效益的合理分配Word下载.doc

1、V（S）称为该对策的特征函数，描述合作的效益。在引例中，V（甲）=V（乙）=V（丙）=1， V（甲乙）=7V（甲）+V（乙）， V（甲丙）=5V（甲）+V（丙）， V（乙丙）=4V（乙）+V（丙）.注： 条件（b）称为超可加性，描述了“团结力量大”的道理。 在合作对策中，假定参与结盟的各个成员都齐心协力，以保该结盟获得最大的利益。（否则若互相拆台，还合作什么？）有时也称V为合作对策，类似于把点的坐标称为点。（2）简单对策 在对策I，V中，若对，V（S）只取值0或1，则称V为 简单对策。使V（S）=1的S称为获胜结盟 （Winning coalition），使V（S）=0的S称为失败结盟 （Lo

2、sing coalition）。特别在三人合作对策中，若V（甲）=V（乙）=V（丙）=V（甲乙）=V（甲丙）=V（乙丙）=0，V（甲乙丙）=1，则记此简单对策为（三人合作有效益，其他没有）。若V（甲）=V（乙）=V（丙）=0，V（甲乙）=1，V（甲丙）=V（乙丙）=0，V（甲乙丙）=1，则记次简单对策为（甲乙合作有效益，其他没有）。若V（甲）=V（乙）=V（丙）=0，V（乙丙）=1，V（甲丙）=V（甲乙）=0，V（甲乙丙）=1，则记此为（乙丙合作有效益，其他没有）。若V（甲）=V（乙）=V（丙）=0，V（甲丙）=1， V（甲乙）=V（乙丙）=0，V（甲乙丙）=1，则此V记为（甲丙合作有效益，其

3、他没有。若V（甲）=V（甲乙）=V（甲丙）=V（甲乙丙）=1，V（乙）=V（丙）=V（乙丙）=0，则记为（有甲参加有效益，其他没有）。若V（乙）=V（乙丙）=V（甲乙）=V（甲乙丙）=1，V（甲）=V（丙）=V（甲丙）=0，则记为（有乙参加有效益，其他没有）。若V（丙）=V（甲丙）=V（乙丙）=V（甲乙丙）=1，V（甲）=V（乙）=V（甲乙）=0，则记为（有丙甲参加有效益，其他没有）。（3）n人合作对策的解n人合作对策的解是指对总体结盟所获利V（I）的一个分配方案。用表示局中人i从合作V中获得报酬，为一个分配方案，则至少应满足： 个体合理性： 即合作优于单干 总体合理性：一般地，n人合作对策有

4、很多解，如何获得一个更合理的唯一解。/（4）Shapley值（势指标）Shapley在1953年提出了Shapley值三公理。（分配原则） 对称性.每个局中人获得的分配与他被赋予的记号无关,设为I的一个排列，则 （i=1，2，n）其中V为重排序后的特征函数.为重排后原局中人i的新编号;有效性.（a）若成员i对他所参加的任一合作都无贡献,则给他的分配应为0.即若，V（S）=V（S-i），则 （i=1,2, n）（贡献为零的成员报酬为0）这种局中人称为零局中人（null player）;（b）完全分配 ;可加性 对I上任意两个特征函数U与V即若n人同时进行两项合作时，每人的分配是两项合作分配之和.

5、满足上述三公理的称为Shapley值，Shapley证明了对任一n人合作对策，Shapley值是唯一存在的且 i=1，2，,n （6.11）其中 , 为集S的元素个数,按（6.11）式计算分配是较烦的。简单来说，Shapley提出的分配原则是：（1） 贡献相同的成员报酬相同用数学语言表达：设i, j是任意两个成员。S是I的任意子集，不包含i和j都有V（Si）=V（Sj）, 则= 即在S中加入i或j的效益相同时，他们的报酬相同。 （2）贡献为零的成员报酬为0。设i是某一成员,对任意不包含i的子集S,V（S）=V（Si）, 则=0，即若成员I对他参加的任何合作都没有贡献，则他的报酬为0。（3）有效

