2011《非线性振动》试题解答解析Word格式文档下载.doc
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题4：
Considerthesystemgovernedby
（a）Whenisnearunity,showthatforsmallbutfiniteamplitudesoftheresponse
where
Hereisameasureoftheamplitudeoftheresponse.Obtainthefrequency-responseequation.Showthat.Howdoesthisvalueofcomparewiththatthecaseoflinearviscousdamping?
Plotversusand.Isthereajumpphenomenon?
（b）Whenisnearonethird（superharmonicresponse）,showthat
Obtainthefrequency-responseequation.Plotversusand.Isthereajumpphenomenon?
（c）Whenisnear3（subharmonicresponse）,showthat
题5：
ConsiderthesystemshowninFigure5whenthetension.
（a）Showthatthegoverningequationis
（b）Linearizethegoverningequationtoobtain
（c）Determinesecond-orderexpansionsforthetransitioncurvesseparatingstabilityfrominstabilitywhen
（d）If,determinetheinfluenceofthenonlineartermstofirstorderwhen.
Figure5Particleattachedtostretchedstring
l
m
TT
注意：
所有的题目并没有给出完整的解答，以此作为提供一个解题思路，希望自己推导一遍（使用自己习惯的一套符号），修改和完善其中的不妥之处，然后补全没有给出解答的部分即可。
切勿雷同！
！
题一解：
这题关键算Jacobi积分，可以参考Nayfeh的《非线性振动》第二章，或用Mathematica软件计算。
本题有的地方推导过于简单，有些地方没有必要，希望稍作修改。
第三问的分析可能不太恰当！
（a）系统动能为
（1.1）
系统的势能为
（1.2）
代入Lagrange方程
（1.3）
这里取广义坐标为和，其中是金属丝旋转过的角度，有关系，由此得到系统的运动微分方程
（1.4）
（1.5）
（b）积分式得到
（1.6）
其中是积分常数。
把式代入式并整理得到
（1.7）
（c）下面来求出描述相平面上的运动方程。
设
（1.8）
从方程中消去，我们得到
（1.9）
此式可以改写为
（1.10）
方程积分有
（1.11）
式中是常数。
方程表明，此系统的不是一个常数。
积分称为Jacobi积分。
改写可以得到
（1.12）
并由此可以得出
（1.13）
注意到，所以，当时取等号。
式右边分子必须半正定，即
（1.14）
解得
（1.15）
因此运动是有界的，它用围绕原点的一些闭轨线来表示，而原点是一个中心。
（d）编程的方法课上老师已经交给大家了，自己编写一小段程序即可。
下面的程序仅为示例，不是最终结果。
勿用此程序画的图。
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%题一：
画轨线图%%%%%画一条曲线，先确定参数x范围
clearall;
clc;
p=1.0;
g=32.2;
h=1000.0;
H=12.0;
dt=0.0001;
x0=0.5;
v0=0.5;
II=6740;
X（1:
II）=0.0;
V（1:
X
（1）=x0;
V
（1）=v0;
fori=2:
II
x1=x0+v0*dt;
v1=v0-（（2*g*p-H/（x1^4））*x1+4*p^2*x1*v0^2）/（1+4*p^2*x1^2）*dt;
x0=x1;
v0=v1;
X（i）=x0;
V（i）=v0;
end
figure;
plot（X,V,'
r'
）;
holdon;
on;
题二解：
因为
（2.1）
所以系统的奇点满足
（2.2）
由此解得奇点为
（1）对原方程在奇点附近线性化，得
（2.3）
系统矩阵的特征方程为
（2.4）
特征值为
（2.5）
由于和异号，所以奇点为鞍点，它是一个不稳定奇点。
（2）对原方程在奇点附近线性化，
（3）对原方程在奇点附近线性化，
（4）对原方程在奇点附近线性化，
（2）、（3）和（4）方法同
（1），此处略。
这里只提供一个例子，修改初值会得到不同的曲线，需画30~40条线可以反映出题目的要求。
下面仍然是举例说明，例子中只画出了其中两条相轨线。
%%%题二画相轨迹图%%%
x0=1.0001;
y0=2.00;
dt=0.001;
II=2350;
II）=0;
Y（1:
Y
（1）=y0;
