第二章公平的席位分配.docx

1、第二章 公平的席位分配第二章 公平的席位分配2.1 公平的席位分配问题：三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。若增加为21席，又如何分配。比例加惯例对丙系公平吗？系别 学生 比例 20席的分配 21席的分配 人数 （%） 比例 结果 比例 结果 甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11 乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7 丙 34 17.0 3.4 4 3.570 3总和 200 100.0 20.0 20 21.000 2

2、1“公平”分配方法衡量公平分配的数量指标人数 席位 A方 p1 n1 当p1/n1= p2/n2 时，分配公平B方 p2 n2 若 p1/n1 p2/n2 ，对A不公平p1/n1 p2/n2 对A的绝对不公平度p1=150, n1=10, p1/n1=15p2=100, n2=10, p2/n2=10p1/n1 p2/n2=5p1=1050, n1=10, p1/n1=105p2=1000, n2=10, p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5虽二者的绝对不公平度相同, 但后者对A的不公平程度已大大降低!“公平”分配方法: 将绝对度量改为相对度量若 p1/n1 p2/n2 ，定义 对A的

3、相对不公平度类似地定义 rB(n1,n2)公平分配方案应使 rA , rB 尽量小将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B, 不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ，即对A不公平应讨论以下几种情况: 初始 p1/n1 p2/n2 1）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，则这席应给 A2）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，应计算rA(n1, n2+1)问：p1/n1p2/(n2+1) 是否会出现？ 否！若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 则这席应给 B当 rB(n1+1, n2) 车身的平

4、均长度15英尺(=4.6米)（3）“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同反应距离 刹车距离 反应时间 车速制动距离司机状况、制动系统灵活性为常数制动器作用力、车重、车速、道路、气候 （道路、气候为常数）最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。 假 设 与 建 模 1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和2. 反应距离 d1与车速 v成正比，t1为反应时间3. 刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变;且F与车的质量m成正比F d2= m v2/2 F m 推出模 型 参数估计 反应时间 t1的经验估计值为0.75秒 利用交通部门提供的一组实际数据拟

5、合 k车速(英里/小时) (英尺/秒)实际刹车距离（英尺）计算刹车距离（英尺）刹车时间（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3最小二乘法 k=0.06计算刹车距离、刹车时间模 型车速(英里/小时)刹车时间（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3“2秒准则”应修正为 “t 秒准则”车速（英里/小

6、时）010104040606080t（秒）12342.4 实物交换问题：甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。用x,y分别表示甲(乙)占有X,Y的数量。设交换前甲占有X的数量为x0, 乙占有Y的数量为y0, 作图： 若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y)，都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有(x0 -x, y0 -y) 分析与建模 甲的无差别曲线：如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2)具有同样的满意程度，即p1, p2对甲是无差别的，将所有与p1, p2无差别的点连接起来，得到一条无差别曲线MN, 线上各点的满意

7、度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度，比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。甲的无差别曲线族记作：f(x,y)=c1，c1满意度，（f 等满意度曲线）无差别曲线族的性质：单调减(x增加, y减小)；下凸(凸向原点)；互不相交。在p1点占有x少、y多，宁愿以较多的 y换取较少的 x;在p2点占有y少、x多，就要以较多的 x换取较少的 y。乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同性质（形状可以不同）双方的交换路径：甲的无差别曲线族 f=c1；乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标系xOy, 且反向）两族曲线切点连线记作AB，双方满意的交

8、换方案必在AB（交换路径）上，因为在AB外的任一点p, (双方)满意度低于AB上的点p。交换方案的进一步确定交换方案 交换后甲的占有量 (x,y)0xx0, 0yy0矩形内任一点 交换路径AB AB与CD的交点p双方的无差别曲线族 等价交换原则X,Y用货币衡量其价值，设交换前x0,y0价值相同，则等价交换原则下交换路径为(x0,0), (0,y0) 两点的连线CD设X单价a, Y单价b, 则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0)2.5 启帆远航帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B点，确定起航时的航向，以及帆的朝向模型

9、分析： 风(通过帆)对船的推力w 风对船体部分的阻力p推力w的分解：w=w1+w2 ，w1=f1+f2 ，f1航行方向的推力阻力p的分解：p=p1+p2 ，p1 航行方向的阻力模型假设： w与帆迎风面积s1成正比，p与船迎风面积s2成正比，比例系数相同且 s1远大于 s2， w2与帆面平行，可忽略 f2, p2垂直于船身，可由舵抵消 航向速度v与力f=f1-p1成正比模型建立：w=ks1, p=ks2w1=wsin(-)f1=w1sin=wsin sin(-)p1=pcosv=k1(f1-p1)船在正东方向速度分量v1=vcosv1=vcos= k1(f1-p1)cosf1=w1sin=wsi

10、n sin(-) p1=pcos 模型求解：求, ,使 v1最大1) 当固定时求使f1最大f1=wcos(-2)-cos/2 = /2 时 f1=w(1-cos)/2最大2) 令 = /2, v1=k1 w(1-cos)/2 -pcoscos ，求使v1最大（w=ks1, p=ks2）v1=k1 w(1-cos)/2 -pcoscos =( k1w/2)1-(1+2p/w)coscos w=ks1, p=ks2 ，记 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2 v1最大s1 s2 1 t 2 1/4cos 1/2 60 75 备注： 只讨论起航时的航向，是静态模型 航行过程中终点B将不在正东方

11、练习： 学校共1000名学生，135人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： 1.按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 2.例中的Q值方法。 3. dHondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用正整数相除，其商数如下表： 12345A235117.578.358.75B333166.511183.25C43221614410886.4将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。