6、性：即n个成员的报酬总和等于他们合作的效益。（4）可加性。若这n个成员进行两次合作U1和U2，那么两次分配之和应该等于把这两次合作合并分配的结果，就是（大概（1）（2）（3）无人反对，如果（4）不成立的话，那么这几个人做了两单生意之后，就要为此吵架）现在根据这些原则进行分配。假设三个人进行一项合作V123获利1元，其他无利，那么三人的贡献相同，所以 i=1,2,3又设三人独立经商均无获利，甲乙合作V12获利1元，那么甲乙在此合作中贡献相同，而丙无贡献。所以甲、乙应各得1/2元，丙的报酬为0。 i=1,2 又设在三人合作中，若有甲参加则获利1元，其他无利，记此合作为V1,则甲应得1元，乙和丙的报

7、酬为0。，同样我们可以定义合作V13,V23,V2,V3,并求得相应的分配。每一种合作可以看作一个7维向量，它们的分配可以看作一个3维向量。于是我们可以列成以下的表：左半部为他们合作的效益，右半部是个人应得的报酬。甲乙丙甲乙甲丙乙丙甲乙丙V11V2V3V121/2V13V23V1231/3 于是我们可以证明，映射V是一个线性映射，也就是说存在一个73矩阵X，使=VX。若记左半部的矩阵为A，右半部矩阵为B，那么AX=B,由此可以求得取V=（1,1,1,7,5,4,10）,得=VX=（4, 3.5, 2.5）即甲应得4元，乙得3.5元，丙得2.5元。三.Shapley值的分解算法设I=，现有合作V

8、, ,把合作V分解为简单对策的线性组合设 （*）系数可通过解方程组确定.这是一个函数恒等式，故对自变量的每个取值都应成立，其自变量S为I的各子集。VAu1Bu2Cu3ABu12ACu13BCu23ABCu123代入（*）得方程组：解出 所以a1,a2,a3分别表示A,B,C单干时的效益；分别表示A与B, A与C, B与C合作时新增效益；表示ABC三人合作时新增的效益，这是因为从第7方程看出 （注：a123不一定非负） 在分配时，对两人合作新增的效益应各分1/2，对三人合作新增效益应各分1/3，从而可以验证若把各系数的解代入（6.13）也可得例，在引例中, 代入系数公式可以求出, a1=a2=a

9、3=1,a12=7-2=5,a13=5-2=3,a23=4-2=2,a123=10-（2+3+5+1+1+1）=-3 所以 四，应用实例（p104 例2）下面举例说明这个模型的应用有三个位于某河流同旁的城,从上游到下游依次为A、B、C,三城的污水必须经处理后方能排入河中,A、B距离为20公里,B、C距离38公里。设Q为污水流量（米3/秒）,L为管道长度（千米）。假设建污水厂费用为Cl=730Q0.712（千元）, 而建管道费用为C2=6.6Q0.51L（千元）, 已知三城的污水流量分别为QA=5,QB=3,Qc=5,问应该怎样处理（单独设厂还是联合设厂）,可使总开支最少,又每一城镇负担的费用应

10、各为多少?上游 下游QA=5 QB=3 Qc=5A B C 20km 38km思路：合作可省钱把省钱看作获利计算获利的分配导出费用的分担（5）A与C合作，在C处建厂投资=A与C分别建厂的投资小于合建一厂的投资，故它们应选择分别建厂，即节省为0（因为假设合作都应齐心协力使该结盟获得最大利益）（6）B与C合作，在C处建厂投资比分别建厂节省（7）A,B,C合作建厂在C处投资 比各自建厂节省综合上述可知，最佳方案（节省最多）的方案是三城合作建一厂，共节省630.2（千元），这合作的获利如何分配呢？现把节省的钱作为获利，取V=（0,0,0,383.5, 0, 244.2, 630.2）,计算得=VX=（192.6,314.7,122,9）把合作V分解为: 代入（6.13）得从而投资的分担约计算取整，则三城单独建厂各需2300千元 1600 千元 2300 千元 把问题看成三人合作对策，A、B、C单干或AC合作，获利为0AB合作获利400千元，BC合作获利250千元，ABC合作获利640元，取V=（0,0,0,400,250,0,640）,代入=VX=（于是，合作V为 V=400V12+250V23-10V123