高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(一)Word文档下载推荐.doc

1、1利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。例1 设，求证：（1）；（2）；（3）若，则证明（1）因为，且，所以（2）假设，则存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇数或4的倍数，不可能等于，假设不成立，所以（3）设，则（因为）。2利用子集的定义证明集合相等，先证，再证，则A=B。例2 设A，B是两个集合，又设集合M满足，求集合M（用A，B表示）。【解】先证，若，因为，所以，所以； 再证，若，则1）若，则；2）若，则。所以综上，3分类讨论思想的应用。例3 ，若，求【解】依题设，再由解得或，因为，所以，所以，所以或2，所以或3。因为，所以，若，则，即，若，则或，解得综上所述，或；或。4计数原理

2、的应用。例4 集合A，B，C是I=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的子集，（1）若，求有序集合对（A，B）的个数；（2）求I的非空真子集的个数。【解】（1）集合I可划分为三个不相交的子集；AB，BA，中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个。（2）I的子集分三类：空集，非空真子集，集合I本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有个，非空真子集有1022个。5配对方法。例5 给定集合的个子集：，满足任何两个子集的交集非空，并且

3、再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求的值。【解】将I的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得对，每一对不能同在这个子集中，因此，；其次，每一对中必有一个在这个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C1A与A，并设，则，从而可以在个子集中再添加，与已知矛盾，所以。综上，。6竞赛常用方法与例问题。定理4 容斥原理；用表示集合A的元素个数，则，需要xy此结论可以推广到个集合的情况，即定义8 集合的划分：若，且，则这些子集的全集叫I的一个-划分。定理5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。定理6 抽屉原理：将个元素放入个抽屉，必有一个抽屉放有不少于个元素，也必有一个抽

4、屉放有不多于个元素；将无穷多个元素放入个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。例6 求1，2，3，100中不能被2，3，5整除的数的个数。【解】 记，由容斥原理，所以不能被2，3，5整除的数有个。例7 S是集合1，2，2004的子集，S中的任意两个数的差不等于4或7，问S中最多含有多少个元素？【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S至多含有其中5个数。又因为2004=18211+2，所以S一共至多含有1825+2=91

5、2个元素，另一方面，当时，恰有，且S满足题目条件，所以最少含有912个元素。例8 求所有自然数，使得存在实数满足：【解】 当时，；当时，；当时， 。下证当时，不存在满足条件。令，则所以必存在某两个下标，使得，所以或，即，所以或，。（）若，考虑，有或，即，设，则，导致矛盾，故只有考虑，有或，即，设，则，推出矛盾，设，则，又推出矛盾， 所以故当时，不存在满足条件的实数。（）若，考虑，有或，即，这时，推出矛盾，故。考虑，有或，即=3，于是，矛盾。因此，所以，这又矛盾，所以只有，所以。故当时，不存在满足条件的实数。例9 设A=1，2，3，4，5，6，B=7，8，9，n，在A中取三个数，B中取两个数组成

6、五个元素的集合，求的最小值。【解】 设B中每个数在所有中最多重复出现次，则必有。若不然，数出现次（），则在出现的所有中，至少有一个A中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合1，其中，为满足题意的集合。必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以20个中，B中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以。当时，如下20个集合满足要求：1，2，3，7，8， 1，2，4，12，14， 1，2，5，15，16， 1，2，6，9，10，1，3，4，10，11， 1，3，5，13，14， 1，3，6，12，15， 1，4，5，7，9，1，4，6，13，16， 1，5，6，8，11， 2，3，

7、4，13，15， 2，3，5，9，11，2，3，6，14，16， 2，4，5，8，10， 2，4，6，7，11， 2，5，6，12，13，3，4，5，12，16， 3，4，6，8，9， 3，5，6，7，10， 4，5，6，14，15。例10 集合1，2，3n可以划分成个互不相交的三元集合，其中，求满足条件的最小正整数【解】 设其中第个三元集为则1+2+所以。当为偶数时，有，所以，当为奇数时，有，所以，当时，集合1，11，4，2，13，5，3，15，6，9，12，7，10，14，8满足条件，所以的最小值为5。三、基础训练题1给定三元集合，则实数的取值范围是_。2若集合中只有一个元素，则=_。3集

8、合的非空真子集有_个。4已知集合，若，则由满足条件的实数组成的集合P=_。5已知，且，则常数的取值范围是_。6若非空集合S满足，且若，则，那么符合要求的集合S有_个。7集合之间的关系是_。8若集合，其中，且，若，则A中元素之和是_。9集合，且，则满足条件的值构成的集合为_。10集合，则_。11已知S是由实数构成的集合，且满足1）若，则。如果，S中至少含有多少个元素？说明理由。12已知，又C为单元素集合，求实数的取值范围。四、高考水平训练题1已知集合，且A=B，则_，_。2，则_。3已知集合，当时，实数的取值范围是_。4若实数为常数，且_。5集合，若，则_。6集合，则中的最小元素是_。7集合，且

