rA,rB的定义
该席给A
否则,该席给B
定义该席给Q值较大的一方
推广到m方分配席位，计算
该席给Q值最大的一方：
Q值方法
三系用Q值方法重新分配21个席位
按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
甲系：
p1=103,n1=10
乙系：
p2=63,n2=6
丙系：
p3=34,n3=3
用Q值方法分配第20席和第21席
第20席
Q1最大，第20席给甲系
第21席同上
Q3最大，第21席给丙系
Q值方法分配结果：
甲系11席，乙系6席，丙系4席，公平吗？
进一步的讨论
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？
席位分配的理想化准则
已知:
m方人数分别为p1,p2,…,pm,记总人数为P=p1+p2+…+pm,待分配的总席位为N。
设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,…,nm（自然应有n1+n2+…+nm=N），
ni应是N和p1,…,pm的函数，即ni=ni（N,p1,…,pm）
记qi=Npi/P,i=1,2,…,m,若qi均为整数，显然应ni=qi
qi=Npi/P不全为整数时，ni应满足的准则：
记[qi]–=floor（qi）~向qi方向取整；[qi]+=ceil（qi）~向qi方向取整.
1）[qi]–ni[qi]+（i=1,2,…,m）,即ni必取[qi]–,[qi]+之一
2）ni（N,p1,…,pm）ni（N+1,p1,…,pm）（i=1,2,…,m）即当总席位增加时，ni不应减少
“比例加惯例”方法满足1），但不满足2）
Q值方法满足2）,但不满足1）。
令人遗憾！
2.2录像机计数器的用途
问题：
经试验，一盘标明180分钟的录像带从头走到尾，时间用了184分，计数器读数从0000变到6061。
在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为
4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？
思考：
计数器读数是均匀增长的吗？
要求：
不仅回答问题，而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系。
观察：
计数器读数增长越来越慢！
问题分析：
录像机计数器的工作原理
●模型假设
•录像带的运动速度是常数v；
•计数器读数n与右轮转数m成正比，记m=kn；
•录像带厚度（加两圈间空隙）为常数w；
•空右轮盘半径记作r；
•时间t=0时读数n=0.
建模目的：
建立时间t与读数n之间的关系（设v,k,w,r为已知参数）
●模型建立
建立t与n的函数关系有多种方法
1.右轮盘转第i圈的半径为r+wi,m圈的总长度
等于录像带在时间t内移动的长度vt,所以
模型建立
2.考察右轮盘面积的变化，等于录像带厚度乘以转过的长度，即
3.考察t到t+dt录像带在右轮盘缠绕的长度，有
推出：
思考：
3种建模方法得到同一结果
但仔细推算会发现稍有差别，请解释。
思考：
模型中有待定参数
一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。
●参数估计
另一种确定参数的方法——测试分析
将模型改记作只需估计a,b
理论上，已知t=184,n=6061,再有一组（t,n）数据即可
实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合
现有一批测试数据：
t
0
20
40
60
80
n
0000
1141
2019
2760
3413
t
100
120
140
160
184
n
4004
4545
5051
5525
6061
用最小二乘法可得
模型检验
应该另外测试一批数据检验模型：
模型应用
回答提出的问题：
由模型算得n=4450时t=116.4分，
剩下的录像带能录184-116.4=67.6分钟的节目。
揭示了“t与n之间呈二次函数关系”这一普遍规律，
当录像带的状态改变时，只需重新估计a,b即可。
2.3汽车刹车距离
背景与问题
美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：
•正常驾驶条件下,车速每增10英里/小时，后面与前车的距离应增一个车身的长度。
•实现这个规则的简便办法是“2秒准则”：
•后车司机从前车经过某一标志开始默数判断“2秒准则”与“车身”规则是否一样；
•2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何
建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。
问题分析
常识：
（1）刹车距离与车速有关
（2）10英里/小时（16公里/小时）车速下2秒钟行驶29英尺（9米）>>车身的平均长度15英尺（=4.6米）
（3）“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同
反应距离
刹车距离反应时间车速
制动距离
司机状况、制动系统灵活性为常数
制动器作用力、车重、车速、道路、气候……（道路、气候为常数）
最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。
●假设与建模
1.刹车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和
2.反应距离d1与车速v成正比，t1为反应时间
3.刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变;且F与车的质量m成正比
Fd2=mv2/2Fm推出
