《微积分》习题6.docx
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《微积分》习题6
《微积分》习题6
习题六 1．根据定积分的几何意义说明下列各式的正确性 解：
该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，对称性可知正确．该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且在（?
2,2）范围内对称，所以是正确的． 该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且关于原点对称，所以正确．原式?
2?
2?
0cosxdx?
0 ?
2?
2（x2?
1）dx?
21?
（x022?
1）dx ?
xdx?
0 ?
3?
111?
12xdx?
4?
xdx 0?
1?
1xdx 等式左边的定积分的几何意义是右边图形阴影部分面积的代数和的2倍，且又因为阴影部分在（?
1,1）范围内关于轴对称，所以等式两边相等． 2．不计算积分，比较下列积分值的大小 解：
定积分的比较性可知在（0,1）范围内x2?
x3，所以前者大于后者．定积分的比较性可知在（1,3）范围内x2?
x3，所以前者小于后者．定积分的比较性可知在（3,4）范围内lnx?
（lnx）2，所以前者小于后者．a?
1定积分的比较性可知在（0,）范围sinx?
x，所以前者小于后者． 2?
xdx与?
xdx ?
xdx与?
xdx 232300111133?
43lnxdx与 ?
（lnx）dx ?
234?
20sinxdx与 ?
?
20xdx ?
3．用定积分性质估计下列积分值 解：
因为e?
x在[0,1]范围内的最大值为1，最小值为e?
1所以定积分的估值定理可知：
2?
10e-x2dx ?
?
5?
4（1?
sin2x）dx 4?
1x51?
x?
0dx ?
20sinxdxx?
10e?
1dx?
?
110e?
xdx?
22?
ldx 01?
e?
1?
?
0e?
xdx?
1 因为1?
sin2x在[?
5?
]2的最大值为2，最小值为1。
442所以定积分的估值定理可知：
?
?
5?
4ldx?
?
5?
44?
5?
4（1?
sin2x）dx?
?
4?
5?
42dx 4 ?
?
?
?
?
（1?
sin2x）dx?
2?
4设f（x）?
4x51?
x x5则f‘（x）?
令 5x1?
x?
421?
x?
x（10?
9x）1?
x21?
x（1?
x） f‘（x）?
0 则x4（10?
9x）?
0,1?
x?
0解得：
x?
0,x?
?
所以所以 109f（x）在（0,?
?
）上单调递增 f（x）在[0,1]的最小值为 0，最大值是2 2所以定积分的估值定理可知：
?
100dx?
?
1x51?
xx51?
x0dx?
?
102dx2?
0?
?
10dx?
22 图中易知：
AB?
?
?
ADAB 其中AB?
sinx，AD?
tanx，AC?
x即：
sinx?
x?
tanx亦得到：
1?
0?
x?
x1?
sinxcosx ?
2，从中cosx?
sinx?
1x定积分性质有：
?
?
?
20cosxdx?
?
?
20sinxdx?
x?
?
201?
dx ?
1?
?
2?
sinx?
dx?
x2 1 A yx4．利用定积分的几何意义计算下列积分x0BCD 解：
该定积分的几何意义是以原点为圆心2为半径的一个圆面积的一半，且在x轴的上方． ?
2?
22?
x2dx ?
21（1?
2x?
x2）dx 所以原式?
?
R2 ?
?
12 该定积分的几何意义是以（1,1）为圆心，以1为半径的一个圆面积的一半且在x轴 的上方．所以原式?
?
R2 ?
?
5．求下列函数的导数f（x）12 12?
x2?
1te?
t2dt f（x）?
?
0exxln（1?
t2）dt f（x）?
?
x3xedt f（x）?
t2?
（tx3?
x3）sintdt 解：
设te?
tdt?
g（t） ?
22x则f（x）?
g（e）?
g（x2）?
g（?
1）令x2?
m ?
1f‘（x）?
g‘（m）m‘?
x2e?
x2x?
2x3e?
x44 设ln（1?
t2）dt?
g（t） ?
则 f（x）?
g（ex）?
g（x）令ex?
m f‘（x）?
g‘（m）m‘?
g‘（x）?
exln（x?
e2x）?
ln（x?
x2） 设etdt?
g（t） ?