II;
x1=x0+（x0^2+y0^2-5.0）*dt;
y1=y0+（x0*y0-2.0）*dt;
y0=y1;
Y（i）=y0;
plot（X,Y,'
）
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x0=0.9999;
II=10000;
题三解：
说明：
（b）小题中线性化可能存在问题，因为按照本解答的结果在后面做稳定性分析时，十分复杂。
在奇点附近和奇点附近线性化时可能没有中括号中的第三项？
（2.6）
其中
（a）使用多尺度方法求解。
设方程的解为
（2.7）
将此代入方程，令的同次幂系数相等，得
（2.8）
（2.9）
方程的解为
（2.10）
其中现在还是任意的。
将代入方程，得
（2.11）
可知为的周期函数，将其展开为Fourier级数，有
（2.12）
（2.13）
为了从方程中消去永久项，必须有
（2.14）
上式是关于的自洽微分方程，因此，可以按解出。
求方程的一阶近似解，那么只是的函数。
于是，可令
（2.15）
将代入式，得
（2.16）
分离实部和虚部，得
（2.17）
（2.18）
因为，所以
（2.19）
由此得到
（2.20）
（2.21）
注意到和是对，因此它们对的导数为
（2.22）
（2.23）
那么，方程的一阶近似解为
（2.24）
（b）方程的一阶近似解为，由于，所以为常值，关于的方程的奇点为（注意到）
（2.25）
令，可得到三个奇点附近的线性化方程分别为
奇点附近 （2.26）
奇点附近 （2.27）
奇点附近 （2.28）
（1）奇点的稳定条件为，但此时稳态常值振幅为0，存在振幅为0的稳定极限环。
（2）奇点的稳定条件为，参考课件
稳定性分析参考可见上的相关内容（略）。
题四解：
本题给出了（a）（b）两问的推导过程，（c）问的推导类似于（b），实际上还要用到（b）的部分结果，因此相对简单得多，希望自己推导一遍。
所有的图都没有给出，需要自己画。
（a）首先将作幂级数展开，并保留到三阶项，则原方程变为
（2.29）
，接近1，为主共振。
为了得到主共振响应，必须使阻尼项、非线性项和激励项同时出现在同一阶方程中。
令，为解谐参数。
（2.30）
将代入，保留到项，得
（2.31）
令上式中的同次幂的系数为零，得
（2.32）
（2.33）
（2.34）
（2.35）
将代入，得
（2.36）
为了从上式中消去永久项，必须有
（2.37）
那么，方程的解为
（2.38）
把和代入，得
（2.39）
（2.40）
令，得
（2.41）
式成立的条件是实部和虚部都为零，即有
（2.42）
（2.43）
方程的一阶近似解为
（2.44）
方程和有定常解必须满足。
（2.45）
消去，得到频率-响应方程为
（2.46）
从式中解出，得
（2.47）
由，可得到
（2.48）
（2.49）
分析及结论略，图片根据课件及课堂上老师介绍的方法画。
（b）为求超谐共振，需要指定激励项为非共振硬激励，为此令
（2.50）
将代入原方程，保留到项，并令的同次幂系数相等，得
（2.51）
（2.52）
（2.53）
（2.54）
其中。
把代入，得
（2.55）
（2.56）
（2.57）
（2.58）
把代入式，消去永久项，有
（2.59）
（2.60）
令，分离实部和虚部，得
（2.61）
（2.62）
注意到，即有
（2.63）
（2.64）
所以一阶近似解为
（2.65）
频率-响应方程为
（2.66）
（c）为求亚谐共振，把代入式，消去永久项，有
参考超谐共振
题五解：
（a）（b）过程简略，希望写详细点。
（a）细绳本身不能伸长，但两端可以运动，在不计重力的条件下，细绳中的张力大小沿绳长不变，处处为，因此，对质点应用Newton第二定律，得
（5.1）
又，代入式并整理，得
（5.2）
（b）当小而有限时，在附近将方程中的函数展开，保留到项，得
（5.3）
（c）方程为Hill方程，的周期。
使用约束参数法。
（5.4）
（5.5）
代入方程，可得
（5.6）
即
（5.7）
（5.8）
（5.9）
（5.10）
因此，为了使是或的周期函数，应有，即，亦即。
◆当即时：
（5.11）
方程变为
（5.12）
（5.13）
注意到，所以有
（5.14）
即有。
由解得
（5.15）
将和代入，得
（5.16）
（5.17）
（5.18）
●当时，，有
（5.19）
注意到，所以有。
所以稳定性过渡曲线为
（5.20）
在这条曲线上，方程的周期解为
（5.21）
参考前一情况
参考前面即时的情况做。
（d）在附近将方程中的非线性函数展开，保留到，得
（5.22）
当时，令
（5.23）
（5.24）
为了确定非线性项对方程的解和稳定性的影响，使用多尺度法来求解方程。
（5.25）
将上式代入，展开并保留到项，得
（5.26）
在上式中令的同次幂系数为零，得
（5.27）
（5.28）
（5.29）
这三个方程的求解方法前面及书和课件上都有，希望自己完成。
结果分析，参考课件和Nayfeh的书，仔细阅读可以找到答案的。
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