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第五章线性方程组

4.1线性方程组形式

4.2线性方程组解性质

4.3线性方程组解状况鉴别

4.4齐次线性方程组基本解系线性方程组通解分析

第六章n阶矩阵特性向量和特性值

5.1特性向量和特性值

基本比较好考生可不必看这某些内容,或者只用本某些习题对自己进行一次测试.

1.矩阵

矩阵是描写事物形态数量形式发展.

由m⨯n个数排列成一种m行n列表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一种m⨯n型矩阵.这些数称为它元素,位于第i行第j列数称为（i,j）位元素.

元素全为0矩阵称为零矩阵,普通就记作0.

两个矩阵A和B相等（记作A=B）,是指它行数相等,列数也相等（即它们类型相似）,并且相应元素都相等.

（2）线性运算和转置

加（减）法:

两个m⨯n矩阵A和B可以相加（减）,得到和（差）仍是m⨯n矩阵,记作

A+B（A-B）,法则为相应元素相加（减）.

数乘：

一种m⨯n矩阵A与应当数c可以相乘,乘积仍为m⨯n矩阵,记作cA,法则为A每个元素乘c.

这两种运算统称为先性运算,它们满足如下规律:

加法互换律：

A+B=B+A.

加法结合律：

（A+B）+C=A+（B+C）.

加乘分派律：

c（A+B）=cA+cB.（c+d）A=cA+dA.

数乘结合律：

c（d）A=（cd）A.

cA=0⇔c=0或A=0.

转置:

把一种m⨯n矩阵A行和列互换,得到n⨯m矩阵称为A转置,记作AT（或A'

）.

有如下规律：

（AT）T=A.

（A+B）T=AT+BT.

（cA）T=（cA）T.

（3）n阶矩阵几种特殊矩阵

行数和列数相等矩阵称为方阵,行列数都为n矩阵也经常叫做n阶矩阵.

n阶矩阵A相应行列式记作|A|,称为A行列式.

把n阶矩阵从左上到右下对角线称为它主对角线.（其上运算行列号相等.）

下面列出几类惯用n阶矩阵,它们但是考试大纲中规定掌握.

对角矩阵：

主对角线外元素都为0n阶矩阵.

单位矩阵：

主对角线外元素都为1对角矩阵,记作E（或I）.

数量矩阵：

主对角线外元素都等于一种常数c对角矩阵,它就是cE.

上（下）三角矩阵：

主对角线下（上）元素都为0n阶矩阵.

对称矩阵:

满足AT=A矩阵.也就是对任何i,j，（i,j）位元素和（j,i）位元素总是相等n阶矩阵.

反对称矩阵:

满足AT=-A矩阵.也就是对任何i,j，（i,j）位元素和（j,i）位元素之和总等于0n阶矩阵.反对称矩阵对角线上元素一定都是0.

（4）矩阵初等变换和阶梯形矩阵

矩阵初等行变换有如下三种:

互换两行上下位置.

用一种非0常数乘某一行各元素.

把某一行倍数加到另一行上.

类似地，矩阵尚有三种初等列变换,人们可以模仿着写出它们,这里省略了.初等行变换与初等列变换统称初等变换.

阶梯形矩阵:

一种矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:

如果它有零行,则都出当前下面.

每个非零行第一种非0元素所在列号自上而下严格单调递增.

每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数各类计算题中频繁运用基本运算,必要十分纯熟.

向量是另一种描述事物形态数量形式.

由n个数构成有序数组称为一种n维向量,称这些数为它分量.

书写中可用矩阵形式来表达向量,例如分量依次是a1,a2,⋯,an向量可表达到

a1

（a1,a2,⋯,an）或a2,

┆

an

请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不同样（左边是1⨯n矩阵,右边n⨯1是矩阵）.习惯上把它们分别称为行向量和列向量.请注意它与矩阵行向量和列向量区别.

一种m⨯n矩阵每一行是一种n维向量,称为它行向量；

每一列是一种m维向量，称为它列向量.常惯用矩阵列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A列向量组为α1,α2,⋯,αn时（它们都是表达为列形式!

）可记A=（α1,α2,⋯,αn）.

矩阵许多概念也可对向量来规定,如向量相等,零向量等等.这里从略.

（2）线性运算和线性组合

向量也有加减法和数乘这两种线性运算,并且也有完全同样运算规律,这里也不来复述了.

向量组线性组合:

设α1,α2,⋯,αs是一组n维向量，c1,c2,⋯,cs是一组数,则称

c1α1+c2α2+⋯,+csαs为

α1,α2,⋯,αs（以c1,c2,⋯,cs为系数）线性组合.它也是n维向量.

（1）基本概念

线性方程组普通形式为:

a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1,

a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2,

⋯⋯⋯⋯

am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm,

其中未知数个数n和方程式个数m不必相等.分别称矩阵

a11a12⋯a1na11a12⋯a1nb1

A=a21a22⋯a2n和（A|β）=a21a22⋯a2nb2

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

am1am2⋯amnam1am2⋯amnbm

为方程组系数矩阵和增广矩阵.

