高等数学同济版多元函数微分学练习题册.docx
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高等数学同济版多元函数微分学练习题册
第八章多元函数微分法及其应用
第 一 节 作 业
一、填空题：
1. 函数z = ln（1 - x 2 ） +y - x 2 + 3 x + y + 1的定义域为
2. 函数f （ x, y, z） = arccos
z
x 2 + y 2
的定义域为
3. 设f （ x, y） = x 2 - y 2 ,ϕ （ x） = cos x,ψ （ x） = sin x, 则f [ϕ （ x）,ψ （ x）] =
.
4. lim sin xy
x→0x
y→a
=
.
二、选择题（单选）：
sin x sin y 的所有间断点是:
（A） x=y=2nπ（n=1,2,3,…）；
（B） x=y=nπ（n=1,2,3,…）；
（C） x=y=mπ（m=0,±1，±2，…）；
（D） x=nπ,y=mπ（n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…）。
答：
（）
⎧ sin 2（ x 2 + y 2
⎪
⎪2 ,x 2 + y 2 = 0
在点（0，0）处：
（A）无定义；（B）无极限；（C）有极限但不连续；
（D）连续。
答：
（ ）
三、求 lim 2 -xy + 4
x→0xy
y→a
.
四、证明极限 limx 2 y 2
x→0 x 2 y 2 + （ x - y） 2
y→0
不存在。
71 / 13
一、填空题：
⎧ 1
⎩
第 二 节 作 业
x
.
2. 设f （ x, y） = x + （ y - 1） arcsin
x
y .
：
二、选择题（单选）
设z = 2 x+ y2 , 则z 等于 :
y
（ A） y ⋅ 2 x+ y2 ⋅ ln 4;（ B） （ x + y 2 ） ⋅ 2 y ln 4;（C ） 2 y（ x + y 2 ）e x+ y 2 ;（ D） 2 y ⋅ 4 x+ y 2 .
答：
（）
三、试解下列各题：
x∂z ∂z
y∂x ∂y
y ∂ 2z
x ∂x∂y
四、验证 r =x 2 + y 2 + z 2 满足
∂ 2 r ∂ 2 r ∂ 2 r 2
+ + = .
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 r
第 三 节 作 业
一、填空题：
1. 函数z =
dz =
y
x
当x = 2, y = 1, ∆x = 0.1, ∆y = -0.2时的全增量∆z =
.
全微分值
y
2. 设z = e x , 则dz =
.
：
二、选择题（单选）
1. 函数 z=f（x,y）在点 P0（x0,y0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的：
（A）充分条件；（B）充要条件；（C）必要条件；（D）无关条件。
答：
（）
72 / 13
2. f（x,y）在（x0,y0）处两个偏导数 fx（x0,y0）,fy（x0,y0）存在是 f（x,y）在该点连续的：
（A）充分必要条件；（B）必要非充分条件；
（C）充分非必要条件；（D）既非充分亦非必要条件。
答：
（）
三、试解下列各题：
1. 设z = xy + x , 求dz.
3. 求函数z = ln（1 + x 2 + y 2 ）当x = 1, y = 2时的全微分.
4. 设z = arccosx
x 2 + y 2
求dz.
四、证明：
f （ x, ） =xy 在点（0,0）处的偏导数存在，但在点（0,0）处不可微。
第 四 节 作 业
一、填空题：
1. 设z = e x-2 y , 而x = sin t, y = t 3 , 则 dz
dt
=
.
73 / 13
∂z
y∂x.
3. 设z = f （ x + y, x - y）, f可微, 则dz =
：
二、选择题（单选）
1. 设u = （ x - y） z , 而z = x 2 + y 2 , 则u + u 等于 :
xy
（ A） 2[ z（ x - y） z-1 + （ x + y）（ x - y） z ln（x - y）];
（C ） 2（ x - y） z （ x + y） ln（ x - y）;
.
（B） 2 z（ x - y） z ;
（D） 2（ x - y） z+1 ln（x - y）.
答：
（ ）
2. 设z = 3 xy , 而x = f （ y）且f可导, 则
（ A） 3 xy [ y + xf '（ y）]ln 3;
3 xy
（C ）[ x + yf '（ y）];
ln 3
dz
dy
等于 :
（ B） 3 xy [ x + yf '（ y）]ln 3;
（ D） z f '（ y） + z - 3 xy [[ x + yf '（ y）]ln 3.
x y
答：
（ ）
∂ 2
∂x∂z
（ A） f ' + xf " + zf " + xf " ;（ B） xf " + xf ' + xzf " ;
211121212222
（C ） xf " + xzf " ;
2122
（ D） f ' + xf " + xzf " .
