小学奥数平面几何五种面积模型Word格式.docx
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3S的对应份数为ab2.
四、相似模型
（一）金字塔模型
二）沙漏模型
①ADAEABAC
^②ADE:
&
ABC
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理：
三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具
/、・在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.
五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）
在三角形ABC中，AD,BE,CF相交于同一点O，那么
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为
三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
典型例题
【例1】如图，正方形ABC啲边长为6，ae1.5，cf2.长方形EFGH勺面
积为
【解析】连接DEDF,则长方形EFG啲面积是三角形DEF面积的二倍.
三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积,
S^def661.5622624.54216.5,所以长方形EFGH
面积为33.
【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？
【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方
形和正方形可以看作特殊的平行四边形）.三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.
证明：
连接AG.（我们通过△ABG把这两个长方形和正方形联系在一起）.
1
T在正方形ABCD中，Saabg丄ABAB边上的高，
2
二Saabg2SABCD（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积
的一半）
同理,
Saabg―Sefgb.
88106.4（厘米）.
H为AD边上任
【例2】长方形ABCD的面积为36cm2,E、F、G为各边中点,意一点，问阴影部分面积是多少？
【解析】解法一：
寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图:
可得：
S
1S
EHB
AHB、
SFHB
CHB
、
SDHG—SDHC
SAHBSCHB
SCHD
36
即SEHB
SBHF
SDHG
二（SAHB
SCHB
SCHD）
3618;
z
SabCD
而
SEHBSbhfSDHGS阴影SEBF
BEBF-（-AB）（-BC）-364.5
2228
SEBF
解法二：
特殊点法.找H的特殊点，把H点与D点重合,
那么图形就可变成右图:
SSSSS1
S阴影SABCDSAEDSBEFSCFD36—
3613.5.
【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P,将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接，求阴影部分面积.
【解析】
（法1）特殊点法.由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，贝S阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的〕和1，所以阴影部分的面积为
46
62（11）15平方厘米.
（法2）连接PA、PC.
由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的1,同理可知
4
左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的丄，所以阴
6
影部分的面积为62（11）15平方厘米.
【例3】如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70,AB8,
AD15，四边形EFGO的面积为.
【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的
面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积.
由于长方形ABCD的面积为158120,所以三角形BOC的面积为120130，所以三角形AOE和DOG的面积之和为120-7020；
44
又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120--30，所以
24
四边形EFGO的面积为302010.
另解：
从整体上来看，四边形EFGO的面积三角形AFC面积三角形BFD面积白色部分的面积，而三角形AFC面积三角形BFD面积为长方形面积的一半，即60,白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部
分的面积，即1207050，所以四边形的面积为605010.
【巩固】如图，长方形ABCD的面积是36,E是AD的三等分点，AE2ED，则阴影部分的面积为
【例4】已知ABC为等边三角形，面积为400,D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积.（丙是三角形
HBC）
【解析】因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN和三
角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为200.
即400s丙200200Samhn，所以SMSAMHN.
S阴影SSs丙Sadf143140043.
【例5】如图，已知CD5,DE7,EF15,FG6，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG的面积是.
G
连接AF,BD.
根据题意可知，CF5715
15
所以，SBEF27SCBF,SBEC
于是：
SADGSCBF65
2827
27；
DG
7
628
12°
21
CBF,
AEG
27
28
12
?
CC
SADG
SCBF
38；
s7S
ADG,°
AED
可得Sadg40.故三角形ADG的面积是40.
【例6】如图在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点，且AD:
AB2:
5,AE:
AC4:
7,SAade16平方厘米，求△ABC的面积.
【解析】连接BE,ade：
SaabeAD:
5（24）:
（54）,
S^ABE:
SAABCAE:
AC4:
7（45）：
（75）,所以SAADE:
SAABC（24）：
（75）,设
Saade8份，则Saabc35份，S^ade16平方厘米，所以1份是2平方厘米，
35份就是70平方厘米，△ABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：
共角三角形的面积比等于对应角（相等角
或互补角）两夹边的乘积之比.
