高一数学人教A版必修一 321几类不同增长的函数模型 学案Word文档格式.docx

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[导入新知]

指数函数、对数函数和幂函数的增长差异

一般地，在区间（0，＋∞）上，尽管函数y＝ax（a>

1），y＝logax（a>

1）和y＝xn（n>

0）都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．

随着x的增大，y＝ax（a>

1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn（n>

0）的增长速度，而y＝logax（a>

1）的增长速度则会越来越慢．

因此，总会存在一个x0，使得当x>

x0时，就有logax<

xn<

ax（a>

1，n>

0）．

[化解疑难]

对比指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势

　　　函数

性质　　　

y＝ax（a>

1）

y＝logax（a>

y＝xn（n>

0）

在（0，＋∞）上的增减性

增函数

增长的速度

先慢后快

先快后慢

相对平稳

图象的变化

随着x的增大逐渐加快增大

随着x的增大逐渐减慢增大

随n值的不同而不同

考查函数模型的增长差异

[例1]　四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：

10

20

30

y1

26

101

226

401

626

901

y2

1024

32768

1.05×

106

3.36×

107

1.07×

109

y3

40

50

60

y4

4.322

5.322

5.907

6.322

6.644

6.907

关于x呈指数函数变化的变量是________．

[解析]　从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．

以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．

从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象（图略），可知变量y2关于x呈指数函数变化．

[答案]　y2

[类题通法]

常见的函数模型及增长特点

（1）线性函数模型

线性函数模型y＝kx＋b（k>

0）的增长特点是直线上升，其增长速度不变．

（2）指数函数模型

指数函数模型y＝ax（a>

1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．

（3）对数函数模型

对数函数模型y＝logax（a>

1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．

（4）幂函数模型

幂函数y＝xn（n>

0）的增长速度介于指数增长和对数增长之间．

[活学活用]

今有一组实验数据如下：

t

1.99

3.0

4.0

5.1

6.12

v

1.5

4.04

7.5

12

18.01

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（　　）

A．v＝log2t　　　　　　　B．v＝log

C．v＝

D．v＝2t－2

解析：

选C　从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越快，排除A和D，选C.

指数函数、对数函数与幂函数模型的比较

[例2]　函数f（x）＝2x和g（x）＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1<

x2.

（1）请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；

（2）结合函数图象，判断f（6），g（6），f（2017），g（2017）的大小．

[解]　

（1）C1对应的函数为g（x）＝x3，C2对应的函数为f（x）＝2x.

（2）∵f

（1）>

g

（1），f

（2）<

g

（2），f（9）<

g（9），

f（10）>

g（10），

∴1<

x1<

2,9<

x2<

10，

∴x1<

6<

x2,2014>

从图象上可以看出，当x1<

x<

x2时，f（x）<

g（x），

∴f（6）<

g（6）．

当x>

x2时，f（x）>

∴f（2014）>

g（2014）．

又∵g（2014）>

g（6），

g（2014）>

g（6）>

f（6）．

由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法

根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；

图象趋于平缓的函数是对数函数．

函数f（x）＝lgx，g（x）＝0.3x－1的图象如图所示．

（1）试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；

（2）比较两函数的增长差异[以两图象交点为分界点，对f（x），g（x）的大小进行比较]．

解：

（1）C1对应的函数为g（x）＝0.3x－1，C2对应的函数为f（x）＝lgx.

（2）当x<

x1时，g（x）>

f（x）；

当x1<

g（x）；

x2时，g（x）>

当x＝x1或x＝x2时，f（x）＝g（x）.

函数模型的选取

[例3]　某汽车制造商在2017年初公告：

公司计划2017年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：

年份/年

2014

2015

2016

产量/万辆

18

如果我们分别将2014,2015,2016,2017定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：

二次函数模型f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），指数函数模型g（x）＝a·

bx＋c（a≠0，b>

0，b≠1），哪个模型能更好地反映该公司年生产量y与年份x的关系？

[解]　建立年生产量y与年份x的函数，可知函数必过点（1,8），（2,18），（3,30）．

①构造二次函数模型f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），将点坐标代入，可得

解得a＝1，b＝7，c＝0，

则f（x）＝x2＋7x，

故f（4）＝44，与计划误差为1.

