小学奥数平面几何五种面积模型Word格式.docx

1、3S的对应份数为a b2 .四、相似模型（一）金字塔模型二）沙漏模型 AD AE AB AC ADE : & ABC所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形 （只要其形状不改变, 不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如 下： 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似 比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半. 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工 具/、 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线

2、而出现的相似三角形.五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC中，AD , BE , CF相交于同一点O，那么上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因 为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称 为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用， 它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径 .典型例题【例1】 如图，正方形ABC啲边长为6，ae 1.5，cf 2.长方形EFGH勺面积为 【解析】连接DE DF,则长方形EFG啲面积是三角形DEF面积的二倍.三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面

3、积,Sdef 6 6 1.5 6 2 2 6 2 4.5 4 2 16.5 ,所以长方形 EFGH面积为33.【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘 米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等 （长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）.三角形面积等于与它等底 等高的平行四边形面积的一半.证明：连接AG .（我们通过 ABG把这两个长方形和正方形联系在一 起）.1T在正方形ABCD中，Saabg丄AB AB边上的高，2二Saabg 2 SABCD （三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）同理,S

4、a abg Sefgb .8 8 10 6.4（厘米）.H为AD边上任【例2】 长方形ABCD的面积为36cm2, E、F、G为各边中点, 意一点，问阴影部分面积是多少？【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接 BH、HC，如下图:可得：S1SEHBAHB 、S FHBCHB、S DHG S DHCS AHB S CHBS CHD36即 S EHBS BHFS DHG二（S AHBS CHBS CHD ）36 18;zSabCD而S EHB S bhf S DHG S阴影 S EBFBE BF - （- AB） （- BC） - 36 4.52 2 2 8S EBF解法二：特殊点法.找H的特殊点

5、，把H点与D点重合,那么图形就可变成右图:S S S S S 1S阴影 SABCD S AED S BEF S CFD 36 36 13.5.【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P ,将正方形的一组对边 二等分，另一组对边三等分，分别与 P点连接，求阴影部分面积.【解析】（法1）特殊点法.由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法， 假设P点与A点重合，贝S阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴 影三角形的面积分别占正方形面积的 和1，所以阴影部分的面积为4 662（1 1） 15平方厘米.（法2）连接PA、PC .由于PAD与PBC的面积之和等于正方形 ABCD面积的一半，所以上

6、、 下两个阴影三角形的面积之和等于正方形 ABCD面积的1 ,同理可知4左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形 ABCD面积的丄，所以阴6影部分的面积为62 （1 1） 15平方厘米.【例3】如图所示，长方形 ABCD内的阴影部分的面积之和为 70, AB 8 ,AD 15，四边形EFGO的面积为 .【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形 AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积.由于长方形ABCD的面积为15 8 120 ,所以三角形BOC的面积为 120 1 30，所以三角形AOE和DOG的面积之和为120 - 7

7、0 20 ；4 4又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120 - - 30，所以2 4四边形EFGO的面积为30 20 10 .另解：从整体上来看，四边形 EFGO的面积 三角形AFC面积 三角形 BFD面积 白色部分的面积，而三角形 AFC面积 三角形BFD面积为长 方形面积的一半，即60,白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即120 70 50，所以四边形的面积为60 50 10 .【巩固】如图，长方形ABCD的面积是36, E是AD的三等分点，AE 2ED，则 阴影部分的面积为【例4】 已知ABC为等边三角形，面积为400, D、E、F分别为三边的中点， 已知甲

8、、乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积.（丙是三角形HBC ）【解析】因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的 中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形 ABN和三角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为200.即 400 s丙 200 200 Samhn，所以 SM SAMHN .S阴影 S S s丙 Sadf 143 1 400 43 .【例5】 如图，已知CD 5 , DE 7 , EF 15 , FG 6，线段AB将图形分成两部 分，左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG的面 积是 .G连接AF , BD .根据题意可

9、知，CF 5 7 1515所以，S BEF 27 S CBF , S BEC于是： S ADG S CBF 6528 2727 ；DG76 2812 21CBF ,AEG272812? CCS ADGS CBF38 ；s 7 SADG , AED可得S adg 40 .故三角形ADG的面积是40.【例6】 如图在 ABC中,D,E分别是AB,AC上的点，且AD: AB 2:5 , AE:AC 4:7 , SAade 16平方厘米，求 ABC的面积.【解析】 连接 BE , ade： Sa abe AD:5 （2 4）:（5 4）,S ABE : SA ABC AE : AC 4 : 7 （4

10、5） ： （7 5）, 所以 SA ADE : SA ABC （2 4） ： （7 5）, 设Saade 8份，则Saabc 35份，Sade 16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米， ABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一 个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角 （相等角或互补角）两夹边的乘积之比.【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角 形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？连接AD ./ BE 3 , AE 6ABD 話，BDE/. AB 3BE , S.又 V BD DC 4 , S.：ABC 2 S

