第一章 15 151 全称量词与存在量词Word文档下载推荐.docx
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（2）常见的存在量词有：
“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.
1.全称量词和全称量词命题 要记准概念中的关键词语，还要记住专用符号
（1）全称量词：
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.
（2）常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.
（3）全称量词命题：
含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为x∈M，p（x）.
2.存在量词与存在量词命题
（1）存在量词：
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.
（2）常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等.
（3）存在量词命题：
含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x，使p（x）成立”可用符号简记为x∈M，p（x）.
教材拓展补遗
[微判断]
1.“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题.（√）
2.存在量词命题“x∈R，x2＜0”是真命题.（×
）
提示 不存在x∈R，使得x2<
0成立.
3.“三角形内角和是180°
”是全称量词命题.（√）
4.x∈R，x2＋1≥1是真命题.（√）
5.“对每一个无理数x，x2也是无理数”是真命题.（×
提示
是无理数，但（
）2＝3是有理数.
[微训练]
用符号“”表示下列存在量词命题：
（1）存在一个实数对（x，y），使2x＋3y＋3<
0成立；
（2）有些整数既能被2整除，又能被3整除；
（3）某个四边形不是平行四边形.
解
（1）（x，y）∈{（x，y）|x∈R，y∈R}，2x＋3y＋3<
0.
（2）x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除.
（3）x∈{x|x是四边形}，x不是平行四边形.
[微思考]
1.全称量词命题中的“x，M与p（x）”表达的含义分别是什么？
提示 元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p（x）表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“x∈N，x≥0”.
2.在全称量词命题和存在量词命题中，量词是否可以省略？
提示 在存在量词命题中，量词不可以省略；
在有些全称量词命题中，量词可以省略.
题型一 全称量词命题与存在量词命题的识别
【例1】 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：
（1）凸多边形的外角和等于360°
；
（2）有的速度方向不定；
（3）对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有sin∠A＝cos∠B.
解
（1）可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°
”，故为全称量词命题.
（2）含有存在量词“有的”，故是存在量词命题.
（3）含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.
规律方法 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.
【训练1】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示下列命题：
（1）自然数的平方大于或等于零；
（2）有的一次函数图象经过原点；
（3）所有的二次函数的图象的开口都向上.
解
（1）全称量词命题.表示为n∈N，n2≥0.
（2）存在量词命题.一次函数，它的图象过原点.
（3）全称量词命题.二次函数，它的图象的开口都向上.
题型二 全称量词命题与存在量词命题的真假的判断
【例2】 判断下列命题的真假.
（1）所有的素数都是奇数；
（2）任意矩形的对角线相等；
（3）存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0.
解
（1）2是素数，但2不是奇数.
所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题.
（2）是真命题.
（3）由于任意x∈R，x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以存在量词命题“存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0”为假命题.
规律方法 判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言：
（1）要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p（x）成立即可，否则命题为假.
（2）要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p（x）都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p（x）不成立即可.
【训练2】 判断下列命题的真假：
（1）有一些二次函数的图象过原点；
（2）x∈R，2x2＋x＋1<
0；
（3）x∈R，x2>
解
（1）该命题中含有“有一些”，是存在量词命题.如y＝x2，其图象过原点，故该命题是真命题.
（2）该命题是存在量词命题.
∵2x2＋x＋1＝2
＋
≥
>
0，
∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<
故该命题是假命题.
（3）该命题是全称量词命题.
x＝0时，x2＝0，故该命题是假命题.
题型三 依据含量词命题的真假求参数取值范围
【例3】 已知命题p：
x∈R，函数y＝ax2＋2x＋3的图象总在x轴上方是真命题，求实数a的取值范围.
解 命题p为真命题，①当a＝0时，一次函数y＝2x＋3的图象总在x轴上方，显然不能恒成立；
②当a≠0时，由二次函数y＝ax2＋2x＋3的图象总在x轴上方，得
即
∴a>
.
综上，a的取值范围为
规律方法 根据含量词命题的真假等价转化为关于参数的不等式（组）求参数范围.
【训练3】 命题p：
任意x∈R，一次函数y＝2x＋b的图象不经过第四
象限，若命题p为真命题，求实数b的取值范围.
解 因为一次函数y＝2x＋b的图象不经过第四象限，如图所示，故b≥0.
一、素养落地
1.通过学习全称量词命题与存在量词命题的概念提升数学抽象素养.通过判断全称量词命题与存在量词命题的真假培养逻辑推理素养.
2.判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称量词命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.
3.要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；
若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题.
4.要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；
若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题.
二、素养训练
1.下列命题中全称量词命题的个数是（ ）
①任意一个自然数都是正整数；
②有的平行四边形也是菱形；
③三角形的内角和是180°
A.0B.1
C.2D.3
解析 ①③是全称量词命题.
答案 C
2.下列命题中，不是全称量词命题的是（ ）
A.任何一个实数乘以0都等于0
B.任意一个负数都比零小
C.每一个正方形都是矩形
D.一定存在没有最大值的二次函数
解析 D选项是存在量词命题.
