《微积分》习题6.docx

1、微积分习题6微积分习题6习 题 六 1根据定积分的几何意义说明下列各式的正确性 解：该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，对称性可知正确 该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且在(?2 , 2 )范围内对称，所以是正确的 该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且关于原点对称，所以正确 原式?2?2?0cosxdx?0?2?2(x2?1)dx?21?(x022?1)dx ?xdx?0?3?111?12xdx?4?xdx 0?1?1xdx 等式左边的定积分的几何意义是右边图形阴影部分面积的代数和的2倍，且又因为阴影部分在(?1 , 1)范围内关于轴对称，所以等

2、式两边相等 2不计算积分，比较下列积分值的大小 解：定积分的比较性可知在(0 , 1)范围内x2?x3，所以前者大于后者 定积分的比较性可知在(1 , 3)范围内x2?x3，所以前者小于后者 定积分的比较性可知在(3 , 4)范围内lnx?(lnx)2，所以前者小于后者a?1 定积分的比较性可知在(0 , ）范围sinx?x，所以前者小于后者 2?xdx与?xdx ?xdx与?xdx 232300111133?43lnxdx与?(lnx)dx ?234?20sinxdx与?20xdx ? 3用定积分性质估计下列积分值 解：因为e?x在0 , 1范围内的最大值为1，最小值为e?1 所以定积分的估

3、值定理可知： 2?10e-x2dx?5?4(1?sin2x)dx4?1x51?x?0dx?20sinxdx x?10e?1dx?110e?xdx?22?ldx 01?e?1?0e?xdx?1 因为1?sin2x在? , 5?2的最大值为2，最小值为1。 442所以定积分的估值定理可知：?5?4ldx?5?44?5?4(1?sin2x)dx?4?5?42dx 4?(1?sin2x)dx?2? 4设f(x)?4x51?x x5则f (x)?令5x1?x?421?x?x(10?9x)1?x21?x(1?x) f (x)?0 则x4(10?9x)?0 , 1?x?0 解得：x?0 ,x?所以所以10

4、9f(x)在(0 , ?)上单调递增 f(x)在0 , 1的最小值为0，最大值是2 2所以定积分的估值定理可知： ?100dx?1x51?xx51?x0dx?102dx 2?0?10dx?22 图中易知：AB?ADAB 其中AB?sinx，AD?tanx，AC?x 即：sinx?x?tanx 亦得到：1?0?x?x1?sinxcosx ?2，从中cosx?sinx?1 x定积分性质有： ?20cosxdx?20sinxdx?x?201?dx ?1?2?sinx?dx?x2 1 A y x 4利用定积分的几何意义计算下列积分 x 0 B C D 解：该定积分的几何意义是以原点为圆心2为半径的一个

5、圆面积的一半，且在x轴的上方 ?2?22?x2dx ?21(1?2x?x2)dx 所以原式?R2 ?12 该定积分的几何意义是以(1 , 1)为圆心，以1为半径的一个圆面积的一半且在x轴的上方所以原式?R2? 5求下列函数的导数 f(x)1212?x2?1te?t2dt f(x)?0exxln(1?t2)dt f(x)? ?x3xedtf(x)?t2?(tx3?x3)sintdt 解：设te?tdt?g(t) ?22x则f(x)?g(e)?g(x2)?g(?1)令x2?m ?1f (x)?g (m) m ?x2e?x2x?2x3e?x44 设ln(1?t2)dt?g(t) ?则f(x)?g(e

6、x)?g(x)令ex?m f (x)? g (m)m ?g (x)?exln(x?e2x)?ln(x?x2) 设etdt?g(t) ?2则f(x)?g(x3)?g(x)令x3?m , x?n 6f (x)?g (m)m ?g (n)n ?ex3x2?ex12x 设(t3?x3)sint?g(t) ?则f(x)?g(x)?g(0) f (x)?g (x)?g (0)?0 6求下列极限 lim1x?0x3?x1xsint2dtlim2arctantdt 00x?0x?x?0lim1x3?0(x1?t2?1?t)dt2limx?0?1?x2?1xln(1?t)dt0 lim1?1x(1?sin2t)