②构造指数函数模型g（x）＝a·

0，b≠1），

将点坐标代入，可得

解得a＝

，b＝

，c＝－42，

则g（x）＝

·

x－42，

故g（4）＝

4－42＝44.4，与计划误差为1.4.

由①②可得，f（x）＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年生产量y与年份x的关系．

不同函数模型的选取标准

不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律：

（1）线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；

（2）指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；

（3）对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；

（4）幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．

因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．

某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：

在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：

y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？

借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象（图略）．观察图象可知，在区间[5,100]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．

[典例]　下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是（　　）

A．y＝

ex　　　　B．y＝100lnx

C．y＝x100D．y＝100·

2x

[解析]　指数爆炸式形容指数函数．

又∵e>

2，

∴

ex比100·

2x增大速度快．

[答案]　A

[易错防范]

1．影响指数型函数增长速度的量是指数函数的底数，而并非其系数，本题易发生误认为100>

，所以100·

2x比

ex增大速度快的错误结论．

2．函数y＝a·

bx＋c（b>

0，且b≠1，a≠0）图象的增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b>

1，a>

0），常形象地称为指数爆炸．

四人赛跑，假设他们跑过的路程fi（x）（其中i∈{1,2,3,4}）和时间x（x>

1）的函数关系分别是f1（x）＝x2，f2（x）＝4x，f3（x）＝log2x，f4（x）＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是（　　）

A．f1（x）＝x2B．f2（x）＝4x

C．f3（x）＝log2xD．f4（x）＝2x

选D　显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4（x）＝2x，故选D.

[随堂即时演练]

1．下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是（　　）

A．y＝50　　　　　　　B．y＝1000x

C．y＝2x－1D．y＝

lnx

选C　指数函数模型增长速度最快，故选C.

2．三个变量y1，y2，y3，随着自变量x的变化情况如下表：

135

625

1715

3645

6655

29

245

2189

19685

177149

6.10

6.61

6.985

7.2

7.4

则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为（　　）

A．y1，y2，y3B．y2，y1，y3

C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2

选C　通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；

指数函数的增长速度成倍增长，y2随x的变化符合此规律；

幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律，故选C.

3．若a>

0，那么当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是________．

∵a>

0，

∴函数y1＝ax，y2＝xn，y3＝logax都是增函数．

由指数函数、对数函数、幂函数的变化规律可知，当x足够大时，ax>

xn>

logax.

答案：

ax>

logax

4．函数y＝x2与函数y＝xlnx在区间（1，＋∞）上增长较快的一个是________．

当x变大时，x比lnx增长要快，

∴x2比xlnx增长要快．

y＝x2

5．某地发生地震，各地纷纷捐款捐物，甲、乙、丙三个公司分别派代表到慈善总会捐款给灾区．甲公司的代表说：

“在10天内，我们公司每天捐款5万元给灾区．”乙公司的代表说：

“在10天内，我们公司第1天捐款1万元，以后每天比前一天多捐款1万元．”丙公司的代表说：

“在10天内，我们公司第1天捐款0.1万元，以后每天捐款都比前一天翻一番．”你觉得哪个公司在10天内捐款最多？

三个公司在10天内捐款情况如下表所示：

甲公司

乙公司

丙公司

第1天

0.1

第2天

0.2

第3天

0.4

第4天

0.8

第5天

1.6

第6天

3.2

第7天

6.4

第8天

12.8

第9天

25.6

第10天

51.2

总计

55

102.3

由上表可以看出，丙公司捐款最多，为102.3万元，即丙公司在10天内捐款最多．

[课时达标检测]

一、选择题

1．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如下图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．甲比乙先出发

B．乙比甲跑的路程多

C．甲、乙两人的速度相同

D．甲比乙先到达终点

选D　由题图可知，甲到达终点用时短，故选D.

