灯的比例系数为，假定该霓虹灯整体的“心悦效果”是所有灯“心悦效果”的和.
O
E
F
第18题
2x
（Ⅰ）试将表示为的函数；
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（Ⅱ）试确定当取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？
（Ⅰ）因为,所以弧EF、AE、BF的长分别为…3分
连接OD，则由OD=OE=OF=1，，所以
所以
（Ⅱ）因为由解得，即
又当时，，所以此时y在上单调递增；
当时，，所以此时y在上单调递减.
故当时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳
17.如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2米，边坡的长为x米、倾角为锐角.
（1）当且灌溉渠的横截面面积大于8平方米时，求x的最小正整数值；
x
（2）当x=2时，试求灌溉渠的横截面面积的最大值.
由已知得等腰梯形的高为xsin，上底长为2+2xcos，从而横截面面积S=（2+2+2xcos）·
xsin=x2sincos+2xsin.
（1）当时，面积是（0,+∞）上的增函数，当x=2时，S=3<
8；
当x=3时，S=.所以，灌溉渠的横截面面积大于8平方米时，x的最小正整数值是3.
（2）当x=2时，S=4sincos+4sin，S=4cos2-4sin2+4cos
=4（2cos2+cos-1）=4（2cos-1）·
（cos+1），由S=0及是锐角，得.当0<
时，S>
0，S是增函数；
当<
时，S<
0，S是减函数。
所以，当=时，S有最大值.
综上所述，灌溉渠的横截面面积的最大值是.
18.某建筑的金属支架如图所示，根据要求至少长2.8m，为的中点，到的距离比的长小0.5m，，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计的长，可使建造这个支架的成本最低？
解析：
设
连结BD.
则在中，
地面
设
则
等号成立时
答：
当时，建造这个支架的成本最低.
19.如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数，时的图象，且图象的最高点为B（－1，2）。
赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD，且CD//EF。
赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧．
（1）求的值和的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且，求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值．
（1）由条件，得，．
∵，∴．
∴曲线段FBC的解析式为．
当x=0时，．又CD=，∴．
（2）由
（1），可知．
又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，故
设，，“矩形草坪”的面积为
=．
∵，故取得最大值
20.
（Ⅰ）设为圆环的圆心，依题意，∠CA1O=∠CA2O=∠CA3O=，
CA1=CA2=CA3=，CO=，设金属杆总长为ym，则
=，（）
，当时，；
当时，，
∴当时，函数有极小值，也是最小值。
（Ⅱ）依题意，=，
，当时，；
当n≥4时，，所以C点应上移。
21.在海岸A处，发现北偏东45°
方向，距离A（-1）nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°
的方向，距离
A2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°
方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
解如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.
设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD=10t，BD=10t.
在△ABC中，∵AB=-1，AC=2，∠BAC=120°
∴由余弦定理，
得BC2=AB2+AC2-2AB·
AC·
cos∠BAC
=（-1）2+22-2×
（-1）×
2×
cos120°
=6,
∴BC=，∵∠CBD=90°
+30°
=120°
在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD===,
∴∠BCD=30°
即缉私船北偏东60°
方向能最快追上走私船.
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