7、tdtlntdt1?t1 lim?x x?0x01?xt2xlim?edt? ?x20?t2x?dtxlim?xe?0?0x?sinx?arctanx 解：?lim1x?0x3?x0t2dt ?lim113x?0x3?3tdt ?13 ?lim1xx?0x2?0tdt ?xlim11?0x2 2x2x0 ?12 ?1xxlim?0x3?(1?tan2t?1?sin20t)dt ?lim1xx?0x3?0(1cosx?cosx)dt ?lim1?xx?0x30tan x sin x dt ?lim1x?0x3?x0x2dt ?xlim1?0x3 13t3x0 x?1(x?1)21xxlim?x?

8、(t?t2)et2?x2dt0 ? ?lim1?x2?113x-?0?x 0ln(1?t)dt1?x2?1?limx-?0?x 0ln(1?t)d(1?t)1?x2?1?0 ?limx?0?(ln?1)1lim?x?0xx?x01(1?sin2t)tdt ?lim?01(1?sin2t)tx?0dt 1x洛必达法则lim(1?sinx) x?0?lim(1?2x)x?01?2 2x?e2 lntdt1?t1limx?1(x?1)2?x lnx?lim1?xx?12x?2 11lnx1x?1?lim?limx?12x2?12x?12x41 1?lim?x?lim1x2?lim?x2x?ln(ed

9、t?e?0?t22x?x0edt)xt22 ?ex?xt?ln?0edt?e1x2?x2?e limx?(arctant)dt 20x1?x2?x0x?x?(limarctan)2dtlim1?x2 ?2?x?4lim1?x2?0 ?x?lim1x?x0(t?t2)et2?x2dt ?lim?x0(t?t2)etx?ex22x?dt 洛必达法则lim (x?x2)ex22x?ex(1?2x)2?1 27设F(x)在a , b上连续，且f(x)?0 F(x)?xaf(t)dt?xb1dt f(t)求证：F (x)?2； F (x)在a , b内有且仅有一个实根 解：证明： 设f(t)dt?g(t

10、) ?1dt?h(t) f(t)F(x)?g(x)?g(a)?h(x)?h(b)?F (x)?g (x)-g (a)?h (x)-h (b)?f(t)?1f(t) 又因为f(t)?0 , ?F (x)?2 因为F(x)在a , b上单调增加，又因为F(a)?ab1de?f(t)?ba1de?0 f(t)F(b)?baf(t)dt?0 又因为F(x)在区间a , b上连续 所以在区间a , b内紧有一个实根 8设f(x)为连续函数，且存在常数a满足 ex-1?x?axf(t)dt 求 f(x)及常数a 解：设f(e)de?g(t) ?则ex?1?x?g(a)?g(x) 对等式两边求导，得： ex

11、?1?x?g (a)?g (x)?f(x) 所以所以f(x)?1?ex?1 ?axf(t)dt?axex?1dx?x?ex?1a?a?ea?1?ex?1?x x?1所以a?1 9设 解： Q (t)?f(t) , P (t)?Q(t)x?(x?t)f(t)dt?1?cosx，说明?0x?20f(x)dx?1 ?(x?t)f(t)dt0?tf(t)dt?xQ(x)?Q(0)?td(Q(t) ?xQ(x)?Q(0)?tdQ(t)?x?xQ(x)?Q(0)?tQ(t)?Q(t)dt0?xQ(x)?Q(0)?0x0x0x0x?Q(x)dt?1?cosx0x即 P(x)-P(0)?1-cosx?Q(x)