2．已知y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<

4时，有（　　）

A．y1>

y2>

y3　　　　　B．y2>

y1>

C．y1>

y3>

y2D．y2>

选B　在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象（图略），在区间（2,4）内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>

y3.

3．有一组实验数据如下表所示：

y

5.9

13.4

24.1

37

下列所给函数模型较适合的是（　　）

A．y＝logax（a>

B．y＝ax＋b（a>

C．y＝ax2＋b（a>

D．y＝logax＋b（a>

选C　通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C.

4．若x∈（0,1），则下列结论正确的是（　　）

A．2x>

>

lgxB．2x>

lgx>

C．x

2x>

lgxD．lgx>

选A　结合y＝2x，y＝x

及y＝lgx的图象易知，当x∈（0,1）时，2x>

lgx.

5．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f（x）的图象大致为（　　）

选D　设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a（1＋0.104）y，故y＝log1.104x（x≥1），函数为对数函数，所以函数y＝f（x）的图象大致为D中图象，故选D.

二、填空题

6．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：

…

1.585

2.322

2.585

2.807

其中，关于x呈指数函数变化的函数是____________________．

从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象（图略），可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.

7．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t（单位：

年）的函数关系如图所示．

以下四种说法：

①前三年产量增长的速度越来越快；

②前三年产量增长的速度越来越慢；

③第三年后这种产品停止生产；

④第三年后产量保持不变．

其中说法正确的序号是________．

由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xα（0<

α<

1），反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．

②③

8．表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：

①骑自行车者比骑摩托车者早出发3h，晚到1h；

②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；

③骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者；

④骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样．

其中，正确信息的序号是________．

看时间轴易知①正确；

骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；

两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误．

①②③

三、解答题

9．函数f（x）＝1.1x，g（x）＝lnx＋1，h（x）＝x

的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异（以1，a，b，c，d，e为分界点）．

由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f（x）＝1.1x，曲线C2对应的函数是h（x）＝x

，曲线C3对应的函数是g（x）＝lnx＋1.

由题图知，当x<

1时，f（x）>

h（x）>

当1<

e时，f（x）>

g（x）>

h（x）；

当e<

a时，g（x）>

f（x）>

当a<

b时，g（x）>

当b<

c时，h（x）>

当c<

d时，h（x）>

d时，f（x）>

g（x）．

10．截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后，我国人口为y（单位：

亿）．

（1）求y与x的函数关系式y＝f（x）；

（2）求函数y＝f（x）的定义域；

（3）判断函数f（x）是增函数还是减函数，并指出函数增减的实际意义．

（1）1999年底人口数：

13亿．

经过1年，2000年底人口数：

13＋13×

1%＝13×

（1＋1%）亿．

经过2年，2001年底人口数：

13×

（1＋1%）＋13×

（1＋1%）×

1%

＝13×

（1＋1%）2亿．

经过3年，2002年底人口数：

（1＋1%）2＋13×

（1＋1%）2×

（1＋1%）3亿．

∵经过年数与（1＋1%）的指数相同，

∴经过x年后人口数为13×

（1＋1%）x亿．

∴y＝f（x）＝13×

（1＋1%）x.

（2）∵此问题以年作为单位时间，

∴x∈N*是此函数的定义域．

（3）y＝f（x）＝13×

∵1＋1%>

1,13>

（1＋1%）x是增函数，

即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．

11．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估计以后每个月的产量，以这3个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数y＝a·

bx＋c（a，b，c为常数）．已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问：

用以上哪个函数作为模拟函数较好？

请说明理由．

设两个函数：

y1＝f（x）＝px2＋qx＋r（p≠0），y2＝g（x）＝a·

bx＋c.

依题意，

解得

∴y1＝f（x）＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，

∴f（4）＝1.3（万件）．

依题意，得

∴y2＝g（x）＝－0.8×

0.5x＋1.4.

∴g（4）＝－0.8×

0.54＋1.4＝1.35（万件）．

经比较，g（4）＝1.35（万件）比f（4）＝1.3（万件）更接近于4月份的产量1.37万件．

∴选y2＝g（x）＝－0.8×

0.5x＋1.4作为模拟函数较好．