答案 D
3.下列存在量词命题是假命题的是（ ）
A.存在x∈Q，使4－x2＝0
B.存在x∈R，使x2＋x＋1＝0
C.有的素数是偶数
D.有的有理数没有倒数
解析 对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝
0恒成立.
答案 B
4.以下四个命题，既是存在量词命题，又是真命题的是（ ）
A.锐角三角形的内角是锐角或直角
B.至少有一个实数x，使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x，使
2
5.命题p：
x∈R，x2＋2x＋5＝0是________（填“全称量词命题”或“存在量词命题”），它是________命题（填“真”或“假”）
答案 存在量词命题 假
基础达标
一、选择题
1.下列命题：
①中国公民都有受教育的权利；
②每一个中学生都要接受爱国主义教育；
③有人既能写小说，也能搞发明创造；
④任何正方形都是平行四边形.
其中全称量词命题的个数是（ ）
A.1B.2
C.3D.4
解析 命题①②④都是全称量词命题.
2.下列命题中存在量词命题的个数是（ ）
①有些自然数是偶数；
②正方形是菱形；
③能被6整除的数也能被3整除；
④对于任意x∈R，总有|x|≥0.
解析 命题①含有存在量词；
命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；
命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；
而命题④是全称量词命题.故有一个存在量词命题.
3.已知命题p：
x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A.0<
a<
4B.a>
4
C.a<
0D.a≥4
解析 ∵p是假命题，∴方程x2＋4x＋a＝0没有实数根，即Δ＝16－4a<
0，即a>
4.
4.下列四个命题：
①一切实数均有相反数；
②a∈N，使得方程ax＋1＝0无实数根；
③梯形的对角线相等；
④有些三角形不是等腰三角形.
其中，真命题的个数为（ ）
解析 ①为真命题；
对于②，当a＝0时，方程ax＋1＝0无实数根；
对于③，等腰梯形的对角线相等，故③错误；
④为真命题.
5.下列全称量词命题中真命题的个数为（ ）
①对于任意实数x，都有x＋2>
x；
②对任意的实数a，b，都有若|a|>
|b|，则a2>
b2成立；
③二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点；
④x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>
解析 ①②③为真命题.
二、填空题
6.给出下列三个命题：
①x∈R，x2＋1≠0；
②矩形都不是梯形；
③x，y∈R，x2＋y2≤1.
其中全称量词命题是________（填序号）.
解析 ②省略了量词“所有的”.
答案 ①②
7.对任意x>
3，x>
a恒成立，则实数a的取值范围是________.
解析 对任意x>
a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.
答案 a≤3
8.试判断下列全称量词命题的真假：
①x∈R，x2＋2>
②x∈N，x4≥1；
③对任意x，y，都有x2＋y2≠0.
其中真命题的个数为________.
解析 ①由于x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>
0，即x2＋2>
0，所以命题“x∈R，x2＋2>
0”是真命题.
②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“x∈N，x4≥1”是假命题.
③当x＝y＝0时，x2＋y2＝0，所以是假命题.
答案 1
三、解答题
9.试判断下列全称量词命题的真假：
（1）x∈R，x2＋1≥2；
（2）直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点；
（3）每个二次函数都有最小值.
解
（1）取x＝0，则x2＋1＝1<
2，所以“x∈R，x2＋1≥2”是假命题.
（2）与x轴平行的直线与x轴无交点，所以该命题为假命题.
（3）对于y＝ax2＋bx＋c，当a<
0时函数有最大值无最小值，所以“每个二次函数都有最小值”是假命题.
10.判断下列存在量词命题的真假：
（1）x∈Z，x3<
1；
（2）存在一个四边形不是平行四边形；
（3）存在一对整数x，y，使得2x＋4y＝6.
解
（1）∵－1∈Z，且（－1）3＝－1<
1，
∴“x∈Z，x3<
1”是真命题；
（2）真命题，如梯形；
（3）取x＝3，y＝0，则2x＋4y＝6，故为真命题.
能力提升
11.判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性.
（1）对所有的正实数t，
为正且
<
t；
（2）存在实数x，使得x2－3x－4＝0；
（3）存在实数对（x，y），使得3x－4y－5>
（4）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
解
（1）为全称量词命题，且为假命题，如取t＝1，则
t不成立；
（2）为存在量词命题，且为真命题，因为判别式Δ＝b2－4ac＝25>
（3）为存在量词命题，且为真命题，如取实数对（2，0），则3x－4y－5>
（4）为全称量词命题，且为真命题.
12.若x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.
解
（1）当m＝0时，y＝x－a与x轴恒有公共点，
所以a∈R.
（2）当m≠0时，二次函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m（m＋a）≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立.
设y1＝4m2＋4am＋1，则可转化为此二次函数的图象恒在x轴上方（或图象顶点在x轴上）的充要条件是Δ1＝（4a）2－16≤0，可得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a∈R；
当m≠0时，a∈{a|－1≤a≤1}.
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