高一数学人教A版必修一 321几类不同增长的函数模型 学案Word文档格式.docx

1、导入新知指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间（0，）上，尽管函数yax（a1），ylogax（a1）和yxn（n0）都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x的增大，yax（a1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn（n0）的增长速度，而ylogax（a1）的增长速度则会越来越慢因此，总会存在一个x0，使得当xx0时，就有logaxxn1，n0）化解疑难对比指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势函数性质yax（a1）ylogax（ayxn（n0）在（0，）上的增减性增函数增长的速度先慢后快先快后慢相对平稳图象的变化随着x的增大逐渐加快增大随着x的增大逐渐

2、减慢增大随n值的不同而不同考查函数模型的增长差异例1四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：102030y126101226401626901y21 02432 7681.051063.361071.07109y3405060y44.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是_解析从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化以爆炸式增长的变量呈指数函数变化从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2 变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量

3、y2的增长速度最快，画出它们的图象（图略），可知变量y2关于x呈指数函数变化答案y2类题通法常见的函数模型及增长特点（1）线性函数模型线性函数模型ykxb（k0）的增长特点是直线上升，其增长速度不变（2）指数函数模型指数函数模型yax（a1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”（3）对数函数模型对数函数模型ylogax（a1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓（4）幂函数模型幂函数yxn（n0）的增长速度介于指数增长和对数增长之间活学活用今有一组实验数据如下：t1.993.04.05.16.12v1.

4、54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）Avlog2t BvlogCv Dv2t2解析：选C从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越快，排除A和D，选C.指数函数、对数函数与幂函数模型的比较例2函数f（x）2x和g（x）x3的图象如图所示设两函数的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1g（1），f（2）g（2），f（9）g（10），1x12,9x210，x16从图象上可以看出，当x1xx2时，f（x）g（x），f（6）x2时，f（x）f（2 014）g（2 014）又g（2 014）g（6），g（2

5、014）g（6）f（6）由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数函数f（x）lg x，g（x）0.3x1的图象如图所示（1）试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；（2）比较两函数的增长差异以两图象交点为分界点，对f（x），g（x）的大小进行比较解：（1）C1对应的函数为g（x）0.3x1，C2对应的函数为f（x）lg x.（2）当xf（x）；当x1当xx1或xx2时，f（x）g（x）.函数模型的选取例3某汽车制造商在20

6、17年初公告：公司计划2017年生产目标定为43万辆已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：年份/年201420152016产量/万辆18如果我们分别将2014,2015,2016,2017定义为第一、二、三、四年现在你有两个函数模型：二次函数模型f（x）ax2bxc（a0），指数函数模型g（x）abxc（a0，b0，b1），哪个模型能更好地反映该公司年生产量y与年份x的关系？解建立年生产量y与年份x的函数，可知函数必过点（1,8），（2,18），（3,30）构造二次函数模型f（x）ax2bxc（a0），将点坐标代入，可得解得a1，b7，c0，则f（x）x27x，故f（4）44，与计划误差为1

7、.构造指数函数模型g（x）a0，b1），将点坐标代入，可得解得a，b，c42，则g（x）x42，故g（4）44244.4，与计划误差为1.4.由可得，f（x）x27x模型能更好地反映该公司年生产量y与年份x的关系不同函数模型的选取标准不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律：（1）线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；（2）指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；（3）对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；（4）幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题某学校为了实现1

8、00万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y0.2x，ylog5x，y1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？借助工具作出函数y3，y0.2x，ylog5x，y1.02x的图象（图略）观察图象可知，在区间5,100上，y0.2x，y1.02x的图象都有一部分在直线y3的上方，只有ylog5x的图象始终在y3和y0.2x的下方，这说明只有按模型ylog5x进行奖励才符合学校的要求典例下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是（）Aye

9、x By100ln xCyx100 Dy1002x解析指数爆炸式形容指数函数又e2，ex比1002x增大速度快答案A易错防范1影响指数型函数增长速度的量是指数函数的底数，而并非其系数，本题易发生误认为100，所以1002x比ex增大速度快的错误结论2函数yabxc（b0，且b1，a0）图象的增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b1，a0），常形象地称为指数爆炸四人赛跑，假设他们跑过的路程fi（x）（其中i1,2,3,4）和时间x（x1）的函数关系分别是f1（x）x2，f2（x）4x，f3（x）log2x，f4（x）2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关

10、系是（）Af1（x）x2 Bf2（x）4xCf3（x）log2x Df4（x）2x选D显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4（x）2x，故选D.随堂即时演练1下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是（）Ay50 By1 000xCy2x1 Dyln x选C指数函数模型增长速度最快，故选C.2三个变量y1，y2，y3，随着自变量x的变化情况如下表：1356251 7153 6456 655292452 18919 685177 1496.106.616.9857.27.4则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为（）Ay1，y2，y3 By

