第一章 15 151 全称量词与存在量词Word文档下载推荐.docx

1、（2）常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.1.全称量词和全称量词命题要记准概念中的关键词语，还要记住专用符号（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示.（2）常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.（3）全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为 xM，p（x）.2.存在量词与存在量词命题（1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示.（2）常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某

2、些”“有的”等.（3）存在量词命题：含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x，使p（x）成立”可用符号简记为 xM，p（x）.教材拓展补遗微判断1.“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题.（）2.存在量词命题“ xR，x20”是真命题.（）提示不存在xR，使得x20成立.3.“三角形内角和是180”是全称量词命题.（）4. xR，x211是真命题.（）5.“对每一个无理数x，x2也是无理数”是真命题.（提示是无理数，但（）23是有理数.微训练用符号“ ”表示下列存在量词命题：（1）存在一个实数对（x，y），使2x3y30成立；（2）有些整数既能被2整除，又能被3整

3、除；（3）某个四边形不是平行四边形.解（1） （x，y）（x，y）|xR，yR，2x3y30.（2） xZ，x既能被2整除，又能被3整除.（3） xx|x是四边形，x不是平行四边形.微思考1.全称量词命题中的“x，M与p（x）”表达的含义分别是什么？提示元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p（x）表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“ xN，x0”.2.在全称量词命题和存在量词命题中，量词是否可以省略？提示在存在量词命题中，量词不可以省略；在有些全称量词命题中，量词可以省略.题型一全称量词命题

4、与存在量词命题的识别【例1】判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：（1）凸多边形的外角和等于360；（2）有的速度方向不定；（3）对任意直角三角形的两锐角A，B，都有sin Acos B.解（1）可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360”，故为全称量词命题.（2）含有存在量词“有的”，故是存在量词命题.（3）含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.规律方法判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.【训练1】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“ ”

5、或“ ”表示下列命题：（1）自然数的平方大于或等于零；（2）有的一次函数图象经过原点；（3）所有的二次函数的图象的开口都向上.解（1）全称量词命题.表示为 nN，n20.（2）存在量词命题. 一次函数，它的图象过原点.（3）全称量词命题. 二次函数，它的图象的开口都向上.题型二全称量词命题与存在量词命题的真假的判断【例2】判断下列命题的真假.（1）所有的素数都是奇数；（2）任意矩形的对角线相等；（3）存在xR，使x22x30.解（1）2是素数，但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题.（2）是真命题.（3）由于任意xR，x22x3（x1）222，因此使x22x30的实数x不

6、存在，所以存在量词命题“存在xR，使x22x30”为假命题.规律方法判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言：（1）要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p（x）成立即可，否则命题为假.（2）要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p（x）都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p（x）不成立即可.【训练2】判断下列命题的真假：（1）有一些二次函数的图象过原点；（2） xR，2x2x1解（1）该命题中含有“有一些”，是存在量词命题.如yx2，其图象过原点，故该命题是真命题.（2）该命

7、题是存在量词命题.2x2x120，不存在xR，使2x2x1.综上，a的取值范围为规律方法根据含量词命题的真假等价转化为关于参数的不等式（组）求参数范围.【训练3】命题p：任意xR，一次函数y2xb的图象不经过第四象限，若命题p为真命题，求实数b的取值范围.解因为一次函数y2xb的图象不经过第四象限，如图所示，故b0.一、素养落地1.通过学习全称量词命题与存在量词命题的概念提升数学抽象素养.通过判断全称量词命题与存在量词命题的真假培养逻辑推理素养.2.判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称量词命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.3.