2则 f（x）?
g（x3）?
g（x）令x3?
m,x?
n 6f‘（x）?
g‘（m）m‘?
g‘（n）n‘?
ex3x2?
ex12x 设（t3?
x3）sint?
g（t） ?
则f（x）?
g（x）?
g（0） f‘（x）?
g‘（x）?
g‘（0）?
0 6．求下列极限lim 1x?
0x3?
x1xsint2dt lim2arctantdt00x?
0x?
x?
0lim1x3?
0（x1?
t2?
1?
t）dt2 limx?
0?
1?
x2?
1xln（1?
t）dt0 lim1?
1x（1?
sin2t）tdtlntdt1?
t1 lim?
x x?
0x01?
xt2xlim?
?
?
?
?
edt?
?
?
?
x20?
?
t2x?
dtxlim?
xe?
0?
0x?
sinx?
arctanx 解：
?
lim1x?
0x3?
x0t2dt ?
lim113x?
0x3?
3tdt?
13?
lim1xx?
0x2?
0tdt ?
xlim11?
0x22x2x0 ?
12 ?
1xxlim?
0x3?
（1?
tan2t?
1?
sin20t）dt ?
lim1xx?
0x3?
0（1cosx?
cosx）dt ?
lim1?
xx?
0x30tanxsinxdt ?
lim1x?
0x3?
x0x2dt ?
xlim1?
0x313t3x0x?
1（x?
1）21xxlim?
?
?
x?
（t?
t2）et2?
x2dt0
?
?
lim1?
x2?
113x-?
0?
?
x 0ln（1?
t）dt1?
x2?
1 ?
limx-?
0?
x 0ln（1?
t）d（1?
t）1?
x2?
1?
0 ?
limx?
0?
?
（ln?
?
1）1lim?
x?
0xx?
x01（1?
sin2t）tdt ?
lim?
01（1?
sin2t）tx?
0dt 1x洛必达法则lim（1?
sinx） x?
0?
lim（1?
2x）x?
01?
22x?
e2 lntdt1?
t1limx?
1（x?
1）2?
x lnx?
lim1?
xx?
12x?
2 11lnx1x?
1?
lim?
limx?
12x2?
12x?
12x41 1?
lim?
x?
?
?
?
?
lim1x2?
lim?
x2x?
?
?
ln（edt?
?
e?
0?
t22x?
x0edt）xt22 ?
ex?
?
?
xt?
ln?
0edt?
e1x2?
x2?
e limx?
?
?
?
（arctant）dt 20x1?
x2?
?
x0x?
?
?
x?
?
?
（limarctan）2dtlim1?
x2 ?
2?
x?
?
?
4lim1?
x2?
0 ?
x?
?
?
lim1x?
x0（t?
t2）et2?
x2dt ?
lim?
x0（t?
t2）etx?
ex22x?
?
?
dt 洛必达法则lim （x?
x2）ex22x?
?
?
ex（1?
2x）2?
127．设F（x）在[a,b]上连续，且f（x）?
0 F（x）?
?
xaf（t）dt?
?
xb1dtf（t）求证：
F‘（x）?
2； F‘（x）在[a,b]内有且仅有一个实根． 解：
证明：
设f（t）dt?
g（t）?
?
1dt?
h（t）f（t）F（x）?
g（x）?
g（a）?
h（x）?
h（b）?
F‘（x）?
g‘（x）-g‘（a）?
h‘（x）-h‘（b）?
f（t）?
1f（t） 又因为f（t）?
0,?
F‘（x）?
2 因为F（x）在[a,b]上单调增加，又因为F（a）?
?
ab1de?
?
f（t）?
ba1de?
0f（t）F（b）?
?
baf（t）dt?
0 又因为F（x）在区间[a,b]上连续．所以在区间[a,b]内紧有一个实根．8．设 f（x）为连续函数，且存在常数a满足 ex-1?
x?
?
axf（t）dt 求 f（x）及常数a． 解：
设f（e）de?
g（t） ?
则ex?
1?
x?
g（a）?
g（x）对等式两边求导，得：
ex?