如果b1=b2=⋯=bm=0,则称为齐次线性方程组.把一种非齐次线性方程组每个方程常数项都换成0，所得到齐次线性方程组称为原方程组导出齐次线性方程组，简称导出组.

线性方程组解是一种n维向量（k1,k2,⋯,kn）,它满足:

当每个方程中未知数xi都用ki代替时都成为等式.

线性方程组解状况有三种:

无解,唯一解,无穷多解.

n维零向量总是齐次线性方程组解,因而齐次线性方程组解状况只有两种:

唯一解（即只要零解）和无穷多解（即有非零解）.

（2）同解变换与矩阵消元法

线性方程组同解变换有三种:

互换两个方程上下位置.

用一种非0常数乘某个方程.

把某方程倍数加到另一方程上.

以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.

线性方程组基本求解办法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法:

写出方程组增广矩阵（对齐次方程组用系数矩阵）,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵,再写出所代表阶梯形方程组（它是原方程组同解方程组）,用它求解.

1.形式和意义

形式:

用n2个数排列成一种n行n列表格,两边界以竖线,就成为一种n阶行列式.

如果行列式列向量组为α1,α2,⋯,αn,则此行列式可表达为|α1,α2,⋯,αn|.

意义:

是一种算式,把n2个元素按照一定法则进行运算,得到数值称为这个行列式值.

请注意行列式和矩阵在形式和意义上区别.

当两个行列式值相等时,就可以在它们之间写等号！

（不必形式同样,甚至阶数可不同.）

每个n阶矩阵A相应一种n阶行列式,记作|A|.

2.定义（完全展开式）

2阶和3阶行列式计算公式:

a11a12

a21a22=a11a22-a12a21.

a11a12a13

a21a22a23=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a11a23a32+a12a21a33.

a31a32a33

普通地,一种n阶行列式

a11a12⋯a1n

a21a22⋯a2n

⋯⋯⋯

an1an2⋯ann

值是许多项代数和,每一项都是取自不同行,不同列n个元素乘积,其普通形式为:

这里把相乘n个元素按照行标大小顺序排列,它们列标j1j2⋯jn构成1,2，⋯,n一种全排列（称为一种n元排列）,一共有n!

个n元排列,每个n元排列相应一项,因而共有n!

个项..

所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定τ（j1j2⋯jn）为全排列j1j2⋯jn逆序数（即小数排列在大数背面现象浮现个数,例如6元排列231645有4个逆序:

21,31,64,65,因

而τ（231645）=4）,则所乘是

于是

a21a22⋯a2n=

an1an2⋯ann

这里

表达对所有n元排列求和.称上式为n阶行列式完全展开式.

3.性质

行列式有如下性质:

把行列式转置值不变,即|AT|=|A|.

某一行（列）公因子可提出.

对一行或一列可分解,即如果某个行（列）向量α=β+γ,则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式该行（列）向量α换为β或γ所得到行列式.

把两个行（列）向量互换，行列式值变号.

如果一种行（列）向量是另一种行（列）向量倍数,则行列式值为0.

如果把一种行（列）向量倍数加到另一种行（列）向量上,则行列式值不变.

把n阶行列式第i行和第j列划去后所得到n-1阶行列式称为（i,j）位元素aij余子式,记作Mij.称Aij=（-1）i+jMij为aij代数余子式.

行列式可对某一行（列）展开,即行列式值等于该行（列）各元素与其代数余子式乘积之和.

某一行（列）各元素与另一行（列）相应元素代数余子式乘积之和=0.

如果A与B都是方阵（不必同阶）,则

A*=AO=|A|+|B|.

OB*B

范德蒙行列式:

形如

111⋯1

a1a2a3⋯an

a12a22a32⋯an2

⋯⋯⋯

a1n-ia2n-ia3n-i⋯ann-i

行列式（或其转置）.它由a1,a2,a3,⋯,an所决定,它值等于

因而范德蒙行列式不等于0⇔a1,a2,a3,⋯,an两两不同.

4.计算

行列式核心问题是值计算.

（1）用完全展开式求行列式值普通来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才也许用它作行列式计算.例如对角行列式,上（下）三角行列式值就等于主对角线上元素乘积,由于其他项都为0.

（2）化零降阶法:

取定一行（列）,先用性质

把这行（列）元素消到只有一种或很少几种不为0,再用

对这行（列）展开.例如设4阶行列式

1111

D=-2x31,

22x4

334x

取第1行,把第2,3,4行各减去第一行,得到

1000x+253x-22

D=-2x+253=0x-22=（x+2）1x-3=（x+2）[（x-2）（x-3）-2]=（x+2）（x-1）（x-4）.

20x-2201x-3

301x-3

（3）运用性质简化计算,重要应用于元素有规律行列式,涉及n阶行列式.

5.克莱姆法则

克莱姆法则当线性方程组方程个数等于未知数个数n（即系数矩阵为n阶矩阵）时,如果它系数行列式不等于0,则方程组有唯一解,这个解为（D1/D，D2/D,⋯,Dn/D）,这里D是系数行列式值，Di是把系数行列式第i个列向量换成常数列向量所得到行列式值.

