1、,通过本节的学习你能掌握基本不等式及应用吗?,二.任务驱动:,二、新课引入,任务驱动,三、新知建构,典例分析,一.基本不等式的推导二.基本不等式,这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。,三、新知建构,典例分析,问题引入:,2002年国际数学家大会会标,三国时期吴国的数学家赵爽,三、新知建构,典例分析,思考:这会标中含有怎样的几何图形?,思考:你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系?,探究1,三、新知建构,典例分析,问2:RtABF,RtBCG,RtCDH,RtADE是全等三角形,它
2、们的面积总和是S=,问1:在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则AB=则正方形的面积为S=。,问3:观察图形S与S有什么样的大小关系?,易得,s s,即,A,D,C,B,H,G,F,E,问4:那么它们有相等的情况吗?何时相等?,变化的弦图,问题4:s,S有相等的情况吗?,图片说明:当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有,形的角度,数的角度,当a=b时a2+b22ab=(ab)2=0,结论:一般地,对于任意实数a、b,我们有 当且仅当a=b时,等号成立,探究2,问5:当a,b为任意实数时,还成立吗?,此不等式称为重要不等式,替换后得到:,即:,你能用不
3、等式的性质直接推导这个不等式吗?,一.基本不等式的推导:,三、新知建构,典例分析,证明:要证,只要证,要证,只要证,要证,只要证,显然,是成立的.当且仅当a=b时,中的等号成立.,分析法,证明不等式:,特别地,若a0,b0,则,通常我们把上式写作:,当且仅当a=b时取等号,这个不等式就叫做基本不等式.,在数学中,我们把 叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数;,文字叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.,适用范围:,a0,b0,二.基本不等式:,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,RtACDRtDCB,,A,B,C,D,E,a,b,O,如图,AB是圆的直径,
4、O为圆心,点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.,如何用a,b表示CD?CD=_,如何用a,b表示OD?OD=_,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,如何用a,b表示CD?OD=_,OD与CD的大小关系怎样?OD_CD,如图,AB是圆的直径,O为圆心,点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.,几何意义:半径不小于弦长的一半,A,D,B,E,O,C,a,b,a=b,a=b,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,两数的平方和不小于它们积的2倍,a,bR,a0,b0,填表比较:,注意从不同角
5、度认识基本不等式,三、新知建构,典例分析,重要变形:,(由小到大),三、新知建构,典例分析,2.典例分析:题型一 利用基本不等式求最值题型二 基本不等式的实际应用,三、新知建构,典例分析,结论1:两个正数积为定值,则和有最小值,题型一:利用基本不等式求最值,分析:x+(1-2x)不是 常数.,2,=1为,当且仅当 时,取“=”号.,例2.若 0 x,求函数 y=x(1-2x)的最大值.,三、新知建构,典例分析,(1)如果a,b0,且abP(定值),那么a+b有最_值_(当且仅当_时取“=”).(2)如果a,b0,且abS(定值),那么ab有最_值_(当且仅当_时取“=”).,利用基本不等式求最
6、值问题:,小,大,利用基本不等式求最值的条件:,一正、二定、三相等。,a=b,a=b,三、新知建构,典例分析,例3.(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆是多少?,A,B,D,C,三、新知建构,典例分析,题型二:基本不等式的实际应用,例3.(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆是多少?,解:如图设BC=x,CD=y,,则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m.,当且仅当 时,等号成立,因此,这个矩形的长、宽都为10m时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是40m.
7、,此时x=y=10.,x=y,A,B,D,C,若x、y皆为正数,则当xy的值是常数P时,当且仅当x=y时,x+y有最小值_.,例3.(2)如图,用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形菜园的长和宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?如图,设BC=x,CD=y,,则 2(x+y)=36,x+y=18,矩形菜园的面积为xy m2,得 xy 81,当且仅当x=y时,等号成立,因此,这个矩形的长、宽都为9m时,菜园面积最大,最大面积是81m2,即x=y=9,A,B,D,C,若x、y皆为正数,则当x+y的值是常数S时,当且仅当x=y时,xy有最大值_;,各项皆为正数;和或积为定值;注意
8、等号成立的条件.,一“正”二“定”三“相等”,利用基本不等式求最值时,要注意,例4.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?,分析:水池呈长方体形,它的高是3m,底面的长与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了,水池的总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低。,解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元.根据题意,有:由容积为4800m3,可得:3xy=4800因此 xy=1600由基本不等式与不等式的性质,可得即 当x=y,即x
9、=y=40时,等号成立 所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价为297600元.,B,变式训练1-1:,因此,这个矩形的长为12m、宽为6m时,花园面积最大,最大面积是72m2,因此,这个矩形的长为12m、宽为6m时,花园面积最大,最大面积是72m2,四、当堂训练,针对点评,略解:,(4,6),A,2.如图,用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园,问这个矩形的长、宽各为多少时,花园的面积最大,最大面积是多少?,变式训练2-1:,四、当堂训练,针对点评,2.如图,用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园,问这个矩形的长、宽各为多少时,花园的面积最大
10、,最大面积是多少?设AB=x,BC=242x,,矩形花园的面积为x(242x)m2,因此,这个矩形的长为12m、宽为6m时,花园面积最大,最大面积是72m2,当x=6时,函数y取得最小值为72,五、课堂总结,布置作业,1课堂总结:(1)涉及知识点:基本不等式及其应用。(2)涉及数学思想方法:转化与回归思想;数形结合思想;分类与整合思想。,求最值时注意把握“一正,二定,三相等”,2.利用基本不等式求最值,1.两个重要的不等式,三、新知建构,典例分析,五、课堂总结,布置作业,2.作业设计:P93习题3.3A组1-23.预习任务:必修5教材87-913.3.2简单的线性规划问题,谢谢!再见!,六、结束语,
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