高等数学同济版多元函数微分学练习题册.docx

1、高等数学同济版多元函数微分学练习题册第八章 多元函数微分法及其应用第一节作业一、填空题：1.函数z=ln(1-x2)+ y-x2+3x+y+1的定义域为2.函数f(x,y,z)=arccoszx2+y2的定义域为3.设f(x,y)=x2-y2,(x)=cosx,(x)=sinx,则f(x),(x)=.4.limsinxyx0 xya=.二、选择题（单选）：sinxsiny的所有间断点是:(A)x=y=2n（n=1,2,3,）；(B)x=y=n(n=1,2,3,)；(C)x=y=m(m=0,1，2，)；(D)x=n,y=m(n=0,1，2，m=0,1,2,)。答：（ ）sin2(x2+y22,

2、x2+y2=0在点（0，0）处：（A）无定义； （B）无极限； （C）有极限但不连续；（D）连续。答：（）三、求lim2- xy+4x0 xyya.四、证明极限lim x2y2x0x2y2+(x-y)2y0不存在。71/13一、填空题：1第二节作业x.2.设f(x,y)=x+(y-1)arcsinxy.：二、选择题（单选）设z=2x+y2,则z等于:y(A)y2x+y2ln4; (B)(x+y2)2yln4; (C)2y(x+y2)ex+y2; (D)2y4x+y2.答：（ ）三、试解下列各题：x zzy xyy2zxxy四、验证r= x2+y2+z2满足2r2r2r2+=.x2y2z2r第三

3、节作业一、填空题：1.函数z=dz=yx当x=2,y=1,x=0.1,y=-0.2时的全增量z=.全微分值y2.设z=ex,则dz=.：二、选择题（单选）1.函数z=f(x,y)在点P0（x0,y0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的：（A）充分条件； （B）充要条件； （C）必要条件； （D）无关条件。答：（ ）72/132.f(x,y)在(x0,y0)处两个偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的：（A）充分必要条件； （B）必要非充分条件；（C）充分非必要条件； （D）既非充分亦非必要条件。答：（ ）三、试解下列各题：1.设z=xy+x,求dz.3.求

4、函数z=ln(1+x2+y2)当x=1,y=2时的全微分.4.设z=arccos xx2+y2,求dz.四、证明：f(x,)= xy在点（0,0）处的偏导数存在，但在点(0,0)处不可微。第四节作业一、填空题：1.设z=ex-2y,而x=sint,y=t3,则dzdt=.73/13zy x .3.设z=f(x+y,x-y),f可微,则dz=：二、选择题（单选）1.设u=(x-y)z,而z=x2+y2,则u+u等于:x y(A)2z(x-y)z-1+(x+y)(x-y)zln(x-y);(C)2(x-y)z(x+y)ln(x-y);.(B)2z(x-y)z;(D)2(x-y)z+1ln(x-y)

5、.答：（）2.设z=3xy,而x=f(y)且f可导,则(A)3xyy+xf(y)ln3;3xy(C) x+yf(y);ln3dzdy等于:(B)3xyx+yf(y)ln3;(D)zf(y)+z-3xyx+yf(y)ln3.xy答：（）2xz(A)f+xf+zf+xf; (B)xf+xf+xzf;2 11 12 12 12 2 22(C)xf+xzf;21 22(D)f+xf+xzf.22122答：（ ）三、试解下列各题：1. 设z=arctan(xy),而y=ex,求dzdx.2.求下列函数的一阶偏导数（其中f具有一阶连续偏导数）：(1)u=f(x2-y2,exy).(2)u=f(x,xy,x

6、yz).74/13x 2zy xy.4.设z=f(x,u,v),u=2x+y,v=xy,其中f具有连续偏导数，求全微分dz。5.设z=f(x,y),且f具有连续的一阶偏导数,而x=u,y2=v-u2,试以u,v为新的自变z zx y四、设z=y1z1zzf(x2-y2)xxyyy2一、填空题：ydyxdx第五节作业=75/13.2.设z=z(x,y)由方程x2+y2+z2-2x+4y-4z-10=0所确定,则zx=.2zxy.4.由方程xyz+ x2+y2+z2= 2所确定的函数z=z(x,y)在点(1,0,-1)处的全微分dz= .：二、选择题（单选）x-u=yvx.1.函数y=y(x,z)

7、由方程xyz=ex+y所确定,则yx是:y(x-1) (A) ;x(1-y)y(B);x(1-y)yz(C);1-yy(1-xz)(D).x(1-y)答：（ ）2.已知x+y-z=ex,xex=tant,y=cost,则1 1(A) ; (B)- ;2dzdt=t=0(D)0.答：（ ）三、试解下列各题：zz y x y2z3 3xy76/133.设x=eucosv,y=eusinv,z=uv,试求zzxy四、设(u,v)具有连续偏导数，证明由方程（cx-az,cy-bz）=0所确定的函数z=f(x,y)满足azz+b=c.xy第六节作业一、填空题：1.曲线x=etcost,y=etsint,

