高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(一)Word文档下载推荐.doc
《高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(一)Word文档下载推荐.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(一)Word文档下载推荐.doc（70页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。
例1
设，求证：
（1）；
（2）；
（3）若，则
[证明]
（1）因为，且，所以
（2）假设，则存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇数或4的倍数，不可能等于，假设不成立，所以
（3）设，则
（因为）。
2．利用子集的定义证明集合相等，先证，再证，则A=B。
例2
设A，B是两个集合，又设集合M满足
，求集合M（用A，B表示）。
【解】先证，若，因为，所以，所以；
再证，若，则1）若，则；
2）若，则。
所以
综上，
3．分类讨论思想的应用。
例3
，若，求
【解】依题设，，再由解得或，
因为，所以，所以，所以或2，所以或3。
因为，所以，若，则，即，若，则或，解得
综上所述，或；
或。
4．计数原理的应用。
例4
集合A，B，C是I={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，
（1）若，求有序集合对（A，B）的个数；
（2）求I的非空真子集的个数。
【解】
（1）集合I可划分为三个不相交的子集；
A\B，B\A，中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个。
（2）I的子集分三类：
空集，非空真子集，集合I本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；
第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有个，非空真子集有1022个。
5．配对方法。
例5给定集合的个子集：
，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求的值。
【解】将I的子集作如下配对：
每个子集和它的补集为一对，共得对，每一对不能同在这个子集中，因此，；
其次，每一对中必有一个在这个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C1A与A，并设，则，从而可以在个子集中再添加，与已知矛盾，所以。
综上，。
6．竞赛常用方法与例问题。
定理4
容斥原理；
用表示集合A的元素个数，则
，需要xy此结论可以推广到个集合的情况，即
定义8
集合的划分：
若，且，则这些子集的全集叫I的一个-划分。
定理5
最小数原理：
自然数集的任何非空子集必有最小数。
定理6
抽屉原理：
将个元素放入个抽屉，必有一个抽屉放有不少于个元素，也必有一个抽屉放有不多于个元素；
将无穷多个元素放入个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。
例6
求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数。
【解】记，，由容斥原理，，所以不能被2，3，5整除的数有个。
例7
S是集合{1，2，…，2004}的子集，S中的任意两个数的差不等于4或7，问S中最多含有多少个元素？
【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。
由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S至多含有其中5个数。
又因为2004=182×
11+2，所以S一共至多含有182×
5+2=912个元素，另一方面，当时，恰有，且S满足题目条件，所以最少含有912个元素。
例8
求所有自然数，使得存在实数满足：
【解】
当时，；
当时，；
当时，。
下证当时，不存在满足条件。
令，则
所以必存在某两个下标，使得，所以或，即，所以或，。
（ⅰ）若，考虑，有或，即，设，则，导致矛盾，故只有
考虑，有或，即，设，则，推出矛盾，设，则，又推出矛盾，所以故当时，不存在满足条件的实数。
（ⅱ）若，考虑，有或，即，这时，推出矛盾，故。
考虑，有或，即=3，于是，矛盾。
因此，所以，这又矛盾，所以只有，所以。
故当时，不存在满足条件的实数。
例9
设A={1，2，3，4，5，6}，B={7，8，9，……，n}，在A中取三个数，B中取两个数组成五个元素的集合，求的最小值。
【解】
设B中每个数在所有中最多重复出现次，则必有。
若不然，数出现次（），则在出现的所有中，至少有一个A中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合{1，}，其中，为满足题意的集合。
必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以
20个中，B中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以。
当时，如下20个集合满足要求：
{1，2，3，7，8}，
{1，2，4，12，14}，
{1，2，5，15，16}，
{1，2，6，9，10}，
{1，3，4，10，11}，{1，3，5，13，14}，
{1，3，6，12，15}，
{1，4，5，7，9}，
{1，4，6，13，16}，{1，5，6，8，11}，
{2，3，4，13，15}，
{2，3，5，9，11}，
{2，3，6，14，16}，{2，4，5，8，10}，
{2，4，6，7，11}，