2 21 22
答：
（）
三、试解下列各题：
1.设 z = arctan（xy）, 而y = e x, 求
dz
dx
.
2. 求下列函数的一阶偏导数（其中 f 具有一阶连续偏导数）：
（1） u = f （ x 2 - y 2 , e xy ）.
（2） u = f （ x, xy, xyz）.
74 / 13
x∂ 2z
y∂x∂y
.
4. 设 z=f（x,u,v）,u=2x+y,v=xy,其中 f 具有连续偏导数，求全微分 dz。
5. 设z = f （ x, y）, 且f具有连续的一阶偏导数, 而x = u, y 2 = v - u 2 , 试以u, v为新的自变
∂z∂z
∂x∂y
四、设 z =
y 1 ∂z 1 ∂z z
f （ x 2 - y 2 ） x ∂x y ∂y y 2
一、填空题：
y dy
x dx
第 五 节 作 业
=
75 / 13
.
2. 设z = z（ x, y）由方程x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4 y - 4 z - 10 = 0所确定, 则
∂z
∂x
= .
∂ 2 z
∂x∂y
.
4.由方程xyz +x 2 + y 2 + z 2 =2所确定的函数z = z（ x, y）在点（1,0,-1）处的全微分
dz =.
：
二、选择题（单选）
⎧x - u = yv ∂x
⎩
.
1. 函数y = y（ x, z）由方程xyz = e x+ y 所确定, 则
∂y
∂x
是 :
y（ x - 1）
（ A）;
x（1 - y）
y
（ B） ;
x（1 - y）
yz
（C ） ;
1 - y
y（1 - xz）
（ D） .
x（1 - y）
答：
（）
2.已知x + y - z = e x , xe x = tan t, y = cos t, 则
11
（ A）;（ B） -;
2
dz
dt
=
t =0
（ D） 0 .
答：
（）
三、试解下列各题：
∂z
zy∂x∂y
∂ 2 z
33
∂x∂y
76 / 13
3. 设 x = e u cos v, y = e u sin v, z = uv, 试求
∂z ∂z
∂x ∂y
四、设Φ（u,v）具有连续偏导数，证明由方程Φ（cx-az,cy-bz）=0 所确定的函数
z=f（x,y）满足 a
∂z ∂z
+ b = c.
∂x ∂y
第 六 节 作 业
一、填空题：
1.曲线x = e t cos t, y = e t sin t, z = 2e t 在相应于t = 0点处的切线与oz轴夹角的正弦
sin γ =.
2.曲线y = f （ x）, z = g （ x, y）（其中f （ x）和g （ x, y）皆可微）上点（ x , y , z ）处的切线方
000
程是.
二、选择题（单选）：
⎧ xyz = 2
1.曲线⎨上（2,1,1）点处的一个切向量与oz轴正向成锐角, 则此切向量与oy
⎩ x - y - z = 0
轴正向所夹角为 :
（ A） π
（ B） 3π ;
π
3 ;
（ D） 2π .
3
答：
（）
2.曲面xy 2 + z 3 = 12上点（1,-2,2）处的切平面方程是 :
（ A） x + y + 3z = 5;（ B） - x - y + 3z = 7;
（C ） - x + y + 3z = 3;（D） x - y + 3z = 9.
答：
（）
3. 曲线 2x=y2,z=x2 在某一点处的切向量于三个坐标轴正向夹角相等，与这一点相应的 x 值
等于：
（ A） 1;
1
（ B） ;
2
1
（C ） ;
答：
（）
77 / 13
三、试解下列各题：
tπ
22
方程.
2. 求椭球面x 2 + 2 y 2 + z 2 = 1上平行于平面x - y + 2 z = 0的切平面方程.
在（3,4,5）点处的切线方程.
⎪⎩x 2 + y 2 = z 2
四、试证曲面
等于 a.
x + y + z = a （a > 0）上任何点处的切平面在各坐标轴上 的截距之和
78 / 13
第 七 节 作 业
一、填空题：
1. 函数 z=x2+y2 在点（1,2）处沿从点（1,2）到点 （2,2 +3） 的方向导数等于。
2. 数量场 f（x,yz）=x+2y+3z 在（-1,2,0）点处的梯度是。
：
3. 设 f（x,y）=x2-xy+y2，则 f（x,y）在点（1,1）变化率最大方向上的单位向量为。
二、选择题（单选）
ρρρρ
函数y = xyz - 2 yz - 3在点（11,1）沿I = 2i + 2 j + k的方向导数等于 :
1111
（ A）;（ B） -;（C ）;（ D） - .