12、?sinx?f(x)?cosx? ?2?f(x)dx?sinx02?10 10用牛顿-莱布尼茨公式计算下列积分 ?8dx1x?e?x)dx13x?(e?12?12arcsinx2dx 21?x?0cosxdx?2xdx ?1?ex2?lnx2d31xx ?tanxdx62?4?x?1?d1?x?x ?21?2?sindx ?1?sin2xdx 00?3max1 , x2dx ?1 解：?8dx2x?32x381?9132 ?1(ex?e?x)dx?(ex?e?x)1?1?1?0 ?e2(lnx)2e2(lnx)2d(lnx)?1e21xdx?(lnx)313122?12arcsinxdx?21

13、?x2?12arcsinxdarcsinx 2?122arcsin2x21?2?21?2(16?36) s3）?e2(lnx)21xdx7）?1dx?14?x2?11）?3tan2xdx6?15）?xcosx?sinx?2dx4(xsinx)28）?2dx04?x212）?x0cosxdx?2 cosxdx?cosxdx?sinx2?sinxx?2 x0022?2?11xdx?20?1?xdx?20xdx?1221205x?x? 202?12?dx4?x?1?arcsinx1?2?13 ?2dx4?x20e?1x2?arctg? 22081x2?lnx2dx?x?xdx?1ee121lnx1e

14、dx?x2?2x21?e1lnxdlnx ?e1121(e?1)?2(lnx)2?(e2?3) 1222?tanxdx?lncosx3?3?61ln3 26?3tanxdx?3626?1cosx2?ldx?3(sec2x?1)dx 6?2ln2?1 ?(3?3)?(3?) 36?442?3?36 1dx x?1(x?1x)2dx?1x?2x?1dx?x?411?2x?4?(x?44?lnx 1?2ln2?1 ?20?111?sinxdx?6(?sinx)dx?2(sinx?)dx 2202?611?(?cosx?x)26?(x?cosx)2?026?3?1? ?12 ?x?x01?sin2xd

15、x?x0sinx?cosxdx?40(cosx?sinx)dx?x4(sinx?cosx)dx ?(sinx?cosx)4?(?cosx?sinx)x?22x04 ?2xcosx?sinx(xsinx)2?1(x sinx)2d(xsinx)?12?42?2x sinx?4dx?244? ?3?1max1 , x2dx?1?1ldx?31x2dx?x1?1?x232?10313 11设f(x)? 解：设?t(l?t)e0x?2tdt，问x取何值时，f(x)取极大值或极小值 ?t(t?l)e-2tde?g(t) f(x)?g(x)?g(e) 则所以因为所以f (x)?g (x)?x(x?1)e?

16、2x?x(x?1)e?2x f (x)在(? ,0)f(x)在，(?1 , ? ) , (-1 , ?)上大于0，在(0 , 1)内小于0 (? , 0) , (1 ,?)上单调递增，在(0 , 1)内单调递增 所以当x?0时，f(x)取极大值，x?1时，f(x)取极小值。 12设 ?I1?2?sinx1?x2cos2xdx2?I2?2?(sinx?cosx)dx 2?I3?2(sin5x?cosx)dx?2比较I1 ，I2 ，I3的大小 解： ?I1?2sinx?21?x2cos2xdx ?0 ?I2? ?2?(sinx?cosx)dx2 ?2 ?I3? ?2?(sin5x?cosx)dx2

17、 ?2 ?cosxdx2 ?2?cosxdx?02 ?2?cosxdx?02 ?I3?I1?I2 13用换元积分法计算下列各定积分 ?sinx1?cos2xd0x?ln3dx01?ex?1dx 0(1?x2)3?2x2?11xdx3）?e2dx1?ln 1x?ax2a2?x2dx0?3dxx1?x21 ?1xexe?eee?x0dx ?40tan(lncosx)dx ?e6e223lnx?2dxxdxx2?dxx(1?lnx)lnx?2?sin9xdx 0x?12?1x?3?2x?5?1x2dx 解：?x0?11?cos2xdcosx x?arctan(cosx) 0? 2令1?ex?t 则x