{2，5，6，12，13}，
{3，4，5，12，16}，{3，4，6，8，9}，
{3，5，6，7，10}，
{4，5，6，14，15}。
例10集合{1，2，…，3n}可以划分成个互不相交的三元集合，其中，求满足条件的最小正整数
【解】设其中第个三元集为则1+2+…+
所以。
当为偶数时，有，所以，当为奇数时，有，所以，当时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8}满足条件，所以的最小值为5。
三、基础训练题
1．给定三元集合，则实数的取值范围是___________。
2．若集合中只有一个元素，则=___________。
3．集合的非空真子集有___________个。
4．已知集合，若，则由满足条件的实数组成的集合P=___________。
5．已知，且，则常数的取值范围是___________。
6．若非空集合S满足，且若，则，那么符合要求的集合S有___________个。
7．集合之间的关系是___________。
8．若集合，其中，且，若，则A中元素之和是___________。
9．集合，且，则满足条件的值构成的集合为___________。
10．集合，则
___________。
11．已知S是由实数构成的集合，且满足1））若，则。
如果，S中至少含有多少个元素？
说明理由。
12．已知，又C为单元素集合，求实数的取值范围。
四、高考水平训练题
1．已知集合，且A=B，则___________，___________。
2．
，则___________。
3．已知集合，当时，实数的取值范围是___________。
4．若实数为常数，且___________。
5．集合，若，则___________。
6．集合，则中的最小元素是___________。
7．集合，且A=B，则___________。
8．已知集合，且，则的取值范围是___________。
9．设集合，问：
是否存在，使得，并证明你的结论。
10．集合A和B各含有12个元素，含有4个元素，试求同时满足下列条件的集合C的个数：
1）且C中含有3个元素；
2）。
11．判断以下命题是否正确：
设A，B是平面上两个点集，，若对任何，都有，则必有，证明你的结论。
五、联赛一试水平训练题
1．已知集合，则实数的取值范围是___________。
2．集合的子集B满足：
对任意的，则集合B中元素个数的最大值是___________。
3．已知集合，其中，且，若P=Q，则实数___________。
4．已知集合，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则___________。
5．集合，集合，则集合M与N的关系是___________。
6．设集合，集合A满足：
，且当时，，则A中元素最多有___________个。
7．非空集合，≤则使成立的所有的集合是___________。
8．已知集合A，B，aC（不必相异）的并集,则满足条件的有序三元组（A，B，C）个数是___________。
9．已知集合，问：
当取何值时，为恰有2个元素的集合？
说明理由，若改为3个元素集合，结论如何？
10．求集合B和C，使得，并且C的元素乘积等于B的元素和。
11．S是Q的子集且满足：
若，则恰有一个成立，并且若，则，试确定集合S。
12．集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的若干个五元子集满足：
S中的任何两个元素至多出现在两个不同的五元子集中，问：
至多有多少个五元子集？
六、联赛二试水平训练题
1．是三个非空整数集，已知对于1，2，3的任意一个排列，如果，，则。
求证：
中必有两个相等。
2．求证：
集合{1，2，…，1989}可以划分为117个互不相交的子集，使得
（1）每个恰有17个元素；
（2）每个中各元素之和相同。
3．某人写了封信，同时写了个信封，然后将信任意装入信封，问：
每封信都装错的情况有多少种？
4．设是20个两两不同的整数，且整合中有201个不同的元素，求集合中不同元素个数的最小可能值。
5．设S是由个人组成的集合。
其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数。
6．对于整数，求出最小的整数，使得对于任何正整数，集合的任一个元子集中，均有至少3个两两互质的元素。
7．设集合S={1，2，…，50}，求最小自然数，使S的任意一个元子集中都存在两个不同的数a和b，满足。
8．集合，试作出X的三元子集族&
，满足：
（1）X的任意一个二元子集至少被族&
中的一个三元子集包含；
（2）。
9．设集合，求最小的正整数，使得对A的任意一个14-分划，一定存在某个集合，在中有两个元素a和b满足。
高中数学精神讲义
（二）
──二次函数与命题
1．二次函数：
当0时，y=ax2+bx+c或f（x）=ax2+bx+c称为关于x的二次函数，其对称轴为直线x=-，另外配方可得f（x）=a（x-x0）2+f（x0），其中x0=-，下同。
2．二次函数的性质：
当a>
0时，f（x）的图象开口向上，在区间（-∞，x0]上随自变量x增大函数值减小（简称递减），在[x0,-∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。
当a<
0时，情况相反。
3．当a>
0时，方程f（x）=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c>
0…②及ax2+bx+c<
0…③与函数f（x）的关系如下（记△=b2-4ac）。
1）当△>
0时，方程①有两个不等实根，设x1,x2（x1<
x2），不等式②和不等式③的解集分别是{x|x<
x1或x>
x2}和{x|x1<
x<
x2}，二次函数f（x）图象与x轴有两个不同的交点，f（x）还可写成f（x）=a（x-x1）（x-x2）.