模型
●参数估计
•反应时间t1的经验估计值为0.75秒
•利用交通部门提供的一组实际数据拟合k
车速
（英里/小时）（英尺/秒）
实际刹车距离（英尺）
计算刹车距离（英尺）
刹车时间
（秒）
20
29.3
42（44）
39.0
1.5
30
44.0
73.5（78）
76.6
1.8
40
58.7
116（124）
126.2
2.1
50
73.3
173（186）
187.8
2.5
60
88.0
248（268）
261.4
3.0
70
102.7
343（372）
347.1
3.6
80
117.3
464（506）
444.8
4.3
最小二乘法k=0.06计算刹车距离、刹车时间
模型
车速
（英里/小时）
刹车时间
（秒）
20
1.5
30
1.8
40
2.1
50
2.5
60
3.0
70
3.6
80
4.3
“2秒准则”应修正为“t秒准则”
车速（英里/小时）
0~10
10~40
40~60
60~80
t（秒）
1
2
3
4
2.4实物交换
问题：
甲有物品X,乙有物品Y,双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。
研究实物交换方案。
用x,y分别表示甲（乙）占有X,Y的数量。
设交换前甲占有X的数量为x0,乙占有Y的数量为y0,作图：
若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点p（x,y），都是一种交换方案：
甲占有（x,y），乙占有（x0-x,y0-y）
分析与建模甲的无差别曲线：
如果甲占有（x1,y1）与占有（x2,y2）具有同样的满意程度，即p1,p2对甲是无差别的，将所有与p1,p2无差别的点连接起来，得到一条无差别曲线MN,
线上各点的满意度相同,线的形状反映对X,Y的偏爱程度，比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上。
于是形成一族无差别曲线（无数条）。
甲的无差别曲线族记作：
f（x,y）=c1，c1~满意度，（f~等满意度曲线）
无差别曲线族的性质：
单调减（x增加,y减小）；下凸（凸向原点）；互不相交。
在p1点占有x少、y多，宁愿以较多的y换取较少的x;
在p2点占有y少、x多，就要以较多的x换取较少的y。
乙的无差别曲线族g（x,y）=c2具有相同性质（形状可以不同）
双方的交换路径：
甲的无差别曲线族f=c1；
乙的无差别曲线族g=c2（坐标系x’O’y’,且反向）
两族曲线切点连线记作AB，双方满意的交换方案必在AB（交换路径）上，因为在AB外的任一点p’,（双方）满意度低于AB上的点p。
交换方案的进一步确定
交换方案~交换后甲的占有量（x,y）
0xx0,0yy0矩形内任一点交换路径ABAB与CD的交点p
双方的无差别曲线族等价交换原则
X,Y用货币衡量其价值，设交换前x0,y0价值相同，则等价交换原则下交换路径为（x0,0）,（0,y0）两点的连线CD
设X单价a,Y单价b,则等价交换下ax+by=s（s=ax0=by0）
2.5启帆远航
帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向
简化问题：
海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B点，确定起航时的航向，以及帆的朝向
模型分析：
•风（通过帆）对船的推力w
•风对船体部分的阻力p
推力w的分解：
w=w1+w2，w1=f1+f2，f1~航行方向的推力
阻力p的分解：
p=p1+p2，p1~航行方向的阻力
模型假设：
•w与帆迎风面积s1成正比，p与船迎风面积s2成正比，比例系数相同且s1远大于s2，
•w2与帆面平行，可忽略
•f2,p2垂直于船身，可由舵抵消
•航向速度v与力f=f1-p1成正比
模型建立：
w=ks1,p=ks2
w1=wsin（-）
f1=w1sin=wsinsin（-）
p1=pcos
v=k1（f1-p1）
船在正东方向速度分量v1=vcos
v1=vcos=k1（f1-p1）cos
f1=w1sin=wsinsin（-）p1=pcos
●模型求解：
求,,使v1最大
1）当固定时求使f1最大
f1=w[cos（-2）-cos]/2=/2时f1=w（1-cos）/2最大
2）令=/2,v1=k1[w（1-cos）/2-pcos]cos，求使v1最大（w=ks1,p=ks2）
v1=k1[w（1-cos）/2-pcos]cos=（k1w/2）[1-（1+2p/w）cos]cos
w=ks1,p=ks2，记t=1+2s2/s1,k2=k1w/2
v1最大
s1>>s21备注：
•只讨论起航时的航向，是静态模型
•航行过程中终点B将不在正东方
练习：
学校共1000名学生，135人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。
学生们要组织一个10人委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
1.按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
2.例中的Q值方法。
3.d‘Hondt方法：
将A、B、C各宿舍的人数用正整数相除，其商数如下表：
1
2
3
4
5
…
A
235
117.5
78.3
58.75
…
B
333
166.5
111
83.25
…
C
432
216
144
108
86.4
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。
你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。
将3种方法两次分配的结果列表比较。
升级会员 