学而思小升初专项训练数论篇1教师版文档格式.docx

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题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×

3×

3，所以丙最小应该是2×

2×

5×

3，所以甲最小是：

5=90。

5【解】：

八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D。

小升初专项训练数论篇

基本公式

1）已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若（a,b）=1,则有ab|c。

[讲解练习]：

若3a75b能被72整除，问a=＿＿,b=＿＿.（迎春杯试题）

2）已知c|ab，（b,c）=1,则c|a。

3）唯一分解定理：

任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即

n=p11a×

p22a×

...×

pkak（#）

其中p1<

p2<

...<

pk为质数，a1,a2,....ak为自然数，并且这种表示是唯一的。

该式称为n的质因子分解式。

连续3的自然树的积为210，求这三个数为＿＿.

4）约数个数定理：

设自然数n的质因子分解式如（#）

那么n的约数个数为d（n）=（a1+1）（a2+1）....（ak+1）

所有约数和：

（1+P1+P12+„p11a）（1+P2+P22+„p22a）„（1+Pk+Pk2+„pkak）

1996不同的质因数有＿＿个，它们的和是＿＿。

（1996年小学数学奥林匹克初赛）

5）用[a,b]表示a和b的最小公倍数，（a,b）表示a和b的最大公约数，那么有ab=[a,b]×

（a,b）。

两个数的积为2646，最小公倍数为126，问这两个数的和为＿＿。

（迎春杯刊赛第10题）

6）自然数是否能被3，4，25，8，125，5，7,9，11，13等数整除的判别方法。

3aa1能被9整除，问a=＿＿.（美国长岛数学竞赛第三试第3题）

7）平方数的总结：

1：

平方差A2

-B2

=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。

[讲解练习]：

82

-72

+62

-52

+42

-32

+22

-12

=＿＿。

2：

约数：

约数个数为奇数个的是完全平方数。

约数个数为3的是质数的平方。

1～100中约数个数为奇数个的所有数和为＿＿。

3：

质因数分解：

把数字分解，使他满足积是平方数。

a与45的乘积一个完全平方数，问a最小是＿＿。

8）十进制自然数表示法，十进制和二进制，八进制，五进制等的相互转化。

9）周期性数字：

abab=ab×

101

2005×

20062006-2006×

20052005=＿＿。

四、典型例题解析

1数的整除

【例1】

（★★★）将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×

1=24）。

将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；

按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；

按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。

请求出这24个四位数中最大的一个。

【例2】

（★★★）一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？

【例3】

（★★★）由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？

【例4】

（★★）一个学校参加兴趣活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的4/7，女同学的人数超过总数的2/5。

问男女生各多少人？

2质数与合数（分解质因数）

【例5】

（★★★）2005×

684×

375×

□最后4位都是0,请问□里最小是几?

[拓展]：

□最后4位都是0，且是7的倍数，问□里最小是_____

【例6】

（★★★）03年101中学招生人数是一个平方数，04年由于信息发布及时，04年的招生人数比03年多了101人，也是一个平方数，问04年的招生人数？

3约数和倍数

【例7】

（★★★）从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。

按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？

【例8】

（★★★）一根木棍长100米，现从左往右每6米画一根标记线，从右往左每5米作一根标记线，请问所有的标记线中有多少根距离相差4米？

【例9】

（★★★）1、2、3、4„2008这2008个数的最小公倍数等与多少个2与一个奇数的积？

【例10】

（★★★★）有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。

1号同学写了一个自然数，2号说：

“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，„„，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：

（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？

（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。

（写出解题过程）

4数论的综合题型

【例11】

（★★★★）某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，…,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：

这一家的电话号码是什么数？

【例12】

（写出解题过程）作业题

1．（★★）在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？

2．（★★）某班学生不超过60人，在一次数学测验中，分数不低于90分的人数占7

1，得80～89分的人

数占

2

1，得70～79分得人数占

3

1，那么得70分以下的有________人。

3．（★★）自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有_______个。

4.（★★★）三个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除，那么这样的三个自然数的和的最小值是多少？

5、（★★★）五个连续偶数之和是完全平方数，中间三个偶数之和是立方数（即一个整数的三次方），这样一组数中的最大数的最小值是多少？

6、（★★）一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个是多少？

7、（★★★）从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；

然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；

留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．8、（★★★）有1997个奇数，它们的和等于它们的乘积．其中只有三个数不是l，而是三个不同的质数．那么，这样的三个质数可以是、、．

【解】：

不妨设这4个数字分别是a>

b>

c>

d

那么从小到大的第5个就是dacb,它是5的倍数，因此b=0或5，注意到b>

d,所以b=5;

从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数；

所以c是偶数，c＜b=5，c=4或2从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间，所以a=d+4；

因为a>

b,所以a至少是6，那么d最小是2，所以c就只能是4。

而如果d=2，那么abdc的末2位是24，它是4的倍数，和条件矛盾。

因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。

这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3所以这24个四位数中最大的一个是7543。

[思路]：

现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质

的运用要具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手

5位数数字和最大的为9×

5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8。

这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989符合条件。

各位数字和为1+3+4+5+7+8=28所以偶数位和奇数位上数字和均为14

为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是7，14-8=6那么第3位一定是5，第5位为1该数最大为875413。

一个三位数，它由0，1，2，7，8组成，且它能被9整除，问满足条件的总共有几个？

【来源】：

06年理工附入学测试题

男生超过总数的4/7就是说女生少个总数的3/7，这样女生的范围在2/5～3/7之间，同理可得男生在4/7～3/5之间，这样把分数扩大，我们可得女生人数在28/70～30/70之间，所以只能是29人，这样男生为41人。

