学而思小升初专项训练数论篇1教师版文档格式.docx

1、题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=533，所以丙最小应该是2253，所以甲最小是：5=90。5 【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D。 小升初专项训练 数论篇 基本公式 1）已知b|c,a|c,则a,b|c,特别地，若（a,b）=1,则有ab|c。讲解练习：若3a75b能被72整除，问a=,b=.（迎春杯试题） 2）已知c|ab，（b,c）=1,则c|a。3）唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 n= p11a p22a.pkak（#） 其中p1p2.bcd 那么从小到大的第5个就是dac

2、b,它是5的倍数，因此b=0或5，注意到bd,所以b=5; 从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数；所以c是偶数，cb=5，c=4或2 从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间，所以a=d+4；因为ab,所以a至少是6，那么d最小是2，所以c就只能是4。而如果d=2，那么abdc的末2位是24，它是4的倍数，和条件矛盾。因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3 所以这24个四位数中最大的一个是7543。 思路：现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以

3、选择被11整除，但我们发现被11整除性质的运用要具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手 5位数数字和最大的为95=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8。这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989符合条件。各位数字和为1+3+4+5+7+8=28 所以偶数位和奇数位上数字和均为14 为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是7，14-8=6 那么第3位一定是5，第5位为1 该数最大为875413。一个三位数，它由0，1，2，7，8组成，且它能被9整除，问满足条件的总共有几个？ 【来源】：06年理工附入学测试题 男生超过总

4、数的4/7就是说女生少个总数的3/7，这样女生的范围在2/53/7之间，同理可得男生在4/73/5之间，这样把分数扩大，我们可得女生人数在28/7030/70之间，所以只能是29人，这样男生为41人。 2 质数与合数（分解质因数） 先分析1410的积的末尾共有多少个0。由于分解出2的个数比5多，这样我们可以得出就看所有数字中能分解出多少个5这个质因数。而能分解出5的一定是5的倍数。注意：5的倍数能分解一个5，25的倍数分解出2个5，125的倍数能分解出3个5最终转化成计数问题，如5的倍数有10/5=2个。2005=5401 684=2171 375=35前三个数里有2个质因子2，4个质因子5，

5、要使得乘积的最后4位都是0 应该有4个质因子2和4个质因子5，还差2个质因子。因此里最小是4。看见两个平方数，发现跟平方差相关，这样我们大胆的设03年的为A2，04年的为B2，从中我们发现04年的比03年多101人，这样我们可以列式子B2- A2=101 此后思路要很顺，因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开， 所以B2- A2=（A+B）（A-B）=101，可见右边的数也要分成2个数的积，还得考虑同奇偶性，但101是个质数，所以101只能分成1011，这样A+B=101，A-B=1，所以A=50，B=51，所以04年的招生人数为5151=2601。一个数加上10，减去10都是平方数，问这

6、个数为多少？（清华附中测试题） 5 约数和倍数 边长是2002和847的最大公约数，可用辗转相除法求得 （2002,847）=77 所以最后剪得的正方形的边长是77毫米。 辗转相除示例：2002847=2308 求2个数的最大公约数，就用大数除以小数 847308=2231 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止 308231=177 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止 23177=3 最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数 100能被5整除，所以每5米作标记线从左往右还是从右往左都是一样的。这样我们都以从左往右作，可见转化成讨论5，6的最小公倍数中的情况，画图可得有2根距

7、离为4米，所以30，60，90里各有2条，但发现最后96和100也是距离4米，所以总共23+1=7。在一根长木棍上，有三种刻度线.第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份.如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？最小公倍数就是分解质因数中共有的最多因数，这样我们发现除2以外都是奇数质因数，可见我们只要找需要多少个2，所以只要看12008中2n谁最大，可见210=1024，所以为10 个2。1）首先可以断定编号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对。不然，其中说的不对的编号乘以2后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说

8、的不对”不符合。因此，这个数能被2，3，4，5，6，7都整除。其次利用整除性质可知，这个数也能被25，34，27都整除，即编号为10，12，14的同学说的也对。从而可以断定说的不对的编号只能是8和9。2）这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数 由于上述十二个数的最小公倍数是60060 因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060。6 数论的综合题型 设第一户电话号是x+1,第二户x+2,.第12户电话号x+12 根据条件得x+i是i的倍数（i=1,2,12）因此x是1，2，.12的公倍数 1,2,.12=2

9、7720 所以x=27720m 27720m+9是13的倍数，27720除以13余数为4 所以4m+9是13的倍数m=1,14,27. 第一家电话号码是27720m+1 m取14合适； 因此第一家电话号码是27720*14+1=388081 写出连续的11个自然数，要求第1个是2的倍数，第二个是3的倍数第11个是12的倍数？作业题 （注：作业题-例题类型对照表，供参考） 题1，4类型1；题2，6类型3；题3，5，8类型2；题7类型2 1（）在1100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？ 解：1+2+100=5050 9+18+27+99=9（1+2+11）=495 随意1-10

10、0中所有不能被9整除的数的和是5050-495=4555 解：有71、1，说明总人数一定为7的倍数、2的倍数、3的倍数，故为7、2、342的倍数；又由于人数不超过60人，故这班的人数只能为42人。 从而70分以下的有：42 31217111人。枚举法：23，37，53，73，有4个4. （）三个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除，那么这样的三个自然数的和的最小值是多少？这三个自然数最小是6，10，15（分别是23,25,35） 和的最小值为31。 5、（）五个连续偶数之和是完全平方数，中间三个偶数之和是立方数（即一个整数的三次方），这样一组数中

11、的最大数的最小值是多少？设中间一个数为2x 那么5个数的和为10x=m2 中间3个数的和为6x=n3 设x=2p 3q 5r 再根据一个数是完全平方数等价于它的各个质因子的幂都是偶数，一个数是立方数等价于他的各个质因子的幂都是3的倍数可以求得p=5,q=2,r=3 X=36000 因此所求为2x+4=72004 6、（）一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个是多少？A2-B2=（A+B）（A-B）=37=371，考虑同奇偶性，可知A=19，B=18，这样这个数为461。留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列那么最后留下的同学中，从左边数第一

12、个人的最初编号是_ 【来源】北京市第七届“迎春杯”决赛第二题第4题 【解】第一次报数后留下的同学，他们最初编号都是11的倍数；第二次报数后留下的同学，他们最初编号都是211=121的倍数；第三次报数后留下的同学，他们最初编号都是311=1331的倍数因此，第三次报数后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是1331 8、（）有1997个奇数，它们的和等于它们的乘积其中只有三个数不是l，而是三个不同的质数那么，这样的三个质数可以是 、 、 【解】设a、b、c为三个不同的质数，根据题意 1994+a+b+C=abc 取a=3，b=5，得1994+3+5+c=15c，解出c=143不是质数； 取a=3，b=7，得1994+3+7+c=21c，解出c=5501不是整数； 取a=5，b=7，得1994+5+7+c=35C，解出c=59 故5、7、59是满足题意的三个质数