【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？
连接AD.
•/BE3,AE6
ABD話，BDE
/.AB3BE,S.
又VBDDC4,
…S.：
ABC2S.ABD，…S.：
ABC6S.BDE,SL5S?
.
【例7】如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:
AD5:
2,AE:
EC3:
2,S^ade12平方厘米，求△ABC的面积.
Saabe:
S^ABCAE:
AC3:
（32）（35）:
（32）5,
所以SAADE:
SAABC（32）:
5（32）6:
25，设Saade6份，贝S$△abc25份，
Saade12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：
共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比
【例8】如图，平行四边形ABCD,BEAB,CF2CB,GD3DC,HA4AD，平行四边形ABCD的面积是2,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.
连接AC、BD.根据共角定理
•.•在△ABC禾口△BFE中，ABC与FBE互补,
•SAABCABBC111
SafbeBEBF门3•
又SaABC1,所以s△FBE3.
15+3+236.
冋理可彳得Sagcf8,Sadhg15,Saaeh8.
所以SEFGHAEHS^cfgDHGbefSABCD8
所以鱼竺2丄
SEFGH3618
【例9】如图所示的四边形的面积等于多少?
【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接
求面积.
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：
把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三角形OCD的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.
因此，原来四边形的面积为1212144.（也可以用勾股定理）
【例10】如图所示，ABC中，ABC90,AB3,BC5，以AC为一边向ABC外作正方形ACDE，中心为O，求OBC的面积.
【解析】如图，将OAB沿着O点顺时针旋转90，到达OCF的位置.
由于ABC90,AOC90，所以OABOCB180.而OCFOAB,所以OCFOCB180，那么B、C、F三点在一条直线上.
由于OBOF,BOFAOC90，所以BOF是等腰直角三角形，且斜边
BF为538，所以它的面积为82-16.
根据面积比例模型，OBC的面积为16510.
8
【例11】如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE,
AEB90,AC、BD交于O.已知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求
三角形OBE的面积.
1/2\
35312（cm）.
又因为ABE是直角三角形，根据勾股定理，AB2AE2BE2325234,
所以SABD
那么Sbde
12/B217（cm2）.
SABDSABESADESABDSafBE17125（Cm）,
所以Sobe
2sbde2・5（cm2）.
【例12】如下图，六边形ABCDEF中，ABED,AFCD,BCEF，且有AB平行于ED,AF平行于CD，BC平行于EF，对角线FD垂直于BD，已知FD24厘米，BD18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？
【例13】如图，三角形ABC的面积是1,
BD:
DC1:
2,AD与BE交于点F.
SAABF
BD1
SaABF
AE
Saacf
DC2
，s
△CBF
EC
3份，
Saaef
SAEFC
3份,
所以Sdcef
【解析】如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，将DEF平移使得ED与AB重合，这样EF、BC都重合到图中的AG了.这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为
2418432平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米.
E是AC的中点，点D在BC上，且则四边形DFEC的面积等于,
【解析】方法一：
连接CF,根据燕尾定理，
设SaBDF1份，则SaDCF2份,
如图所标
55
ABC
1212
11
方法二：
连接DE，由题目条件可得到Saabd-Saabc-,
33
I2Saabc3.所以则四边形DFEC的面积等于冷.
【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC2DE,F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米？
【例14】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）.如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的1,且AO2,DO3,那么CO的长度
3
是DO的长度的倍.
【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：
⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；
⑵通过画辅助线来改造不良四边形.看到题目中给出条件
SabdSbcd1:
3，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法.又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H,CG垂直BD于G,面积比转化为高之比.再应用结论：
三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出
结果.请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题.
解法一：
TAO：
OCSabd：
Sbdc13：
3，二OC236，二OC:
OD6:
32:
1.
作AHBD于H,CGBD于G.
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，
求：
⑴三角形BGC的面积；
⑵AG:
GC？
【解析】⑴根据蝶形定理，Sbgc123，那么Sbgc6；
⑵根据蝶形定理，AG:
GC12:
361:
3.