2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x1=x2=x0=,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x}和空集，f（x）的图象与x轴有唯一公共点。
3）当△<
0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和.f（x）图象与x轴无公共点。
0时，请读者自己分析。
4．二次函数的最值：
若a>
0，当x=x0时，f（x）取最小值f（x0）=,若a<
0，则当x=x0=时，f（x）取最大值f（x0）=.对于给定区间[m,n]上的二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>
0），当x0∈[m,n]时，f（x）在[m,n]上的最小值为f（x0）;
当x0<
m时。
f（x）在[m,n]上的最小值为f（m）；
当x0>
n时，f（x）在[m,n]上的最小值为f（n）（以上结论由二次函数图象即可得出）。
能判断真假的语句叫命题，如“3>
5”是命题，“萝卜好大”不是命题。
不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。
注1
“p或q”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；
“p且q”复合命题只有当p，q同时为真命题时为真，否则为假命题；
p与“非p”即“p”恰好一真一假。
原命题：
若p则q（p为条件，q为结论）；
逆命题：
若q则p；
否命题：
若非p则q；
逆否命题：
若非q则非p。
注2
原命题与其逆否命题同真假。
一个命题的逆命题和否命题同真假。
注3
反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。
如果命题“若p则q”为真，则记为pq否则记作pq.在命题“若p则q”中，如果已知pq,则p是q的充分条件；
如果qp，则称p是q的必要条件；
如果pq但q不p，则称p是q的充分非必要条件；
如果p不q但pq，则p称为q的必要非充分条件；
若pq且qp，则p是q的充要条件。
1．待定系数法。
设方程x2-x+1=0的两根是α，β，求满足f（α）=β,f（β）=α,f
（1）=1的二次函数f（x）.
设f（x）=ax2+bx+c（a0）,
则由已知f（α）=β,f（β）=α相减并整理得（α-β）[（α+β）a+b+1]=0，
因为方程x2-x+1=0中△0，
所以αβ，所以（α+β）a+b+1=0.
又α+β=1,所以a+b+1=0.
又因为f
（1）=a+b+c=1，
所以c-1=1，所以c=2.
又b=-（a+1），所以f（x）=ax2-（a+1）x+2.
再由f（α）=β得aα2-（a+1）α+2=β,
所以aα2-aα+2=α+β=1，所以aα2-aα+1=0.
即a（α2-α+1）+1-a=0,即1-a=0，
所以a=1,
所以f（x）=x2-2x+2.
2．方程的思想。
已知f（x）=ax2-c满足-4≤f
（1）≤-1,-1≤f
（2）≤5，求f（3）的取值范围。
因为-4≤f
（1）=a-c≤-1,
所以1≤-f
（1）=c-a≤4.
又-1≤f
（2）=4a-c≤5,f（3）=f
（2）-f
（1）,
所以×
（-1）+≤f（3）≤×
5+×
4,
所以-1≤f（3）≤20.
3．利用二次函数的性质。
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a,b,c∈R,a0），若方程f（x）=x无实根，求证：
方程f（f（x））=x也无实根。
【证明】若a>
0，因为f（x）=x无实根，所以二次函数g（x）=f（x）-x图象与x轴无公共点且开口向上，所以对任意的x∈R,f（x）-x>
0即f（x）>
x，从而f（f（x））>
f（x）。
所以f（f（x））>
x，所以方程f（f（x））=x无实根。
注：
请读者思考例3的逆命题是否正确。
4．利用二次函数表达式解题。
设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>
0），方程f（x）=x的两根x1,x2满足0<
x1<
x2<
（Ⅰ）当x∈（0,x1）时，求证：
f（x）<
x1；
（Ⅱ）设函数f（x）的图象关于x=x0对称，求证：
x0<
【证明】因为x1,x2是方程f（x）-x=0的两根，所以f（x）-x=a（x-x1）（x-x2），
即f（x）=a（x-x1）（x-x2）+x.
（Ⅰ）当x∈（0,x1）时，x-x1<
0,x-x2<
0,a>
0，所以f（x）>
x.
其次f（x）-x1=（x-x1）[a（x-x2）+1]=a（x-x1）[x-x2+]<
0，所以f（x）<
x1.
综上，x<
（Ⅱ）f（x）=a（x-x1）（x-x2）+x=ax2+[1-a（x1+x2）]x+ax1x2,
所以x0=,
所以，
5．构造二次函数解题。
例5
已知关于x的方程（ax+1）2=a2（a-x2）,a>
1，求证：
方程的正根比1小，负根比-1大。
【证明】
方程化为2a2x2+2ax+1-a2=0.
构造f（x）=2a2x2+2ax+1-a2,
f
（1）=（a+1）2>
0,f（-1）=（a-1）2>
0,f（0）=1-a2<
0,即△>
0，
所以f（x）在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。
即方程的正根比1小，负根比-1大。
6．定义在区间上的二次函数的最值。
当x取何值时，函数y=取最小值？
求出这个最小值。
【解】y=1-,令u,则0<
u≤1。
y=5u2-u+1=5,
且当即x=3时，ymin=.