两点阐明:

按法则给公式来求解计算量太大，没有实用价值.因而法则重要意义在理论上.

（实际求解办法:

对增广矩阵（A|β）作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时β变为解.）

法则改进,事实上系数行列式不等于0是唯一解充分必要条件.

练习题一

1．计算行列式

（1）2aaaa

a2aaa

aa2aa

aaa2a

aaaa2.

（2）14916

491625

9162536

16253649.

2.

（1）a0⋯0b

（2）a10a20

000b10b2

00c10c20

c0⋯0d.0d10d2.

3.计算n阶行列式

（1）123…n-1n

-123…n-1n

-1–23…n-1n

…………

-1–2–3…1-nn．

（2）1-2-2…-2-2（3）123…n（4）1a10…00

22-2…-2-2212…n-1-11-a1a2…00

223…-2-2321…n-20-11-a2…00

……………………………

222…2n．nn-1n-2…1．000…-11-an．

4.设4阶矩阵A=（α，γ1，γ2,γ3）,B=（β，γ1，γ2,γ3）,|A|=2，|B|=3,求|A+B|.

5.一种三阶行列式值为8，它第二行元素是1，2，a，它们余子式依次为A21=2，A22=-1，A23=1，则a=（）.

6.x3-31-32x+2

多项式f（x）=-75-2x1，求f（x）次数，最高次项系数和常数项.

X+3-133x2-2

9x36-6

7.x-2x-1x-2x-3

求多项式f（x）=2x-22x-12x-22x-3次数.

3x-33x-24x-53x-5

4x4x-35x-74x-3

8.已知x-3a-14

f（x）=5x-80–2根为x1，x2，x3，x4,求x1+x2+x3+x4.

1bx+11

221x

9.求行列式0100……0所有代数余子式和.

002-10……0

0003-1……0

…………

0000……（n-1）-1

n-1000……0

10．abcd

已知行列式x-1-yz+1代数余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z.

1-zx+3y

y-2x+10z+3

参照答案

1.

（1）把各列都加到第1列上,提出公因子.得（4a+2）（a-2）4.

（2）自下而上,各行减去上一行（作两次）.得0.

2.用换行（列）办法.得

（1）（ad-bc）|B|.（3）（a1c2-a2c1）（b1d2-b2d1）.

3.

（1）提示：

把第一行加到其他各行．得2n-1n！

．

（2）第3到n行各减第二行．得（n+2）!

/4．

（3）提示：

自下而上各行减去上行．得（-1）n-12n-2（n+1）．

（4）提示：

从第2行起，自上而下各行加上行．得1．

4.得40.

5.得8.

6.最高次只出当前下面划线4个元素乘积一项中,常数项即f（0）.得9,6，0.

7.2.

8.提示:

运用特性值性质.得10.

9.提示:

运用随着矩阵.得（-1）n-1（n+1）/2（n-1）!

.

10.x=0,y=3,z=-1.

1.矩阵乘法定义和性质

定义2.1当矩阵A列数和B相等时,和A和B可以相乘,乘积记作AB.AB行数和A相等,列数和B相等.AB（i,j）位元素等于A第i个行向量和B第j个列向量（维数相似）相应分量乘积之和.

矩阵乘法在规则上与数乘法有不同:

矩阵乘法有条件.

矩阵乘法无互换律.

矩阵乘法无消去律,即普通地

由AB=0推不出A=0或B=0.

由AB=AC和A=0推不出或B=C.（无左消去律）

由BA=CA和A=0推不出或B=C.（无右消去律）

把数乘法性质简朴地搬用到矩阵乘法中来,这是常用错误.

矩阵乘法适合如下法则：

加乘分派律A（B+C）=AB+AC，（A+B）C=AC+BC.

数乘性质（cA）B=c（AB）.

结合律（AB）C=A（BC）.

（AB）T=BTAT.

2.n阶矩阵方幂和多项式

任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.

（1）行列式性质|AB|=|A||B|.

（2）如果AB=BA,则说A和B可互换.

（3）方幂设k是正整数，n阶矩阵Ak次方幂Ak即k个A连乘积.规定A0=E.

显然A任何两个方幂都是可互换,并且方幂运算符合指数法则:

AkAh=Ak+h.

（Ak）h=Akh.

但是普通地（AB）kAkBk.

（3）n阶矩阵多项式乘法公式

设f（x）=amxm+am-1xm-1+⋯+a1x+a0,对n阶矩阵A规定

f（A）=amAm+am-1Am-1+⋯+a1A+a0E.

称为A一种多项式.请特别注旨在常数项上加单位矩阵E.

普通地,由于互换性问题,乘法公式对于n阶矩阵多项式不再成立,如果所浮现n阶矩阵互相都是互换,则乘法公式成立.例如

（A±

B）2=A2±

2AB+B2⇔A和B可互换.

（A+B）（A-B）=A2-B2⇔A和B可互换.

A和B可互换⇒（不是⇔!

）有二项公式：