【例15】如图，平行四边形ABCD的对角线交于0点，ACEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、4、4和6.求：
⑴求厶OCF的面积；
⑵求△GCE的面积.
【解析】⑴根据题意可知，ABCD的面积为244616，那么△BCO和CDO的面积都是1628，所以AOCF的面积为844；
⑵由于ABCO的面积为8,△BOE的面积为6,所以△OCE的面积为
862,
根据
蝶
形定理
EG:
FGScoe:
Scof2:
41:
2,所以
SGCE:
SGCFEG,
:
FG
"
2,
那么S
GCE
1S
SCEF
22
12
3•
为2平方厘米，求长方形ABCD的面积.
ABCD的面积是72平方厘米.
【例17】
如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点.求图中阴影部分的面积.
因为M是AD边上的中点，所以AM:
BC1:
2,根据梯形蝶形定理可以知道
Saamg:
Saabg:
Samcg:
Sabcg1：
（12）:
21:
2:
2:
4,设S△AGM1份，则
Samcd123份，所以正方形的面积为1224312份，°
阴影224份，所以°
阴影：
S正方形1:
3,所以S阴影1平方厘米.
【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米.
【解析】连接DE,根据题意可知BE:
AD1:
2,根据蝶形定理得
S弟形（12）9（平方厘米），ecd3（平方厘米），那么
SABCD12（平方厘米）.
BC:
CE3:
2,三角形ODE的面积为6平方厘
平方厘米.
【解析】连接AC.
由于ABCD是平行四边形，BC:
2，所以CE:
AD2:
3,
根据梯形蝶形定理,Scoe:
Saoc:
Sdoe:
Saod22:
23:
32466:
9,所以Saoc6（平方厘米）,Saod9（平方厘米），又
S'
.ABCSACD69部分面积为61521（平方厘
米）.'
【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：
平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米.
【分析】连接AE.由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么SOCDOAE.
2根据蝶形疋理，SOCDSOAESOCESOAD4936，故SOCD36,所以Socd6（平方厘米）.
【解析】连接AE.由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么
根据蝶形定理，SOCDSOAESOCESOAD2816，故SOCD16,
所以Socd4（平方厘米）.
在平行四边形ABED中，Sade1Sabed16812（平方厘米）,
所以SAOESADESAOD128
根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244（平方厘米）.
【例19】如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别
为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为
平方厘米.
【解析】连接DE、CF.四边形EDCF为梯形，所以SeodSFoc,又根据蝶形定理，
SEODSFOC
SEOFSCOD2816，所以
Seod4（平方厘米），Secd4812（平方厘米）.那么长方形ABCD的面
积为12224平方厘米，四边形OFBC的面积为245289（平方厘
米）.
【例20】如图，ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点.已知正方形DEFG的面积48,AK:
KB1:
3，贝卩BKD的面积是多少？
【解析】由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形.在梯形ADBC中，BDK和ACK的面积是相等的.而AK:
3，所以ACK的面积是ABC面积的丄丄，那么BDK的面积也是ABC面积的-.
1344
由于ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且AMDE，可见ABM和ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以ABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为48.
那么BDK的面积为48-12.
【例21】下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB,BC,CD,DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分
的面积之比是最简分数印，那么，（mn）的值等于
n
【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部
分的面积，再求阴影部分的面积.
如下图所示，在左图中连接EG.设AG与DE的交点为M.
左图中AEGD为长方形，可知AMD的面积为长方形AEGD面积的-，所
以三角形AMD的面积为12111.又左图中四个空白三角形的面积是
248
相等的，所以左图中阴影部分的面积为114丄.
82
如上图所示，在右图中连接AC、EF.设AF、EC的交点为N.可知EF//AC且AC2EF.那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的
1,所以三角形BEF的面积为121-1，梯形AEFC的面积为---.
4248288
31
81224
在梯形AEFC中，由于EF:
AC1:
2，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：
12：
12:
221:
4,所以三角形EFN的面积为
24，那么四边形BENF的面积为124i.而右图中四个空
白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为114〕.
63
那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为3:
23
m3
n2，
那E么mn325
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