9、A=B，则_。8已知集合，且，则的取值范围是_。9设集合，问：是否存在，使得，并证明你的结论。10集合A和B各含有12个元素，含有4个元素，试求同时满足下列条件的集合C的个数：1）且C中含有3个元素；2）。11判断以下命题是否正确：设A，B是平面上两个点集，若对任何，都有，则必有，证明你的结论。五、联赛一试水平训练题1已知集合，则实数的取值范围是_。2集合的子集B满足：对任意的，则集合B中元素个数的最大值是_。3已知集合，其中，且，若P=Q，则实数_。4已知集合，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则_。5集合，集合，则集合M与N的关系是_。6设集合，集合A满足：，且当时，则A中元素最多有_

10、个。7非空集合，则使成立的所有的集合是_。8已知集合A，B，aC（不必相异）的并集, 则满足条件的有序三元组（A，B，C）个数是_。9已知集合，问：当取何值时，为恰有2个元素的集合？说明理由，若改为3个元素集合，结论如何？10求集合B和C，使得，并且C的元素乘积等于B的元素和。11S是Q的子集且满足：若，则恰有一个成立，并且若，则，试确定集合S。12集合S=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的若干个五元子集满足：S中的任何两个元素至多出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？六、联赛二试水平训练题1是三个非空整数集，已知对于1，2，3的任意一个排列，如果，则。求证：中必有两个相

11、等。2求证：集合1，2，1989可以划分为117个互不相交的子集，使得（1）每个恰有17个元素；（2）每个中各元素之和相同。3某人写了封信，同时写了个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错的情况有多少种？4设是20个两两不同的整数，且整合中有201个不同的元素，求集合中不同元素个数的最小可能值。5设S是由个人组成的集合。其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数。6对于整数，求出最小的整数，使得对于任何正整数，集合的任一个元子集中，均有至少3个两两互质的元素。7设集合S=1，2，50，求最小自然数，使S的任意一个元子集中都存在两个不同的数a和b，满足。8集合，试作出X的三元子集族&，满

12、足：（1）X的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含；（2）。9设集合，求最小的正整数，使得对A的任意一个14-分划，一定存在某个集合，在中有两个元素a和b满足。高中数学精神讲义（二）二次函数与命题1二次函数：当0时，y=ax2+bx+c或f（x）=ax2+bx+c称为关于x的二次函数，其对称轴为直线x=-，另外配方可得f（x）=a（x-x0）2+f（x0），其中x0=-，下同。2二次函数的性质：当a0时，f（x）的图象开口向上，在区间（-，x0上随自变量x增大函数值减小（简称递减），在x0, -）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a0时，方程f（x）=0即ax2+bx+c=0和

13、不等式ax2+bx+c0及ax2+bx+c0时，方程有两个不等实根，设x1,x2（x1x2），不等式和不等式的解集分别是x|xx2和x|x1xx2，二次函数f（x）图象与x轴有两个不同的交点，f（x）还可写成f（x）=a（x-x1）（x-x2）.2）当=0时，方程有两个相等的实根x1=x2=x0=,不等式和不等式的解集分别是x|x和空集，f（x）的图象与x轴有唯一公共点。3）当0，当x=x0时，f（x）取最小值f（x0）=,若a0），当x0m, n时，f（x）在m, n上的最小值为f（x0）; 当x0n时，f（x）在m, n上的最小值为f（n）（以上结论由二次函数图象即可得出）。 能判断真假的

14、语句叫命题，如“35”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。注1 “p或q”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”复合命题只有当p，q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。 原命题：若p则q（p为条件，q为结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。注2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。注3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。 如果命题“若p则q”为真，则记为pq否则记作

15、pq.在命题“若p则q”中，如果已知pq,则p是q的充分条件；如果qp，则称p是q的必要条件；如果pq但q不p，则称p是q的充分非必要条件；如果p不q但pq，则p称为q的必要非充分条件；若pq且qp，则p是q的充要条件。1待定系数法。 设方程x2-x+1=0的两根是，求满足f（）=,f（）=,f（1）=1的二次函数f（x）. 设f（x）=ax2+bx+c（a0）,则由已知f（）=,f（）=相减并整理得（-）（+）a+b+1=0，因为方程x2-x+1=0中0，所以，所以（+）a+b+1=0.又+=1,所以a+b+1=0.又因为f（1）=a+b+c=1，所以c-1=1，所以c=2.又b=-（a+1

16、），所以f（x）=ax2-（a+1）x+2.再由f（）=得a2-（a+1）+2=,所以a2-a+2=+=1，所以a2-a+1=0.即a（2-+1）+1-a=0,即1-a=0，所以a=1,所以f（x）=x2-2x+2.2方程的思想。 已知f（x）=ax2-c满足-4f（1）-1, -1f（2）5，求f（3）的取值范围。 因为-4f（1）=a-c-1,所以1-f（1）=c-a4.又-1f（2）=4a-c5, f（3）=f（2）-f（1）,所以（-1）+f（3）5+4,所以-1f（3）20.3利用二次函数的性质。 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a,b,cR, a0），若方程f（x）=x无实