1?
x?
g‘（a）?
g‘（x）?
?
f（x） 所以所以 f（x）?
1?
ex?
1 ?
axf（t）dt?
?
axex?
1dx?
x?
ex?
1a?
a?
ea?
1?
ex?
1?
xx?
1所以a?
19．设解：
Q‘（t）?
f（t）,P‘（t）?
Q（t）x?
（x?
t）f（t）dt?
1?
cosx，说明?
0x?
20f（x）dx?
1． ?
（x?
t）f（t）dt0?
tf（t）dt?
x[Q（x）?
Q（0）]?
td（Q（t）?
?
x[Q（x）?
Q（0）]?
tdQ（t）?
x?
x[Q（x）?
Q（0）]?
tQ（t）?
Q（t）dt0?
?
x[Q（x）?
Q（0）]?
0x0x0x0x?
?
Q（x）dt?
1?
cosx0x即 P（x）-P（0）?
1-cosx?
Q（x）?
sinx?
f（x）?
cosx?
?
2?
f（x）dx?
sinx02?
10 10．用牛顿-莱布尼茨公式计算下列积分 ?
8dx 1x?
e?
x）dx 13x?
（e?
12?
12arcsinx2dx 21?
x ?
?
0cosxdx ?
2xdx ?
1?
?
ex2?
lnx2d31xx?
?
tanxdx 62?
4?
?
x?
1?
?
?
d1?
x?
x?
?
?
21?
2?
sindx?
1?
sin2xdx00?
3max{1,x2}dx ?
1 解：
?
8dx2x?
32x381?
9132 ?
1（ex?
e?
x）dx?
（ex?
e?
x）1?
1?
1?
0 ?
e2（lnx）2e2（lnx）2d（lnx）?
1e21xdx?
?
（lnx）313122 ?
12arcsinxdx?
21?
x2?
12arcsinxdarcsinx 2?
122arcsin2x21?
2?
21?
2（16?
36） s3） ?
e2（lnx）21xdx 7） ?
1dx ?
14?
x2?
11）?
?
3tan2xdx 6?
15）?
xcosx?
sinx?
2dx4（xsinx）28） ?
2dx04?
x212） ?
x0cosxdx?
2cosxdx?
?
?
cosxdx?
sinx2?
sinxx?
2 x0022?
?
?
?
2?
11xdx?
?
20?
1?
xdx?
?
20xdx?
1221205x?
x?
202?
12?
dx4?
x?
1?
arcsinx1?
?
2?
13 ?
?
2dx4?
x20e?
1x2?
arctg?
2208 1x2?
lnx2dx?
x?
xdx?
?
1ee121lnx1edx?
x2?
2x21?
e1lnxdlnx ?
e1121（e?
1）?
2（lnx）2?
（e2?
3） 1222?
?
tanxdx?
?
lncosx3 ?
?
3?
?
61ln326?
?
?
?
3tanxdx?
?
3626?
1cosx2?
?
ldx?
?
3（sec2x?
1）dx 6?
?
2ln2?
1 ?
（3?
?
3）?
（3?
?
）36?
442?
3?
36 1dxx ?
1（x?
1x）2dx?
?
1x?
2x?
1dx?
x?
411?
2x?
4?
（x?
44?
lnx 1?
2ln2?
1 ?
?
20?
111?
sinxdx?
6（?
sinx）dx?
?
2（sinx?
）dx2202?
?
?
6
11?
（?
cosx?
x）26?
（x?
cosx）2?
026?
3?
1?
?
?
?
12 ?
x ?
x01?
sin2xdx?
?
x0sinx?
cosxdx?
?
40（cosx?
sinx）dx?
?
x4（sinx?
cosx）dx ?
?
（sinx?
cosx）4?
（?
cosx?
sinx）x?
22x04 ?
?
?
2xcosx?
sinx（xsinx）2?
?
1（xsinx）2d（xsinx）?
?
12?
42?
2xsinx?
?
4dx?
?
244?
?
3?
1max{1,x2}dx?
?
1?
1ldx?
?
31x2dx?
x1?
1?
x232?