11、.ABD， S.：ABC 6S. BDE , SL 5S?.【例7】 如图在 ABC中，D在BA的延长线上， E在AC上，且 AB: AD 5:2 , AE: EC 3:2 , Sade 12平方厘米，求 ABC的面积.Sa abe : S ABC AE:AC 3: （3 2） （3 5）: （3 2） 5 ,所以 SAADE : SA ABC （3 2） : 5 （3 2） 6:25，设 Sa ade 6 份，贝S $ abc 25 份，Saade 12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米， ABC 的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共 角三角形的

12、面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比【例8】如图，平行四边形ABCD , BE AB , CF 2CB , GD 3DC , HA 4AD，平 行四边形ABCD的面积是2 ,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面 积比.连接AC、BD .根据共角定理.在 ABC 禾口 BFE 中， ABC 与 FBE 互补, SA ABC AB BC 11 1Safbe BE BF 门 3 又Sa ABC 1 , 所以s FBE 3 .15+3+2 36 .冋理可彳得 Sa gcf 8 , Sa dhg 15 , Sa aeh 8 .所以 SEFGH AEH Scfg DHG bef SABC

13、D 8所以鱼竺2丄SEFGH 36 18【例9】如图所示的四边形的面积等于多少?【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形， 难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三 角形OAB将旋转到三角形OCD的位置.这样，通过旋转后所得到的新 图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形 的面积.因此，原来四边形的面积为12 12 144.（也可以用勾股定理）【例10】 如图所示， ABC中， ABC 90 , AB 3 , BC 5，以AC为一边向 ABC 外作正方形ACDE，中心为O，求O

14、BC的面积.【解析】如图，将OAB沿着O点顺时针旋转90，到达OCF的位置.由于 ABC 90 , AOC 90，所以 OAB OCB 180 .而 OCF OAB , 所以 OCF OCB 180，那么B、C、F三点在一条直线上.由于OB OF , BOF AOC 90，所以BOF是等腰直角三角形，且斜边BF为5 3 8，所以它的面积为82 - 16 .根据面积比例模型，OBC的面积为16 5 10 .8【例11】如图，以正方形的边 AB为斜边在正方形内作直角三角形 ABE ,AEB 90 , AC、BD交于 O .已知 AE、BE的长分别为 3cm、5cm，求三角形OBE的面积.1 / 2

15、3 5 3 12（ cm ）.又因为ABE是直角三角形，根据勾股定理， AB2 AE2 BE2 3 2 52 34 ,所以S ABD那么Sbde1 2 /B2 17（ cm2）.S ABD S ABE S ADE S ABD SafBE 17 12 5 （ Cm ）,所以Sobe2 s bde 25 （ cm2）.【例12】 如下图，六边形 ABCDEF中，AB ED , AF CD , BC EF，且有AB平行 于ED , AF平行于CD，BC平行于EF，对角线FD垂直于BD，已知FD 24 厘米，BD 18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？【例13】如图，三角形 ABC的面

16、积是1 ,BD:DC 1:2 , AD 与 BE 交于点 F .SA ABFBD 1Sa ABFAESa acfDC 2，sCBFEC3份，Sa aefSA EFC3份,所以Sdcef【解析】如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，将DEF平移使得ED与AB重 合，这样EF、BC都重合到图中的AG 了 .这样就组成了一个长方形 BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形 BGFD的面积为24 18 432平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米.E是AC的中点，点D在BC上，且 则四边形DFEC的面积等于 ,【解析】方法一：连接CF,根据燕尾定理，设Sa BDF 1份，

17、则Sa DCF 2份,如图所标5 5ABC12 121 1方法二：连接DE，由题目条件可得到Saabd -Saabc -,3 3I 2 Sa abc 3 .所以则四边形DFEC的面积等于冷.【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC 2DE ,F是DG的中点.阴 影部分的面积是多少平方厘米？【例14】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）.如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD的面积的1 ,且AO 2 , DO 3 ,那么CO的长度3是DO的长度的 倍.【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无 外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型

18、靠拢，从而快速解 决；通过画辅助线来改造不良四边形.看到题目中给出条件SabdSbcd 1:3，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法.又 观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得 到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边 形”，于是可以作AH垂直BD于H , CG垂直BD于G ,面积比转化为高 之比.再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果.请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从 而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题.解法一：T AO：OC S abd ： S bdc 1 3：3，二 OC 2 3 6，二 OC