8、z=2et在相应于t=0点处的切线与oz轴夹角的正弦sin= .2.曲线y=f(x),z=g(x,y)(其中f(x)和g(x,y)皆可微)上点(x,y,z)处的切线方0 0 0程是 .二、选择题（单选）：xyz=21.曲线 上(2,1,1)点处的一个切向量与oz轴正向成锐角,则此切向量与oyx-y-z=0轴正向所夹角为: (A)(B)3;3;(D)2.3答：（ ）2.曲面xy2+z3=12上点(1,-2,2)处的切平面方程是:(A)x+y+3z=5; (B)-x-y+3z=7;(C)-x+y+3z=3; (D)x-y+3z=9.答：（ ）3.曲线2x=y2,z=x2在某一点处的切向量于三个坐标

9、轴正向夹角相等，与这一点相应的x值等于：(A)1;1(B);21(C);答：（ ）77/13三、试解下列各题：t 2 2方程.2.求椭球面x2+2y2+z2=1上平行于平面x-y+2z=0的切平面方程.在(3,4,5)点处的切线方程.x2+y2=z2四、试证曲面等于a.x+y+z=a(a0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和78/13第七节作业一、填空题：1.函数z=x2+y2在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2+ 3)的方向导数等于 。2.数量场f(x,yz)=x+2y+3z在(-1,2,0)点处的梯度是 。：3.设f(x,y)=x2-xy+y2，则f(x,y)在点(1,1)变

10、化率最大方向上的单位向量为 。二、选择题（单选） 函数y=xyz-2yz-3在点(11,1)沿I=2i+2j+k的方向导数等于:1 1 1 1 (A) ; (B)- ; (C) ; (D)-.5 5 3 3答：（ ）三、试解下列各题：1.求函数z=1-(方向导数.x2y2abx2y2+a2b222a2b2=1在这点的内法线方向的2.求函数u=xyz在点M(1,1,1)沿从点(1,1,1)到点(2,5,3)的方向的方向导数。3.设f(x,y,z)=x2=2y2+3z2+xy+3x-2y-6z，求gradf(1,1,1).79/13u= 6x2+8y2z四、设u,v都是x,y,z的函数，u,v的各

11、偏导数存在且连续，证明：grad(uv)=vgradu+ugradv.第八节作业一、填空题：1.函数f(x,y)=4(x-y)-x2-y2的极大值为 。2.设函数z=z(x,y)由方程x2+2y2+3z2+xy-z-9=0所确定，则函数z的驻点为 。3.函数z=xy在闭区域x0，y0,x+y1上的最大值为 。二、选择题（单选）：1.z=x+2y在满足x2+y2=5的条件下的极小值为:(A)5; (B)-5; (C)25; (D)-25.答：（ ）2.函数z=x2+y3在(0,0)处：（A）有极大值；（B）有极小值；（C）没有极值；（D）既有极大值又有极小值。答：（ ）三、试解下列各题：1.求函

12、数f(x,y)=(6x-x2)(4y-y2)的极值。80/132.要造一个容积等于k的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小。四、将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大？第八章综合作业：一、填空题（每小题4分，共20分）1.已知u=xy+yz+zx,则gradu(1,2,3)=.2.设z=xyex2+y2+sinxy2zx.3.设z=arctanx+y,则dz=x-y.4.曲面z=x2+3y2在点(1,1,4)处的法线方程是5.设z=f(x,y)在点(x,y)处存在一阶偏导数,且在(x,y)处取得极值则必有0 0

13、0 0成立.：二、选择题（单选）（每小题5分，共20分）1.lim 3xyx0 xy+1-1y0=（A）3； （B）6； （C）不存在； （D）.答：（ ）2.若函数f(x,y)在点(x0,y0)处：（A）偏导数存在，则f(x,y)在该点一定可微；（B）连续，则f(x,y)在该点偏导数一定存在；（C）有极限，则f(x,y)在该点一定连续；（D）可微，则f(x,y)在该点连续且偏导数一定存在。答：（ ）81/133.曲线x=sint,y=cos2t,z=sintcost在对应于t=处的切线与xoy面的夹角是: 1 (A) ; (B) ; (C) ; (D)arccos .2 3 4 3答：（ ）

14、4.函数z=2x3-4x2+2xy-y2的极值点为：（A）（0，0）； （B）（1，1）； （C）（0，0）与（1，1） （D）无极值点。答：（ ）：三、试解下列各题（每小题7分，共28分）y,求df(1,1,1).2zxy2.设u=x2+y2+z2,x=rsincos,y=rsinsin,z=rcos,求u,u,u.r4.设u=f(x+y+z,x2+y2+z2),其中f具有二阶连续偏导数,求u +u +u.xx yy zzx四、求曲面ez+eyz=4在点(ln2,ln2,1)处的切平面及法线方程(7分).82/13x2+y2+z2-3x=0五、求曲线 在点(1,1,1)处的切线及法平面方程（7分）。2x-3y+5z-4=0六、求函数u=x+y+z在点M0（0，0，1）处沿球面x2+y2+z2=1在这点外法线方向的方向导数（8分）七、试证当2时,函数f(x,y)=(ey-1)sinx-cosxcos2y在原点一定有极小值（10分）83/13