10313 11．设f（x）?
解：
设 ?
t（l?
t）e0x?
2tdt，问x取何值时，f（x）取极大值或极小值． ?
t（t?
l）e-2tde?
g（t） f（x）?
g（x）?
g（e） 则 所以 因为 所以 f‘（x）?
g‘（x）?
x（x?
1）e?
2x?
?
x（x?
1）e?
2x f‘（x）在（?
?
0）f（x）在 ，（?
1,?
?
）,（-1,?
）上大于0，在（0,1）内小于0 （?
?
0）,（1,?
?
）上单调递增，在（0,1）内单调递增． 所以当x?
0时，f（x）取极大值，x?
1时，f（x）取极小值。
12．设 ?
I1?
?
?
2?
sinx1?
x2cos2xdx2?
I2?
?
?
2?
（sinx?
cosx）dx 2?
I3?
?
?
2（sin5x?
cosx）dx?
2比较I1，I2，I3的大小．解：
?
I1?
?
2sinx?
?
21?
x2cos2xdx ?
0 ?
I2?
?
2?
?
（sinx?
cosx）dx2 ?
2 ?
I3?
?
2?
?
（sin5x?
cosx）dx2 ?
?
2 ?
?
?
?
cosxdx2 ?
?
?
2?
?
cosxdx?
02 ?
?
?
2?
?
?
cosxdx?
02 ?
I3?
I1?
I2 13．用换元积分法计算下列各定积分 ?
?
sinx1?
cos2xd0x ?
ln3dx 01?
ex ?
1dx 0（1?
x2）3?
2x2?
11xdx 3） ?
e2dx1?
ln 1x?
ax2a2?
x2dx0 ?
3dxx1?
x21 ?
1xexe?
eee?
?
x0dx ?
40tan（lncosx）dx ?
?
e6e223lnx?
2dx xdxx2?
dxx（1?
lnx）lnx ?
2?
sin9xdx 0x?
12 ?
1x?
3?
2x?
5?
1x2dx 解：
?
?
x0?
11?
cos2xdcosx x?
?
arctan（cosx） 0?
?
2令1?
ex?
t 则x?
ln（t2?
1） x?
ln3，时t?
2；x?
0，时t?
2 ?
2?
221t2?
1dt ?
lnx?
12x?
12?
?
[ln3?
2ln（2?
1）] = ?
e2dxx1?
lnx1 2?
?
?
?
0xsinxdx?
?
?
xsinxdx?
21?
lnxe21?
23?
2 ?
x31?
322x12?
03?
dx（1?
322x） ?
x3（1?
x2）1302?
12dx 3（1?
x2）102 ?
2 2?
?
21x2?
1dxx212x1 ?
x2?
1?
arccos1 ?
3?
x8?
3 aa4xaarcsin8a0?
（2x2?
a2）a2?
x2?
0 ?
0?
?
16a4?
?
16a4 令x?
tant，则积分区域为 3?
?
到．43?
dx1?
x2?
1?
?
?
?
34（sect）2?
dttant?
sect ?
?
?
34?
dt?
dcost?
?
3sint1?
cos2t?
41d（?
cost）13dcost?
?
?
3?
?
?
21?
cost21?
cost?
?
?
4?
4?
?
?
1313ln（1?
cost）?
ln（1?
cost）?
2?
24411?
ln（2?
2）?
ln3（2?
2）221?
ln（2?
2）?
ln62 令ex?
t ?
?
1exex?
e?
xe0dx?
?
e11dt1tt?
tt?
1?
?
edt?
?
lnx?
x2?
1?
?
?
1t2?
11e?
e2?
11?
2?
ln 令t?
lnx则x?
et ?
e6e3lnx?
2dx?
x3?
613t?
2dt62?
（3t?
2）219?
14 令lnx?
t,则积分上下限变为与1. 12?
eedxx（1?
lnx）lnx?
?
112dt（1?
t）t 令t?
sin2x积分上下限为:
42?
?
?
?
?
22sinxdsinx1?
sin2x?
sinx?
?
?
244?
2dsinx1?
sin2x?
?
ln（sinx?
sin2x?
12?
4?
ln1?