19、:OD 6:3 2:1 .作 AH BD于H , CG BD于G .【巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4个三角形，其中三个三角形的面 积已知，求：三角形BGC的面积；AG:GC ？【解析】根据蝶形定理，S bgc 1 2 3，那么S bgc 6 ；根据蝶形定理，AG:GC 12:36 1:3 .【例15】如图，平行四边形 ABCD的对角线交于0点，ACEF、OEF、ODF、 BOE的面积依次是 2、4、4和6.求：求厶OCF的面积；求 GCE 的面积.【解析】根据题意可知，ABCD的面积为2 4 4 6 16，那么 BCO和CDO的 面积都是16 2 8，所以AOCF的面积为8 4 4 ；

20、由于ABCO的面积为8, BOE的面积为6,所以 OCE的面积为8 6 2 ,根据蝶形定理EG :FG S coe : S cof 2:4 1: 2 , 所 以S GCE : S GCF EG ,:FG2 ,那么SGCE1 SS CEF2 21 23 为2平方厘米，求长方形ABCD的面积.ABCD的面积是72平方厘米.【例17】如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点.求图中 阴影部分的面积.因为M是AD边上的中点，所以AM : BC 1:2 ,根据梯形蝶形定理可以知 道Sa amg : Sa abg : Sa mcg : Sa bcg 1 ： （1 2） : 2 1: 2:2

21、:4 , 设S AGM 1份，则Sa mcd 1 2 3 份，所以正方形的面积为1 2 2 4 3 12份， 阴影 2 2 4份，所以 阴影：S正方形1: 3 , 所以S阴影1平方厘米.【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点， 三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是 平方厘米.【解析】连接DE ,根据题意可知BE:AD 1:2 ,根据蝶形定理得S弟形（1 2） 9（平方厘米），ecd 3（平方厘米），那么S ABCD 12（平方厘米）.BC:CE 3:2 ,三角形ODE的面积为6平方厘 平方厘米.【解析】连接AC .由于ABCD是平行四边形，

22、 BC:2，所以CE: AD 2:3 ,根据梯形蝶形定理,Scoe : Saoc : Sdoe : Saod 22 : 2 3: 32 4 6 6:9 ,所 以Saoc 6 （平方厘米）,Saod 9 （平方厘米），又S. ABC S ACD 6 9 部分面积为6 15 21（平方厘米）.【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所 示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是 平方厘米.【分析】连接AE .由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么 S OCD OAE .2 根据蝶形疋理，S OCD S OAE S OCE S OAD 4 9 36，故 S OC

23、D 36 , 所以Socd 6（平方厘米）.【解析】连接AE .由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么根据蝶形定理，S OCD S OAE S OCE S OAD 2 8 16，故 S OCD 16 ,所以Socd 4（平方厘米）.在平行四边形ABED中，Sade 1 Sabed 16 8 12 （平方厘米）,所以S AOE S ADE S AOD 12 8根据蝶形定理，阴影部分的面积为8 2 4 4（平方厘米）.【例19】如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中 3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为 平方厘米.【解析】连接DE、CF .四

24、边形EDCF为梯形，所以S eod SFoc ,又根据蝶形定理，S EOD S FOCS EOF S COD 2 8 16，所以Seod 4（平方厘米），Secd 4 8 12（平方厘米）.那么长方形ABCD的面积为12 2 24平方厘米，四边形OFBC的面积为24 5 2 8 9（平方厘米）.【例20】如图，ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交 于K点.已知正方形DEFG的面积48, AK:KB 1:3，贝卩BKD的面积是 多少？【解析】由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形.在 梯形ADBC中，BDK和ACK的面积是相等的.而AK :3，

25、所以ACK 的面积是ABC面积的丄 丄，那么BDK的面积也是 ABC面积的-.13 4 4由于ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么 M是BC的中点，而且AM DE，可见 ABM和ACM的面积都等于正方 形DEFG面积的一半，所以 ABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为 48.那么BDK的面积为48 - 12 .【例21】下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是 AB , BC , CD , DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数 印，那么，（m n）的值等于 n【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便

26、直接求面积，观 察发现两个图中的空白部分面积都比较好求， 所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积.如下图所示，在左图中连接EG .设AG与DE的交点为M .左图中AEGD为长方形，可知 AMD的面积为长方形AEGD面积的-，所以三角形AMD的面积为12 1 1 1 .又左图中四个空白三角形的面积是24 8相等的，所以左图中阴影部分的面积为1 1 4丄.8 2如上图所示，在右图中连接AC、EF .设AF、EC的交点为N . 可知EF / AC且AC 2EF .那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的1 ,所以三角形BEF的面积为12 1 - 1，梯形AEFC的面积为-.4 2 4 8 2 8 83 18 12 2 4在梯形AEFC中，由于EF:AC 1:2，根据梯形蝶形定理，其四部分的面 积比为：12：1 2: 22 1: 4 ,所以三角形EFN的面积为24，那么四边形BENF的面积为1 24 i .而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为 1 1 4.6 3那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为 3:2 3m 3n 2，那E么 m n 3 2 5