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1、第五章 线性方程组4.1 线性方程组形式4.2 线性方程组解性质4.3 线性方程组解状况鉴别4.4 齐次线性方程组基本解系 线性方程组通解分析第六章 n阶矩阵特性向量和特性值 5.1 特性向量和特性值基本比较好考生可不必看这某些内容,或者只用本某些习题对自己进行一次测试.1.矩阵 矩阵是描写事物形态数量形式发展.由mn个数排列成一种m行n列表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一种mn型矩阵.这些数称为它元素,位于第i行第j列数称为（i,j）位元素.元素全为0矩阵称为零矩阵,普通就记作0. 两个矩阵A和B相等（记作A=B）,是指它行数相等,列数也相等（即它们类型相似）,并且相应元素都相等. （2

2、）线性运算和转置加（减）法:两个mn矩阵A和B可以相加（减）,得到和（差）仍是mn矩阵,记作A+B （A-B）,法则为相应元素相加（减）.数乘：一种mn矩阵A与应当数c可以相乘,乘积仍为mn矩阵,记作cA,法则为A每个元素乘c.这两种运算统称为先性运算,它们满足如下规律:加法互换律：A+B=B+A.加法结合律：（A+B）+C=A+（B+C）.加乘分派律：c（A+B）=cA+cB.（c+d）A=cA+dA. 数乘结合律：c（d）A=（cd）A.cA=0 c=0 或A=0.转置:把一种mn矩阵A行和列互换,得到nm矩阵称为A转置,记作A T（或A）.有如下规律： （AT）T= A. （A+B）T=

3、AT+BT. （cA）T=（cA）T. （3） n阶矩阵 几种特殊矩阵行数和列数相等矩阵称为方阵,行列数都为n矩阵也经常叫做n阶矩阵.n阶矩阵A相应行列式记作|A|,称为A行列式.把n阶矩阵从左上到右下对角线称为它主对角线.（其上运算行列号相等.）下面列出几类惯用n阶矩阵,它们但是考试大纲中规定掌握.对角矩阵：主对角线外元素都为0n阶矩阵.单位矩阵：主对角线外元素都为1对角矩阵,记作E（或I）.数量矩阵：主对角线外元素都等于一种常数c对角矩阵,它就是cE.上（下）三角矩阵：主对角线下（上）元素都为0n阶矩阵.对称矩阵:满足AT=A矩阵.也就是对任何i,j，（i,j）位元素和（j ,i）位元素总

4、是相等n阶矩阵.反对称矩阵:满足AT=-A矩阵.也就是对任何i,j，（i,j）位元素和（j ,i）位元素之和总等于0n阶矩阵. 反对称矩阵对角线上元素一定都是0. （4） 矩阵初等变换和阶梯形矩阵矩阵初等行变换有如下三种:互换两行上下位置. 用一种非0常数乘某一行各元素.把某一行倍数加到另一行上.类似地，矩阵尚有三种初等列变换,人们可以模仿着写出它们,这里省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵:一种矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:如果它有零行,则都出当前下面. 每个非零行第一种非0元素所在列号自上而下严格单调递增.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数各

5、类计算题中频繁运用基本运算,必要十分纯熟.向量是另一种描述事物形态数量形式.由n个数构成有序数组称为一种n维向量,称这些数为它分量.书写中可用矩阵形式来表达向量,例如分量依次是a1,a2, ,an向量可表达到 a1 （a1,a2, ,an）或 a2 , an请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不同样（左边是1n矩阵,右边n1是矩阵）.习惯上把它们分别称为行向量和列向量.请注意它与矩阵行向量和列向量区别.一种mn矩阵每一行是一种n维向量,称为它行向量；每一列是一种m维向量，称为它列向量.常惯用矩阵列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A列向量组为1, 2, ,n时（它们都是表达为列形式!）

6、可记A=（1, 2, ,n）.矩阵许多概念也可对向量来规定,如向量相等,零向量等等.这里从略.（2） 线性运算和线性组合向量也有加减法和数乘这两种线性运算,并且也有完全同样运算规律,这里也不来复述了.向量组线性组合:设1, 2, ,s是一组n维向量，c1,c2, ,cs是一组数,则称 c11+ c22+ ,+css为1, 2, ,s（以c1,c2, ,cs为系数）线性组合.它也是n维向量.（1） 基本概念线性方程组普通形式为: a11x1+a12x2+ +a1nxn=b1, a21x1+a22x2+ +a2nxn=b2, am1x1+am2x2+ +amnxn=bm,其中未知数个数n和方程式个

7、数m不必相等.分别称矩阵 a11 a12 a1n a11 a12 a1n b1 A= a21 a22 a2n 和（A|）= a21 a22 a2n b2 am1 am2 amn am1 am2 amn bm为方程组系数矩阵和增广矩阵. 如果b1=b2=bm=0,则称为齐次线性方程组.把一种非齐次线性方程组每个方程常数项都换成0，所得到齐次线性方程组称为原方程组导出齐次线性方程组，简称导出组.线性方程组解是一种n维向量（k1,k2, ,kn）,它满足:当每个方程中未知数xi都用ki代替时都成为等式. 线性方程组解状况有三种:无解,唯一解,无穷多解.n维零向量总是齐次线性方程组解,因而齐次线性方程