22?
2322?
?
ln2?
21?
3 ?
?
2?
?
0sin9xdx ?
?
?
?
?
（cosx?
4cos?
6cos?
4cos02（1?
cos2x）4dcosx86420x?
1）dcosx ?
0令x2?
sec3a则dx?
seca?
tana ?
22dxx2x2?
1?
?
?
?
34?
seca?
tana?
dasec2?
tana?
3?
23?
?
?
3cosada?
?
sina?
?
244?
令x?
1?
a
?
1x?
32?
1x2?
2x?
5dx?
?
2a?
0a2?
4da?
1d（a2?
4）0a2?
4?
?
222?
20a2?
4da?
122ln2?
?
20a2?
4da ?
12ln2?
arctana220?
12ln2?
（?
4?
0）?
12ln2?
14?
14．用分部积分法计算下列各定积分?
10x2e?
xdx ?
1（x?
x）e?
xdx ?
1 ?
e（lnx）3dx elnxdx 1?
1e ?
10xarctanxdx ?
e2lnx（x?
1）x e2d?
ln2?
x2dxsinxdx 0x3ex ?
2?
0?
12x1?
x2arcsinxdx ?
e2lnx0e?
1xdx 解：
?
?
1x2de?
x 0?
?
（x2e?
x11?
x0?
0e2xdx ?
?
（e?
1?
?
12xdx?
x）0 ?
?
（e?
1?
2e?
1?
2e?
x10） ?
?
（3e?
1?
2e?
1?
2） ?
2?
5e?
1?
?
0（）?
1x?
xexdx?
?
1（x?
x）e?
x0dx ?
?
12xde?
x 03） ?
e?
1xln（1?
x）dx 0?
6） ?
2xsinxdx 09） ?
1e2x（4x?
3）dx 0?
12） ?
e2sin（lnx）xdx12= 1210?
e?
10ln（x?
1）dx2 ?
（x2ln（x?
1）?
x（lnx）3?
?
e?
e12e?
1?
0?
e?
10x21dxx?
1e1?
e11x3lnxdx x?
3lnxdx 1 ?
e?
3（xlnx?
e1?
e11xdxx ?
e?
3[e?
（e?
1）] ?
e?
3 1?
?
（xlnx1?
e?
1e11ee1xdx）?
xlnx?
1x?
e11xdxx ?
?
[?
?
（1?
）]?
e?
（e?
1） ?
1?
1 ?
2?
?
?
201e?
xdcosx ?
?
（xcosx?
20?
?
?
20cosxdx） ?
sinx?
x0 ?
1 1?
2?
10arctanxdx2 111?
（x2arctanx?
0211?
?
[?
（x?
024?
0x211?
x2dx）] dx） ?
11?
x211?
?
[?
1?
arctanx] 024?
?
4?
12e2 1（x?
1）?
?
?
elnxd ?
?
[lnx1e2x?
1e2?
ln] （x?
1）exee1?
e?
ln（1?
e）?
2x?
12?
（4x?
3）de01 ?
[（4x?
3）e3x?
12121210?
e012x?
4dx] ?
（7e2?
3?
4e2x） ?
[7e2?
3?
2（e2?
1）] ?
（5e2?
1）?
?
11212102?
ln20x2de?
x2 ?
?
[x2?
e?
x122ln20?
?
ln202xe?
xdx] 2 ?
1[ln2e?
ln2?
2?
ln202de?
x] 2 ?
?
[ln2?
e?
x1122ln20] ?
?
[ln2?
e?
ln2?
1] ?
?
[ln2?
] ?
?
（ln2?
1）?
141122112212?
xsinxdx?
?
?
0?
2?
xsinxdx ?
?
（xcosx?
0?
?
?
0cosxdx）?
（xcosx2?
?
?
?
?
2?
cosxdx） ?
4?
?
?
e2sinlnxx2?
1dx?
?
?
?
20sinlnxd1x1?
?
?
sinlnxe2?
x11?
?
sinlnxe2?
x1?
?
?
?
12111?
coslnx?
dxxx1x?
?
?
2coslnx?
d?
11sinlnx?
dxxx11?