2质数与合数（分解质因数）

先分析1×

4×

×

10的积的末尾共有多少个0。

由于分解出2的个数比5多，这样我们可以得

出就看所有数字中能分解出多少个5这个质因数。

而能分解出5的一定是5的倍数。

注意：

5的倍数能分解一个5，25的倍数分解出2个5，125的倍数能分解出3个5„„最终转化成计数问题，如5的倍数有[10/5]=2个。

2005=5×

401684=2×

171

375=3×

5前三个数里有2个质因子2，4个质因子5，要使得乘积的最后4位都是0

应该有4个质因子2和4个质因子5，还差2个质因子。

因此□里最小是4。

看见两个平方数，发现跟平方差相关，这样我们大胆的设03年的为A2，04年的为B2，从中我们发现04年的比03年多101人，这样我们可以列式子B2-A2=101此后思路要很顺，因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开，

所以B2-A2=（A+B）（A-B）=101，可见右边的数也要分成2个数的积，还得考虑同奇偶性，但101是个质数，所以101只能分成101×

1，这样A+B=101，A-B=1，所以A=50，B=51，所以04年的招生人数为51×

51=2601。

一个数加上10，减去10都是平方数，问这个数为多少？

（清华附中测试题）

5约数和倍数

边长是2002和847的最大公约数，可用辗转相除法求得（2002,847）=77所以最后剪得的正方形的边长是77毫米。

辗转相除示例：

2002÷

847=2„308求2个数的最大公约数，就用大数除以小数

847÷

308=2„231用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止308÷

231=1„77用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止231÷

77=3最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数

100能被5整除，所以每5米作标记线从左往右还是从右往左都是一样的。

这样我们都以从左往右作，可见转化成讨论5，6的最小公倍数中的情况，画图可得有2根距离为4米，所以30，60，90里各有2条，但发现最后96和100也是距离4米，所以总共2×

3+1=7。

在一根长木棍上，有三种刻度线.第一种刻度线将木棍分成十等份；

第二种将木棍分成十二等份；

第三种将木棍分成十五等份.如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？

最小公倍数就是分解质因数中共有的最多因数，这样我们发现除2以外都是奇数质因数，可见我们只要找需要多少个2，所以只要看1～2008中2ˇn谁最大，可见2ˇ10=1024，所以为10个2。

1）首先可以断定编号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对。

不然，其中说的不对的编号乘以2后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。

因此，这个数能被2，3，4，5，6，7都整除。

其次利用整除性质可知，这个数也能被2×

5，3×

4，2×

7都整除，即编号为10，12，14的同学说的也对。

从而可以断定说的不对的编号只能是8和9。

2）这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数由于上述十二个数的最小公倍数是60060

因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060。

6数论的综合题型

设第一户电话号是x+1,第二户x+2,….第12户电话号x+12

根据条件得x+i是i的倍数（i=1,2,…,12）因此x是1，2，….12的公倍数[1,2,…..12]=27720所以x=27720m

27720m+9是13的倍数，27720除以13余数为4所以4m+9是13的倍数m=1,14,27….

第一家电话号码是27720m+1m取14合适；

因此第一家电话号码是27720*14+1=388081

写出连续的11个自然数，要求第1个是2的倍数，第二个是3的倍数„第11个是12的倍数？

作业题

（注：

作业题--例题类型对照表，供参考）

题1，4—类型1；

题2，6—类型3；

题3，5，8—类型2；

题7—类型21．（★★）在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？

解：

1+2+„„+100=5050

9+18+27+„„+99=9×

（1+2+„„+11）=495

随意1-100中所有不能被9整除的数的和是5050-495=4555

解：

有7

1、

1，说明总人数一定为7的倍数、2的倍数、3的倍数，故为[7、2、3]＝42的倍数；

又由于人数不超过60人，故这班的人数只能为42人。

从而70分以下的有：

42×

3121711＝1人。

枚举法：

23，37，53，73，，有4个4.（★★★）三个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除，那么这样的三个自然数的和的最小值是多少？

这三个自然数最小是6，10，15（分别是2×

3,2×

5,3×

5）和的最小值为31。

5、（★★★）五个连续偶数之和是完全平方数，中间三个偶数之和是立方数（即一个整数的三次方），这样一组数中的最大数的最小值是多少？

设中间一个数为2x那么5个数的和为10x=m^2中间3个数的和为6x=n^3设x=2^p×

3^q×

5^r

再根据一个数是完全平方数等价于它的各个质因子的幂都是偶数，一个数是立方数等价于他的各个质因子的幂都是3的倍数可以求得p=5,q=2,r=3X=36000

因此所求为2x+4=720046、（★★）一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个是多少？

A2-B2=（A+B）（A-B）=37=37×

1，考虑同奇偶性，可知A=19，B=18，这样这个数为461。

留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．【来源】北京市第七届“迎春杯”决赛第二题第4题

【解】第一次报数后留下的同学，他们最初编号都是11的倍数；

第二次报数后留下的同学，他们最初编号都是2

11=121的倍数；

第三次报数后留下的同学，他们最初编号都是3

11=1331的倍数．因此，第三次报数后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是1331．8、（★★★）有1997个奇数，它们的和等于它们的乘积．其中只有三个数不是l，而是三个不同的质数．那么，这样的三个质数可以是、、．【解】设a、b、c为三个不同的质数，根据题意1994+a+b+C=a·

b·

c．

取a=3，b=5，得1994+3+5+c=15c，解出c=143不是质数；

取a=3，b=7，得1994+3+7+c=21c，解出c=5501不是整数；

取a=5，b=7，得1994+5+7+c=35C，解出c=59．故5、7、59是满足题意的三个质数．