8、组解状况只有两种:唯一解（即只要零解）和无穷多解（即有非零解）.（2） 同解变换与矩阵消元法线性方程组同解变换有三种:互换两个方程上下位置. 用一种非0常数乘某个方程.把某方程倍数加到另一方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组基本求解办法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法:写出方程组增广矩阵（对齐次方程组用系数矩阵）,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵,再写出所代表阶梯形方程组 （它是原方程组同解方程组）,用它求解.1. 形式和意义形式:用n2个数排列成一种n行n列表格,两边界以竖线,就成为一种n阶行列式.如果行列式列向量组为1, 2, ,n,则此行列式可

9、表达为|1, 2, ,n|.意义:是一种算式,把n2个元素按照一定法则进行运算,得到数值称为这个行列式值.请注意行列式和矩阵在形式和意义上区别.当两个行列式值相等时,就可以在它们之间写等号！（不必形式同样,甚至阶数可不同.）每个n阶矩阵A相应一种n阶行列式,记作|A|.2. 定义（完全展开式）2阶和3阶行列式计算公式: a11 a12 a21 a22 = a11a22-a12a21 .a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32-a13a22a31- a11a23a32+ a12a21a33.a31 a32 a33普通地,一

10、种n阶行列式 a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 ann值是许多项代数和,每一项都是取自不同行,不同列n个元素乘积,其普通形式为:,这里把相乘n个元素按照行标大小顺序排列,它们列标j1j2jn构成1,2，,n一种全排列（称为一种n元排列）,一共有n!个n元排列,每个n元排列相应一项,因而共有n!个项.所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定（j1j2jn）为全排列j1j2jn逆序数（即小数排列在大数背面现象浮现个数,例如6元排列231645有4个逆序:21,31,64,65,因而 （231645）=4）,则所乘是于是a21 a22 a2n =an1 an2 a

11、nn 这里表达对所有n元排列求和.称上式为n阶行列式完全展开式.3.性质行列式有如下性质:把行列式转置值不变,即|AT|=|A| .某一行（列）公因子可提出.对一行或一列可分解,即如果某个行（列）向量=+ ,则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式该行（列）向量换为或 所得到行列式. 把两个行（列）向量互换，行列式值变号. 如果一种行（列）向量是另一种行（列）向量倍数,则行列式值为0.如果把一种行（列）向量倍数加到另一种行（列）向量上,则行列式值不变.把n阶行列式第i行和第j列划去后所得到n-1阶行列式称为（i,j）位元素aij余子式,记作Mij.称Aij=（-1）i+jMi

12、j为aij代数余子式.行列式可对某一行（列）展开,即行列式值等于该行（列）各元素与其代数余子式乘积之和.某一行（列）各元素与另一行（列）相应元素代数余子式乘积之和=0. 如果A与B都是方阵（不必同阶）,则 A * = A O =|A|+|B|. O B * B范德蒙行列式:形如 1 1 1 1 a1 a2 a3 an a12 a22 a32 an2 a1n-i a2n-i a3n-i ann-i行列式（或其转置）.它由a1,a2 ,a3,an所决定,它值等于 因而范德蒙行列式不等于0 a1,a2 ,a3,an两两不同. 4.计算行列式核心问题是值计算.（1）用完全展开式求行列式值普通来说工作量

13、很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才也许用它作行列式计算.例如对角行列式,上（下）三角行列式值就等于主对角线上元素乘积,由于其他项都为0.（2）化零降阶法:取定一行（列）,先用性质把这行（列）元素消到只有一种或很少几种不为0,再用,对这行（列）展开.例如设4阶行列式 1 1 1 1 D= -2 x 3 1 , 2 2 x 4 3 3 4 x取第1行,把第2,3,4行各减去第一行,得到1 0 0 0 x+2 5 3 x-2 2 D= -2 x+2 5 3 = 0 x-2 2 =（x+2） 1 x-3 =（x+2）（x-2）（x-3）-2=（x+2）（x-1）（x-4）. 2 0

14、x-2 2 0 1 x-3 3 0 1 x-3（3）运用性质简化计算,重要应用于元素有规律行列式,涉及n阶行列式. 5.克莱姆法则克莱姆法则 当线性方程组方程个数等于未知数个数n （即系数矩阵为n阶矩阵）时,如果它系数行列式不等于0,则方程组有唯一解,这个解为（D1/D，D2/D,Dn/D）,这里D是系数行列式值，Di是把系数行列式第i个列向量换成常数列向量所得到行列式值.两点阐明:按法则给公式来求解计算量太大，没有实用价值.因而法则重要意义在理论上.（实际求解办法:对增广矩阵（A|）作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时变为解.）法则改进,事实上系数行列式不等于0是唯一解充分必要条件.练习题