?
sinlnxe2?
coslnxe2?
xx11?
111?
?
（sinlnx?
coslnx）e22xx1?
11（1?
?
）2e2?
?
21?
2x011?
x2arcsinxdx3?
?
102?
（?
1）?
?
arcsinx?
d（1?
x2）233?
12?
?
?
（1?
x2）2?
arcsinx?
03?
?
?
103（1?
x2）21?
（1?
x2）?
2?
?
dx?
?
?
?
?
23?
10（1?
x2）dx?
49 ?
e2lnxxdxe?
1 ?
2?
e2e?
1lnx1?
dx2?
2?
lnx1?
x2e2e?
0e0e?
112?
2?
e2e?
01?
x21x2121?
dxx1?
?
2lnxx2e2?
2?
e0e?
11?
dxx?
2 x?
12dx?
4e?
2e01?
?
8?
6e2?
x?
?
dx?
?
2e?
?
e0e?
1 15．利用函数奇偶性计算下列积分 解：
设f（x）?
sin2xln（x?
1?
x2）则f（?
x）?
sin2xln（?
x?
1?
x2） f（?
x）?
f（x）?
sin2x[ln（?
x?
1?
x2）?
ln（x?
x?
2）]?
sin2xln（1?
x2?
x2）?
0 ?
?
3?
22 ?
sinxln（x?
1?
x）dx3?
112?
x2?
1（11?
）dxcosxarccosxdx ?
11?
ex21?
所以 因为 f（x）为奇函数 f（x））在上连续且为奇函数，所以原式等于 0； 设f（x）?
12?
x2（1?
）1?
ex21（11?
）21 ?
f（?
x）?
?
x2?
x21?
e?
f（x）?
f（?
x）?
所以 12?
x2（11?
e?
x?
11?
ex?
1）?
0 f（x）为奇函数且f（x）在上连续。
所以原式等于0；设因为 ?
?
4?
5（?
5）dx?
?
?
3?
4（?
4）dx?
?
?
4dx 45f（?
x）?
cosxarccosx?
f（x）
?
?
xdx?
?
xdx?
?
xlnxdx 0111ee ?
x2?
x2?
x2（lnx?
） ?
?
（e2?
1）?
[e2?
?
（?
）] ?
?
e2?
?
e2?
?
e2?
?
14141212121414121212121212121102e1121e21 ?
10（x3?
3x2?
2x）dx?
?
21（x3?
3x2?
2x）dx ?
（x4?
x3?
x2）?
（x4?
x3?
x2 ?
?
1?
1?
[（4?
8?
4）?
（?
1?
1）] ?
12141414101421 ?
5?
?
（sinx?
cos）4?
（sinx?
cosx）4?
04 ?
42 ?
?
（y3?
36y） ?
48 25．求抛物线y?
?
x2?
4x?
3及其在点（0,3）和点（3,0）处两条切线所围成图形的面积． 解：
抛物线g?
?
x2?
4x?
3及两点处的切线所围的图形如后图：
113360y 10 2 3 x-3 ?
t（0,3）处切线的斜率k1?
?
2x?
4x?
0?
4切线方程为：
y?
4x?
3 ?
t（3,0）处切线的斜率k2?
?
2x?
412x?
3?
2切线方程为：
y?
?
2x?
6 则阴影部分面积S?
?
04x?
3?
（?
x2?
4x?
3）dx?
?
312?
2x?
6?
（?
x2?
4x?
3）?
dx ?
?
120x?
6dx?
2?
312（x2?
6x?
9）dx ?
334 26．过原点作曲线y?
lnx的切线，求切线，x轴及曲线y?
lnx所围平面图形的面积． 解：
阴影部分如右图所示可求解直线方程为y?
x二曲线的交点为（e,1） 1e ylnx 0 1 x 从而面积S?
?
101xdx?
e?
e11（x?
lnx）dxe11111e?
?
x2?
?
x2?
e20e21?
e112?
e?
xlnx?
（e?
1） 1e21e?
（e）?
（e?
1）21e?
12?
e1lndx ?
?
27.求过曲线y?
lnx上的点（e,1）的法线与x
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