8、要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题.4.要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题.二、素养训练1.下列命题中全称量词命题的个数是（）任意一个自然数都是正整数；有的平行四边形也是菱形；三角形的内角和是180A.0 B.1 C.2 D.3解析是全称量词命题.答案C2.下列命题中，不是全称量词命题的是（）A.任何一个实数乘以0都等于0B.任意一个负数都比零小C.每一个正方形都是矩形D.一定存在没有最大值的二次函数解析D选项是

9、存在量词命题.答案D3.下列存在量词命题是假命题的是（）A.存在xQ，使4x20B.存在xR，使x2x10C.有的素数是偶数D.有的有理数没有倒数解析对于任意的xR，x2x10恒成立.答案B4.以下四个命题，既是存在量词命题，又是真命题的是（）A.锐角三角形的内角是锐角或直角B.至少有一个实数x，使x20C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x，使25.命题p： xR，x22x50是_（填“全称量词命题”或“存在量词命题”），它是_命题（填“真”或“假”）答案存在量词命题假基础达标一、选择题1.下列命题：中国公民都有受教育的权利；每一个中学生都要接受爱国主义教育；有人既能写小说，也能搞发

10、明创造；任何正方形都是平行四边形.其中全称量词命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4解析命题都是全称量词命题.2.下列命题中存在量词命题的个数是（）有些自然数是偶数；正方形是菱形；能被6整除的数也能被3整除；对于任意xR，总有|x|0.解析命题含有存在量词；命题可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题是全称量词命题.故有一个存在量词命题.3.已知命题p： xR，x24xa0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（）A.0a4C.a0 D.a4解析p是假命题，方程x24xa0没有实数根，即164a4.

11、4.下列四个命题：一切实数均有相反数； aN，使得方程ax10无实数根；梯形的对角线相等；有些三角形不是等腰三角形.其中，真命题的个数为（）解析为真命题；对于，当a0时，方程ax10无实数根；对于，等腰梯形的对角线相等，故错误；为真命题.5.下列全称量词命题中真命题的个数为（）对于任意实数x，都有x2x；对任意的实数a，b，都有若|a|b|，则a2b2成立；二次函数yx2ax1与x轴恒有交点； xR，yR，都有x2|y|解析为真命题.二、填空题6.给出下列三个命题： xR，x210；矩形都不是梯形； x，yR，x2y21.其中全称量词命题是_（填序号）.解析省略了量词“所有的”.答案7.对任意

12、x3，xa恒成立，则实数a的取值范围是_.解析对任意xa恒成立，即大于3的数恒大于a，a3.答案a38.试判断下列全称量词命题的真假： xR，x22 xN，x41；对任意x，y，都有x2y20.其中真命题的个数为_.解析由于 xR，都有x20，因而有x2220，即x220，所以命题“ xR，x220”是真命题.由于0N，当x0时，x41不成立，所以命题“ xN，x41”是假命题.当xy0时，x2y20，所以是假命题.答案1三、解答题9.试判断下列全称量词命题的真假：（1） xR，x212；（2）直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点；（3）每个二次函数都有最小值.解（1）取x0，则x2112，

13、所以“ xR，x212”是假命题.（2）与x轴平行的直线与x轴无交点，所以该命题为假命题.（3）对于yax2bxc，当a0时函数有最大值无最小值，所以“每个二次函数都有最小值”是假命题.10.判断下列存在量词命题的真假：（1） xZ，x31；（2）存在一个四边形不是平行四边形；（3）存在一对整数x，y，使得2x4y6.解（1）1Z，且（1）311，“ xZ，x31”是真命题；（2）真命题，如梯形；（3）取x3，y0，则2x4y6，故为真命题.能力提升11.判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性.（1）对所有的正实数t，为正且（4）角平分线上的点到这个角的两边的距离相

14、等.解（1）为全称量词命题，且为假命题，如取t1，则t不成立；（2）为存在量词命题，且为真命题，因为判别式b24ac25（3）为存在量词命题，且为真命题，如取实数对（2，0），则3x4y5（4）为全称量词命题，且为真命题.12.若 xR，函数ymx2xma的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.解（1）当m0时，yxa与x轴恒有公共点，所以aR.（2）当m0时，二次函数ymx2xma的图象和x轴恒有公共点的充要条件是14m（ma）0恒成立，即4m24am10恒成立.设y14m24am1，则可转化为此二次函数的图象恒在x轴上方（或图象顶点在x轴上）的充要条件是1（4a）2160，可得1a1.综上所述，当m0时，aR；当m0时，aa|1a1.