5533
答：
（）
三、试解下列各题：
1. 求函数z = 1 - （
方向导数.
x 2 y 2 a b x 2 y 2
+ +
a 2 b 2 2 2 a 2 b 2
= 1在这点的内法线方向的
2. 求函数 u=xyz 在点 M（1,1,1）沿从点（1,1,1）到点（2,5,3）的方向的方向导数。
3. 设 f（x,y,z）=x2=2y2+3z2+xy+3x-2y-6z，求 gradf（1,1,1）.
79 / 13
ρ
u =6 x 2 + 8 y 2
z
ρ
四、设 u,v 都是 x,y,z 的函数，u,v 的各偏导数存在且连续，
证明：
grad（uv）=vgradu+ugradv.
第 八 节 作 业
一、填空题：
1. 函数 f（x,y）=4（x-y）-x2-y2 的极大值为。
2. 设函数 z=z（x,y）由方程 x2+2y2+3z2+xy-z-9=0 所确定，则函数 z 的驻点为。
3. 函数 z=xy 在闭区域 x≥0，y≥0, x+y≤1 上的最大值为。
二、选择题（单选）：
1. z = x + 2 y在满足x 2 + y 2 = 5的条件下的极小值为 :
（ A）5;（ B） - 5;（C ）2 5;（ D） - 2 5.
答：
（）
2. 函数 z=x2+y3 在（0,0）处：
（A）有极大值； （B）有极小值； （C）没有极值； （D）既有极大值又有极小值。
答：
（）
三、试解下列各题：
1. 求函数 f（x,y）=（6x-x2）（4y-y2）的极值。
80 / 13
2. 要造一个容积等于 k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小。
四、将周长为 2p 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才可使
圆柱体的体积为最大？
第 八 章 综 合 作 业
：
一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
1.已知u = xy + yz + zx, 则gradu
（1,2,3） = .
2. 设z = xye x2 + y2 + sin x
y 2
∂z
∂x
.
3. 设z = arctan x + y , 则dz =
x - y
.
4.曲面z = x 2 + 3 y 2在点（1,1,4）处的法线方程是
5. 设z = f （ x, y）在点（ x , y ）处存在一阶偏导数, 且在（ x , y ）处取得极值则必有
0000
成立.
：
二、选择题（单选）（每小题 5 分，共 20 分）
1. lim3xy
x→0xy + 1 - 1
y→0
=
（A）3；（B）6；（C）不存在；（D）∞.
答：
（）
2. 若函数 f（x,y）在点（x0,y0）处：
（A）偏导数存在，则 f（x,y）在该点一定可微；
（B）连续，则 f（x,y）在该点偏导数一定存在；
（C）有极限，则 f（x,y）在该点一定连续；
（D）可微，则 f（x,y）在该点连续且偏导数一定存在。
答：
（）
81 / 13
3.曲线x = sin t, y = cos 2 t, z = sin t cos t在对应于t = π处的切线与xoy面的夹角是 :
πππ1
（ A）;（ B）;（C ）;（ D） arccos.
2343
答：
（）
4.函数 z=2x3-4x2+2xy-y2 的极值点为：
（A）（0，0）；（B）（1，1）；（C）（0，0）与（1，1）（D）无极值点。
答：
（）
：
三、试解下列各题（每小题 7 分，共 28 分）
y
求df （1,1,1）.
∂ 2 z
∂x∂y
2. 设u = x 2 + y 2 + z 2 , x = r sin ϕ cosθ , y = r sin ϕ sin θ , z = r cos ϕ, 求 ∂u , ∂u , ∂u .
∂r ∂θ ∂ϕ
4. 设u = f （ x + y + z, x 2 + y 2 + z 2 ）, 其中f具有二阶连续偏导数, 求u+ u+ u .
xxyyzz
x
四、求曲面 e z + e
y
z
= 4在点（ln 2, ln 2,1）处的切平面及法线方程 （7分）.
82 / 13
⎧x 2 + y 2 + z 2 - 3x = 0
五、求曲线 ⎨在点（1,1,1）处的切线及法平面方程（7 分）。
⎩ 2 x - 3 y + 5z - 4 = 0
六、求函数 u=x+y+z 在点 M0（0，0，1）处沿球面 x2+y2+z2=1 在这点外法线方向的方向
导数（8 分）
七、试证当 λ < 2时,函数f （ x, y） = λ（e y - 1）sin x - cos x cos 2 y在原点一定有极
小值（10 分）
83 / 13
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