18、?ln(t2?1) x?ln3，时t?2；x?0，时t?2 ?2?221t2?1dt ?lnx?12 x?12?ln3?2ln(2?1) =?e2dxx1?lnx1 2?0xsinxdx?xsinxdx?21?lnxe2 1?23?2 ?x31?322x12?03?dx(1?322x) ?x3(1?x2)1302?12dx 3(1?x2)102?2 2?21x2?1dx x212 x1?x2?1?arccos1?3?x8?3 aa4xaarcsin 8a0?(2x2?a2)a2?x2?0?0?16a4?16a4 令x?tant，则积分区域为3?到 43?dx1?x2?1?34(sect)2?d

19、ttant?sect ?34?dt?dcost?3sint1?cos2t? 41d(?cost)13dcost?3?21?cost21?cost?4?4?1313ln(1?cost)?ln(1?cost)?2?24411?ln(2?2)?ln3(2?2)221?ln(2?2)?ln62 令ex?t ?1exex?e?xe0dx?e11dt1tt?tt?1?edt?lnx?x2?1? ?1t2?11e?e2?11?2?ln 令t?lnx则x?et ?e6e3lnx?2dx?x3?613t?2dt62?(3t?2)219?14 令lnx?t,则积分上下限变为与1. 12?eedxx(1?lnx)l

20、nx?112dt(1?t)t 令t?sin2x积分上下限为:, 42?22sinxdsinx1?sin2x?sinx?244?2dsinx1?sin2x?ln(sinx?sin2x?12? 4?ln1?22?2322?ln2?21?3?2?0sin9xdx ?(cosx?4cos?6cos?4cos02(1?cos2x)4dcosx86420x?1)dcosx ?0令x2?sec3a则dx?seca?tana ?22dxx2x2?1?34?seca?tana?dasec2?tana? 3?23?3cosada?sina?244?令x?1?a ?1x?32?1x2?2x?5dx?2a?0a2?4

21、da?1d(a2?4)0a2?4?222?20a2?4da?122ln2?20a2?4da ?12ln2?arctana220?12ln2?(?4?0)?12ln2?14?14用分部积分法计算下列各定积分 ?10x2e?xdx?1(x?x)e?xdx?1?e(lnx)3dxelnxdx1?1e?10xarctanxdx ?e2lnx(x?1)x e2d?ln2?x2dxsinxdx 0x3ex?2?0?12x1?x2arcsinxdx ?e2lnx0e?1xdx 解：?1x2de?x 0?(x2e?x11?x0?0e2xdx ?(e?1?12xdx?x)0 ?(e?1?2e?1?2e?x10)

22、 ?(3e?1?2e?1?2) ?2?5e?1 ?0()?1x?xexdx?1(x?x)e?x0dx ?12xde?x 03）?e?1xln(1?x)dx 0?6）?2xsinxdx 09）?1e2x(4x?3)dx 0?12）?e2sin(lnx)xdx12=1210?e?10ln(x?1)dx2 ?(x2ln(x?1)?x(lnx)3? ?e?e12e?1?0?e?10x21dx x?1e1?e11x3lnxdx x?3lnxdx 1 ?e?3(xlnx?e1?e11xdx x ?e?3e?(e?1)?e?3 1?(xlnx1?e?1e11ee1x dx)?xlnx?1x?e11xdx x

23、?(1?)?e?(e?1) ?1?1 ?2 ?201e?xdcosx ?(xcosx?20?20cosxdx) ?sinx? x0?1 1?2?10arctanxdx2 111?(x2arctanx?0211?(x?024?0x211?x2dx) dx) ?11?x211?1?arctanx 024?4?12e2 1(x?1)?elnxd ?lnx1e2x?1e2?ln (x?1)exee1?e?ln(1?e)? 2x?12?(4x?3)de01 ?(4x?3)e3x?12121210?e012x?4dx ?(7e2?3?4e2x)?7e2?3?2(e2?1)?(5e2?1) ?1121210