设变量x满足x2+bx≤-x（b<
-1），并且x2+bx的最小值是，求b的值。
由x2+bx≤-x（b<
-1），得0≤x≤-（b+1）.
ⅰ）-≤-（b+1），即b≤-2时，x2+bx的最小值为-，所以b2=2，所以（舍去）。
ⅱ）->
-（b+1），即b>
-2时，x2+bx在[0，-（b+1）]上是减函数，
所以x2+bx的最小值为b+1,b+1=-,b=-.
综上，b=-.
7.一元二次不等式问题的解法。
已知不等式组
①②的整数解恰好有两个，求a的取值范围。
因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a,x2=1-a,
若a≤0，则x1<
x2.①的解集为a<
1-a，由②得x>
1-2a.
因为1-2a≥1-a，所以a≤0,所以不等式组无解。
0，ⅰ）当0<
a<
时，x1<
x2,①的解集为a<
1-a.
因为0<
1-a<
1，所以不等式组无整数解。
ⅱ）当a=时，a=1-a，①无解。
ⅲ）当a>
时，a>
1-2a，
所以不等式组的解集为1-a<
a.
又不等式组的整数解恰有2个，
所以a-（1-a）>
1且a-（1-a）≤3，
所以1<
a≤2，并且当1<
a≤2时，不等式组恰有两个整数解0，1。
综上，a的取值范围是1<
a≤2.
8．充分性与必要性。
设定数A，B，C使得不等式
A（x-y）（x-z）+B（y-z）（y-x）+C（z-x）（z-y）≥0
①
对一切实数x,y,z都成立，问A，B，C应满足怎样的条件？
（要求写出充分必要条件，而且限定用只涉及A，B，C的等式或不等式表示条件）
充要条件为A，B，C≥0且A2+B2+C2≤2（AB+BC+CA）.
先证必要性，①可改写为A（x-y）2-（B-A-C）（y-z）（x-y）+C（y-z）2≥0
②
若A=0，则由②对一切x,y,z∈R成立，则只有B=C，再由①知B=C=0，若A0，则因为②恒成立，所以A>
0，△=（B-A-C）2（y-z）2-4AC（y-z）2≤0恒成立，所以（B-A-C）2-4AC≤0，即A2+B2+C2≤2（AB+BC+CA）
同理有B≥0，C≥0，所以必要性成立。
再证充分性，若A≥0，B≥0，C≥0且A2+B2+C2≤2（AB+BC+CA），
1）若A=0，则由B2+C2≤2BC得（B-C）2≤0，所以B=C，所以△=0，所以②成立，①成立。
2）若A>
0，则由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。
综上，充分性得证。
9．常用结论。
若a,b∈R,|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.
因为-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-（|a|+|b|）≤a+b≤|a|+|b|,
所以|a+b|≤|a|+|b|（注：
若m>
0，则-m≤x≤m等价于|x|≤m）.
又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|,
即|a|-|b|≤|a+b|.综上定理1得证。
若a,b∈R,则a2+b2≥2ab；
若x,y∈R+,则x+y≥
（证略）
注
定理2可以推广到n个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。
1．下列四个命题中属于真命题的是________，①“若x+y=0，则x、y互为相反数”的逆命题；
②“两个全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2+x+q=0有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题。
2．由上列各组命题构成“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题中，p或q为真，p且q为假，非p为真的是_________.①p；
3是偶数，q：
4是奇数；
②p:
3+2=6,q:
③p:
a∈（a,b）,q:
{a}{a,b};
④p:
QR,q:
N=Z.
3.当|x-2|<
a时，不等式|x2-4|<
1成立，则正数a的取值范围是________.
4.不等式ax2+（ab+1）x+b>
0的解是1<
2，则a,b的值是____________.
5.x1且x2是x-1的__________条件，而-2<
m<
0且0<
n<
1是关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根的__________条件.
6.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是_________.
7.若S={x|mx2+5x+2=0}的子集至多有2个，则m的取值范围是_________.
8.R为全集，A={x|3-x≥4},B=,则（CRA）∩B=_________.
9.设a,b是整数，集合A={（x,y）|（x-a）2+3b≤6y}，点（2，1）∈A，但点（1，0）A，（3，2）A则a,b的值是_________.
10．设集合A={x||x|<
4},B={x|x2-4x+3>
0}，则集合{x|x∈A且xA∩B}=_________.
11.求使不等式ax2+4x-1≥-2x2-a对任意实数x恒成立的a的取值范围。
12．对任意x∈[0,1],有①②成立，求k的取值范围。
1．若不等式|x-a|<
x的解集不空，则实数a的取值范围是_________.
2．使不等式x2+（x-6）x+9>
0当|a|≤1时恒成立的x的取值范围是_________.
3．
升级会员 