2011《非线性振动》试题解答解析Word格式文档下载.doc

1、题4：Consider the system governed by （a） When is near unity, show that for small but finite amplitudes of the response where Here is a measure of the amplitude of the response. Obtain the frequency-response equation. Show that . How does this value of compare with that the case of linear viscous dampi

2、ng? Plot versus and . Is there a jump phenomenon?（b） When is near one third （superharmonic response）, show that Obtain the frequency-response equation. Plot versus and . Is there a jump phenomenon?（c） When is near 3 （subharmonic response）, show that 题5：Consider the system shown in Figure 5 when the

3、tension . （a） Show that the governing equation is （b） Linearize the governing equation to obtain （c） Determine second-order expansions for the transition curves separating stability from instability when （d） If , determine the influence of the nonlinear terms to first order when . Figure 5 Particle

4、attached to stretched stringlmTT注意：所有的题目并没有给出完整的解答，以此作为提供一个解题思路，希望自己推导一遍（使用自己习惯的一套符号），修改和完善其中的不妥之处，然后补全没有给出解答的部分即可。切勿雷同！题一解：这题关键算Jacobi积分，可以参考Nayfeh的非线性振动第二章，或用Mathematica软件计算。本题有的地方推导过于简单，有些地方没有必要，希望稍作修改。第三问的分析可能不太恰当！（a）系统动能为（1.1）系统的势能为（1.2）代入Lagrange方程（1.3）这里取广义坐标为和，其中是金属丝旋转过的角度，有关系，由此得到系统的运动微分方程（

5、1.4）（1.5）（b）积分式得到（1.6）其中是积分常数。把式代入式并整理得到（1.7）（c）下面来求出描述相平面上的运动方程。设（1.8）从方程中消去，我们得到（1.9）此式可以改写为（1.10）方程积分有（1.11）式中是常数。方程表明，此系统的不是一个常数。积分称为Jacobi积分。改写可以得到（1.12）并由此可以得出（1.13）注意到，所以，当时取等号。式右边分子必须半正定，即（1.14）解得（1.15）因此运动是有界的，它用围绕原点的一些闭轨线来表示，而原点是一个中心。（d）编程的方法课上老师已经交给大家了，自己编写一小段程序即可。下面的程序仅为示例，不是最终结果。勿用此程序画的

6、图。% 题一：画轨线图 %画一条曲线，先确定参数x范围clear all;clc;p=1.0;g=32.2;h=1000.0;H=12.0;dt=0.0001;x0=0.5;v0=0.5;II=6740;X（1:II）=0.0;V（1:X（1）=x0;V（1）=v0;for i=2:II x1=x0+v0*dt; v1=v0-（2*g*p-H/（x14）*x1+4*p2*x1*v02）/（1+4*p2*x12）*dt; x0=x1; v0=v1; X（i）=x0; V（i）=v0;endfigure;plot（X,V,r）;hold on;on;题二解：因为（2.1）所以系统的奇点满足（2.2

7、）由此解得奇点为（1）对原方程在奇点附近线性化，得（2.3）系统矩阵的特征方程为（2.4）特征值为（2.5）由于和异号，所以奇点为鞍点，它是一个不稳定奇点。（2）对原方程在奇点附近线性化， （3）对原方程在奇点附近线性化， （4）对原方程在奇点附近线性化，（2）、（3）和（4）方法同（1），此处略。这里只提供一个例子，修改初值会得到不同的曲线，需画3040条线可以反映出题目的要求。下面仍然是举例说明，例子中只画出了其中两条相轨线。% 题二画相轨迹图 %x0=1.0001;y0=2.00;dt=0.001;II=2350;II）=0;Y（1:Y（1）=y0;II; x1=x0+（x02+y02-

8、5.0）*dt; y1=y0+（x0*y0-2.0）*dt; y0=y1; Y（i）=y0;plot（X,Y,）%x0=0.9999;II=10000;题三解：说明：（b）小题中线性化可能存在问题，因为按照本解答的结果在后面做稳定性分析时，十分复杂。在奇点附近和奇点附近线性化时可能没有中括号中的第三项？（2.6）其中（a）使用多尺度方法求解。设方程的解为（2.7）将此代入方程，令的同次幂系数相等，得（2.8）（2.9）方程的解为（2.10）其中现在还是任意的。将代入方程，得（2.11）可知为的周期函数，将其展开为Fourier级数，有（2.12）（2.13）为了从方程中消去永久项，必须有（2.