15、一1计算行列式 （1） 2 a a a a a 2 a a a a a 2 a a a a a 2 a a a a a 2 . （2） 1 4 9 16 4 9 16 25 9 16 25 36 16 25 36 49 . 2. （1） a 00 b （2） a1 0 a2 0 0 0 0 b1 0 b20 0 c1 0 c2 0 c 00 d . 0 d1 0 d2 . 3. 计算n阶行列式 （1） 1 2 3 n-1 n -1 2 3 n-1 n -1 2 3 n-1 n -1 2 3 1-n n （2） 1 -2 -2 -2 -2 （3） 1 2 3 n （4） 1 a1 0 0 0 2

16、 2 -2 -2 -2 2 1 2 n-1 -1 1-a1 a2 0 0 2 2 3 -2 -2 3 2 1 n-2 0 -1 1-a2 0 0 2 2 2 2 n n n-1 n-2 1 0 0 0 -1 1-an 4. 设4阶矩阵A=（，1，2 ,3）,B=（，1，2 ,3）,|A| =2，|B|=3 ,求|A+B| . 5. 一种三阶行列式值为8，它第二行元素是1，2，a，它们余子式依次为A21=2，A22=-1，A23=1，则a =（ ）.6. x3-3 1 -3 2x+2多项式f（x）= -7 5 -2x 1 ，求f（x）次数，最高次项系数和常数项. X+3 -1 3 3x2-2 9

17、 x3 6 -6 7. x-2 x-1 x-2 x-3求多项式f（x）= 2x-2 2x-1 2x-2 2x-3 次数. 3x-3 3x-2 4x-5 3x-5 4x 4x-3 5x-7 4x-38.已知 x-3 a -1 4 f（x）= 5 x-8 0 2 根为x1，x2，x3，x4,求x1+x2+x3+x4.1b x+1 12 2 1 x9. 求行列式 0 1 0 0 0 所有代数余子式和. 0 0 2-1 0 0 0 0 0 3-1 0 0 0 0 0 （n-1）-1 n-1 0 0 0 010 a b c d已知行列式 x -1 -y z+1 代数余子式A11=-9,A12=3,A13

18、=-1,A14=3,求x,y,z. 1 -z x+3 y y-2 x+1 0 z+3参照答案1.（1） 把各列都加到第1列上,提出公因子. 得（4a+2）（a-2）4. （2） 自下而上,各行减去上一行（作两次）.得0.2.用换行（列）办法.得 （1） （ad-bc）|B|.（3） （a1c2- a2c1）（b1d2-b2d1）.3. （1）提示：把第一行加到其他各行 得2n-1n！（2） 第3到n行各减第二行 得（n+2）!/4 （3） 提示：自下而上各行减去上行 得（-1）n-12 n-2（n+1） （4） 提示：从第2行起，自上而下各行加上行 得1 4. 得40.5. 得8.6. 最高次

19、只出当前下面划线4个元素乘积一项中,常数项即f（0）.得9 ,6，0.7. 2.8. 提示:运用特性值性质.得10.9. 提示:运用随着矩阵.得（-1）n-1（n+1）/2（n-1）!.10.x=0,y=3,z=-1. 1. 矩阵乘法定义和性质定义2.1 当矩阵A列数和B相等时,和A和B可以相乘,乘积记作AB. AB行数和A相等,列数和B相等. AB（i,j）位元素等于A第i个行向量和B第j个列向量（维数相似）相应分量乘积之和.矩阵乘法在规则上与数乘法有不同:矩阵乘法有条件.矩阵乘法无互换律.矩阵乘法无消去律,即普通地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A=0推不出或B=C.（无左消

20、去律）由BA=CA和A=0推不出或B=C. （无右消去律）把数乘法性质简朴地搬用到矩阵乘法中来,这是常用错误. 矩阵乘法适合如下法则：加乘分派律 A（B+C）= AB+AC，（A+B）C=AC+BC.数乘性质 （cA）B=c（AB）. 结合律 （AB）C= A（BC）. （AB）T=B TA T.2.n阶矩阵方幂和多项式任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.（1）行列式性质 |AB|=|A|B|.（2）如果AB=BA,则说A和B可互换.（3）方幂 设k是正整数，n阶矩阵Ak次方幂A k即k个A连乘积.规定A 0=E .显然A 任何两个方幂都是可互换,并且方幂运算符合指数法则:A kA h= A k+h. （A k）h= A kh.但是普通地（AB）k A kB k.（3） n阶矩阵多项式 乘法公式设f（x）=amxm+am-1xm-1+a1x+a0,对n阶矩阵A规定f（A）=amA m+am-1A m-1+ a1A +a0 E.称为A一种多项式.请特别注旨在常数项上加单位矩阵E.普通地,由于互换性问题,乘法公式对于n阶矩阵多项式不再成立,如果所浮现n阶矩阵互相都是互换,则乘法公式成立.例如（AB）2=A22AB+B2 A和B可互换.（A+B）（A-B）=A2-B2 A和B可互换. A和B可互换（不是!）有二项公式：