17、根，求证：方程f（f（x）=x也无实根。【证明】若a0，因为f（x）=x无实根，所以二次函数g（x）=f（x）-x图象与x轴无公共点且开口向上，所以对任意的xR,f（x）-x0即f（x）x，从而f（f（x）f（x）。所以f（f（x）x，所以方程f（f（x）=x无实根。注：请读者思考例3的逆命题是否正确。4利用二次函数表达式解题。 设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a0），方程f（x）=x的两根x1, x2满足0x1x2,（）当x（0, x1）时，求证：f（x）x1；（）设函数f（x）的图象关于x=x0对称，求证：x0【证明】 因为x1, x2是方程f（x）-x=0的两根，所以f（x）-x=

18、a（x-x1）（x-x2），即f（x）=a（x-x1）（x-x2）+x.（）当x（0, x1）时，x-x10, x-x20，所以f（x）x.其次f（x）-x1=（x-x1）a（x-x2）+1=a（x-x1）x-x2+0，所以f（x）x1.综上，x1，求证：方程的正根比1小，负根比-1大。【证明】 方程化为2a2x2+2ax+1-a2=0.构造f（x）=2a2x2+2ax+1-a2,f（1）=（a+1）20, f（-1）=（a-1）20, f（0）=1-a20，所以f（x）在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。即方程的正根比1小，负根比-1大。6定义在区间上的二次函数的最值。 当x取何值时，

19、函数y=取最小值？求出这个最小值。【解】 y=1-,令u,则0u1。y=5u2-u+1=5,且当即x=3时，ymin=. 设变量x满足x2+bx-x（b-1），并且x2+bx的最小值是，求b的值。 由x2+bx-x（b-（b+1），即b-2时，x2+bx在0，-（b+1）上是减函数，所以x2+bx的最小值为b+1,b+1=-,b=-.综上，b=-.7.一元二次不等式问题的解法。 已知不等式组 的整数解恰好有两个，求a的取值范围。 因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a, x2=1-a,若a0，则x1x2.的解集为a1-2a.因为1-2a1-a，所以a0,所以不等式组无解。0，）当0a时

20、，x1x2,的解集为a1-a.因为01-a时，a1-2a，所以不等式组的解集为1-a1且a-（1-a）3，所以1a2，并且当1a2时，不等式组恰有两个整数解0，1。综上，a的取值范围是10，=（B-A-C）2（y-z）2-4AC（y-z）20恒成立，所以（B-A-C）2-4AC0，即A2+B2+C22（AB+BC+CA）同理有B0，C0，所以必要性成立。再证充分性，若A0，B0，C0且A2+B2+C22（AB+BC+CA），1）若A=0，则由B2+C22BC得（B-C）20，所以B=C，所以=0，所以成立，成立。2）若A0，则由知0，所以成立，所以成立。综上，充分性得证。9常用结论。 若a,

21、bR, |a|-|b|a+b|a|+|b|. 因为-|a|a|a|,-|b|b|b|，所以-（|a|+|b|）a+b|a|+|b|,所以|a+b|a|+|b|（注：若m0，则-mxm等价于|x|m）.又|a|=|a+b-b|a+b|+|-b|,即|a|-|b|a+b|.综上定理1得证。 若a,bR, 则a2+b22ab；若x,yR+,则x+y（证略）注 定理2可以推广到n个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。1下列四个命题中属于真命题的是_，“若x+y=0，则x、y互为相反数”的逆命题；“两个全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x2+x+q=0有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三

22、个内角相等”的逆否命题。2由上列各组命题构成“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题中，p或q为真，p且q为假，非p为真的是_.p；3是偶数，q：4是奇数；p:3+2=6,q:p:a（a,b）,q:aa,b; p: QR, q: N=Z.3. 当|x-2|a时，不等式|x2-4|0的解是12，则a, b的值是_.5. x1且x2是x-1的_条件，而-2m0且0n1是关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根的_条件.6.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是_.7.若S=x|mx2+5x+2=0的子集至多有2个，则m的取值范围是_.8. R为全集，A=x|3-x4, B=, 则（CRA）B=_.9. 设a, b是整数，集合A=（x,y）|（x-a）2+3b6y，点（2，1）A，但点（1，0）A，（3，2）A则a,b的值是_.10设集合A=x|x|0，则集合x|xA且xAB=_.11. 求使不等式ax2+4x-1-2x2-a对任意实数x恒成立的a的取值范围。12对任意x0,1,有 成立，求k的取值范围。1若不等式|x-a|0当|a|1时恒成立的x的取值范围是_.3