11、2，y1，y3Cy3，y2，y1 Dy1，y3，y2选C通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律，故选C.3若a0，那么当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是_a0，函数y1ax，y2xn，y3logax都是增函数由指数函数、对数函数、幂函数的变化规律可知，当x足够大时，axxnlogax.答案：axlogax4函数yx2与函数yxln x在区间（1，）上增长较快的一个是_当x变大时

12、，x比ln x增长要快，x2比xln x增长要快yx25某地发生地震，各地纷纷捐款捐物，甲、乙、丙三个公司分别派代表到慈善总会捐款给灾区甲公司的代表说：“在10天内，我们公司每天捐款5万元给灾区”乙公司的代表说：“在10天内，我们公司第1天捐款1万元，以后每天比前一天多捐款1万元”丙公司的代表说：“在10天内，我们公司第1天捐款0.1万元，以后每天捐款都比前一天翻一番”你觉得哪个公司在10天内捐款最多？三个公司在10天内捐款情况如下表所示：甲公司乙公司丙公司第1天0.1第2天0.2第3天0.4第4天0.8第5天1.6第6天3.2第7天6.4第8天12.8第9天25.6第10天51.2总计551

13、02.3由上表可以看出，丙公司捐款最多，为102.3万元，即丙公司在10天内捐款最多课时达标检测一、选择题1甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如下图所示，则下列说法正确的是（）A甲比乙先出发B乙比甲跑的路程多C甲、乙两人的速度相同D甲比乙先到达终点选D由题图可知，甲到达终点用时短，故选D.2已知y12x，y2x2，y3log2x，当2y2y3 By2y1Cy1y3y2 Dy2选B在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象（图略），在区间（2,4）内，从上到下图象依次对应的函数为y2x2，y12x，y3log2x，故y2y3.3有一组实验数据如下表所示：y5.913

14、.424.137下列所给函数模型较适合的是（）Aylogax（aByaxb（aCyax2b（aDylogaxb（a选C通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C.4若x（0,1），则下列结论正确的是（）A2xlg x B2xlg xCx2xlg x Dlg x选A结合y2x，yx及ylg x的图象易知，当x（0,1）时，2xlg x.5某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数yf（x）的图象大致为（）选D设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得axa（10.104）y，故

15、ylog1.104x（x1），函数为对数函数，所以函数yf（x）的图象大致为D中图象，故选D.二、填空题6以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：1.5852.3222.5852.807其中，关于x呈指数函数变化的函数是_从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象（图略），可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.7某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t（单位：年）的函数关系如图所示以下四种说法：前三年产量增长的速度越来越快；前三年产量增长的速度越来越慢；第三年后这种产品停止生产；第三年后产量保持不变其中说法正确

16、的序号是_由t0,3的图象联想到幂函数yx（01），反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢由t3,8的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以正确8表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样其中，正确信息的序号是_看时间轴易知正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，

17、所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故正确，错误三、解答题9函数f（x）1.1x，g（x）ln x1，h（x）x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异（以1，a，b，c，d，e为分界点）由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f（x）1.1x，曲线C2对应的函数是h（x）x，曲线C3对应的函数是g（x）ln x1.由题图知，当xh（x）当1g（x）h（x）；当ef（x）当a当b当cd时，f（x）g（x）10截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将

18、人口平均增长率控制在1%，经过x年后，我国人口为y（单位：亿）（1）求y与x的函数关系式yf（x）；（2）求函数yf（x）的定义域；（3）判断函数f（x）是增函数还是减函数，并指出函数增减的实际意义（1）1999年底人口数：13亿经过1年，2000年底人口数：13131%13（11%）亿经过2年，2001年底人口数：13（11%）13（11%）1%13（11%）2亿经过3年，2002年底人口数：（11%）213（11%）2（11%）3亿经过年数与（11%）的指数相同，经过x年后人口数为13（11%）x亿yf（x）13（11%）x.（2）此问题以年作为单位时间，xN*是此函数的定义域（3）yf（

19、x）1311%1,13（11%）x是增函数，即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长11某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件为了估计以后每个月的产量，以这3个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的关系模拟函数可以选用二次函数或函数yabxc（a，b，c为常数）已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问：用以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由设两个函数：y1f（x）px2qxr（p0），y2g（x）abxc.依题意，解得y1f（x）0.05x20.35x0.7，f（4）1.3（万件）依题意，得y2g（x）0.80.5x1.4.g（4）0.80.541.41.35（万件）经比较，g（4）1.35（万件）比f（4）1.3（万件）更接近于4月份的产量1.37万件选y2g（x）0.80.5x1.4作为模拟函数较好