9、14）上式是关于的自洽微分方程，因此，可以按解出。求方程的一阶近似解，那么只是的函数。于是，可令（2.15）将代入式，得（2.16）分离实部和虚部，得（2.17）（2.18）因为，所以（2.19）由此得到（2.20）（2.21）注意到和是对，因此它们对的导数为（2.22）（2.23）那么，方程的一阶近似解为（2.24）（b）方程的一阶近似解为，由于，所以为常值，关于的方程的奇点为（注意到）（2.25）令，可得到三个奇点附近的线性化方程分别为奇点附近（2.26）奇点附近（2.27）奇点附近（2.28）（1）奇点的稳定条件为，但此时稳态常值振幅为0，存在振幅为0的稳定极限环。（2）奇点的稳定条件为

10、，参考课件稳定性分析参考可见上的相关内容（略）。题四解：本题给出了（a）（b）两问的推导过程，（c）问的推导类似于（b），实际上还要用到（b）的部分结果，因此相对简单得多，希望自己推导一遍。所有的图都没有给出，需要自己画。（a）首先将作幂级数展开，并保留到三阶项，则原方程变为（2.29），接近1，为主共振。为了得到主共振响应，必须使阻尼项、非线性项和激励项同时出现在同一阶方程中。令，为解谐参数。（2.30）将代入，保留到项，得（2.31）令上式中的同次幂的系数为零，得（2.32）（2.33）（2.34）（2.35）将代入，得（2.36）为了从上式中消去永久项，必须有（2.37）那么，方程的解为

11、（2.38）把和代入，得（2.39）（2.40）令，得（2.41）式成立的条件是实部和虚部都为零，即有（2.42）（2.43）方程的一阶近似解为（2.44）方程和有定常解必须满足。（2.45）消去，得到频率-响应方程为（2.46）从式中解出，得（2.47）由，可得到（2.48）（2.49）分析及结论略，图片根据课件及课堂上老师介绍的方法画。（b）为求超谐共振，需要指定激励项为非共振硬激励，为此令（2.50）将代入原方程，保留到项，并令的同次幂系数相等，得（2.51）（2.52）（2.53）（2.54）其中。把代入，得（2.55）（2.56）（2.57）（2.58）把代入式，消去永久项，有（2.

12、59）（2.60）令，分离实部和虚部，得（2.61）（2.62）注意到，即有（2.63）（2.64）所以一阶近似解为（2.65）频率-响应方程为（2.66）（c）为求亚谐共振，把代入式，消去永久项，有参考超谐共振题五解：（a）（b）过程简略，希望写详细点。（a）细绳本身不能伸长，但两端可以运动，在不计重力的条件下，细绳中的张力大小沿绳长不变，处处为，因此，对质点应用Newton第二定律，得（5.1）又，代入式并整理，得（5.2）（b）当小而有限时，在附近将方程中的函数展开，保留到项，得（5.3）（c）方程为Hill方程，的周期。使用约束参数法。（5.4）（5.5）代入方程，可得（5.6）即（5

13、.7）（5.8）（5.9）（5.10）因此，为了使是或的周期函数，应有，即，亦即。当即时：（5.11）方程变为（5.12）（5.13）注意到，所以有（5.14）即有。由解得（5.15）将和代入，得（5.16）（5.17）（5.18）当时，有（5.19）注意到，所以有。所以稳定性过渡曲线为（5.20）在这条曲线上，方程的周期解为（5.21）参考前一情况参考前面即时的情况做。（d）在附近将方程中的非线性函数展开，保留到，得（5.22）当时，令（5.23）（5.24）为了确定非线性项对方程的解和稳定性的影响，使用多尺度法来求解方程。（5.25）将上式代入，展开并保留到项，得（5.26）在上式中令的同次幂系数为零，得（5.27）（5.28）（5.29）这三个方程的求解方法前面及书和课件上都有，希望自己完成。结果分析，参考课件和Nayfeh的书，仔细阅读可以找到答案的。- 19 -