24、2?ln20x2de?x2 ?x2?e?x122ln20?ln202xe?xdx 2 ?1ln2e?ln2?2?ln202de?x 2 ?ln2?e?x1122ln20 ?ln2?e?ln2?1?ln2?(ln2?1) ?141122112212?xsinxdx?0?2?xsinxdx ?(xcosx?0?0cosxdx)?(xcosx2?2?cosxdx) ?4? ?e2sinlnxx2?1dx?20sinlnxd1x1?sinlnxe2?x11?sinlnxe2?x1?12111?coslnx?dxxx1x?2coslnx?d? 11sinlnx?dxxx11?sinlnxe2?cosln

25、xe2?xx11?111?(sinlnx?coslnx)e22xx1?11(1?)2e2?21?2x011?x2arcsinxdx3?102?(?1)?arcsinx?d(1?x2)233?12?(1?x2)2?arcsinx?03?103(1?x2)21?(1?x2)?2?dx? ?23?10(1?x2)dx?49?e2lnxxdxe?1 ?2?e2e?1lnx1?dx2?2?lnx1?x2e2e?0e0e?112?2?e2e?01?x21x2121?dxx1?2lnx x2e2?2?e0e?11?dxx?2 x?12dx?4e?2e01?8?6e2?x?dx?2e?e0e?1 15利用函数

26、奇偶性计算下列积分 解：设f(x)?sin2xln(x?1?x2) 则f(?x)?sin2xln(?x?1?x2) f(?x)?f(x)?sin2xln(?x?1?x2)?ln(x?x?2) ?sin2xln(1?x2?x2)?0 ?3?22?sinxln(x?1?x)dx3?112?x2?1(11?)dxcosxarccosxdx ?11?ex21?所以因为f(x)为奇函数 f(x)）在上连续且为奇函数，所以原式等于0； 设f(x)?12?x2(1?) 1?ex21(11?) 21?f(?x)?x2?x21?e ?f(x)?f(?x)?所以12?x2(11?e?x?11?ex?1)?0 f(

27、x)为奇函数且f(x)在上连续。 所以原式等于0； 设因为?4?5(?5)dx?3?4(?4)dx?4dx 45f(?x)?cosxarccosx?f(x) ?xdx?xdx?xlnxdx 0111ee?x2?x2?x2(lnx?) ?(e2?1)?e2?(?) ?e2?e2?e2? ?14141212121414121212121212121102e1121e21 ?10(x3?3x2?2x)dx?21(x3?3x2?2x)dx ?(x4?x3?x2)?(x4?x3?x2 ?1?1?(4?8?4)?(?1?1) ?12141414101421 ?5?(sinx?cos)4?(sinx?cos

28、x)4?04 ?42 ?(y3?36y)?48 25求抛物线y?x2?4x?3及其在点(0 , 3)和点(3 , 0)处两条切线所围成图形的面积 解：抛物线g?x2?4x?3及两点处的切线所围的图形如后图： 113360y 1 0 2 3 x -3 ?t(0,3)处切线的斜率k1?2x?4x?0?4切线方程为：y?4x?3 ?t(3,0)处切线的斜率k2?2x?412x?3?2切线方程为：y?2x?6 则阴影部分面积S?04x?3?(?x2?4x?3)dx?312?2x?6?(?x2?4x?3)?dx ?120x?6dx?2?312(x2?6x?9)dx ?334 26过原点作曲线y?lnx的切线，求切线，x轴及曲线y?lnx所围平面图形的面积 解：阴影部分如右图所示可求解直线方程为y?x二曲线的交点为(e , 1) 1e y lnx 0 1 x 从而面积S?101xdx?e?e11(x?lnx)dx e11111e?x2?x2?e20e21?e112?e?xlnx?(e?1) 1e21e?(e)?(e?1) 21e?1 2?e1lndx ? 27.求过曲线y?lnx上的点(e , 1）的法线与x