效益的合理分配Word下载.doc
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V（S）——称为该对策的特征函数，描述合作的效益。
在引例中，V（甲）=V（乙）=V（丙）=1，
V（甲乙）=7>
V（甲）+V（乙），
V（甲丙）=5>
V（甲）+V（丙），
V（乙丙）=4>
V（乙）+V（丙）.
注：
①条件（b）称为超可加性，描述了“团结力量大”的道理。
②在合作对策中，假定参与结盟的各个成员都齐心协力，以保该结盟获得最大的利益。
（否则若互相拆台，还合作什么？
）
③有时也称V为合作对策，类似于把点的坐标称为点。
（2）简单对策
在对策[I，V]中，若对，V（S）只取值0或1，则称V为
简单对策。
使V（S）=1的S称为获胜结盟（Winningcoalition），使
V（S）=0的S称为失败结盟（Losingcoalition）。
特别在三人合作对策中，
①若V（甲）=V（乙）=V（丙）=V（甲乙）=V（甲丙）=V（乙丙）=0，
V（甲乙丙）=1，则记此简单对策为（三人合作有效益，其他没有）。
②若V（甲）=V（乙）=V（丙）=0，V（甲乙）=1，V（甲丙）=V（乙丙）=0，
V（甲乙丙）=1，则记次简单对策为（甲乙合作有效益，其他没有）。
③若V（甲）=V（乙）=V（丙）=0，V（乙丙）=1，V（甲丙）=V（甲乙）=0，
V（甲乙丙）=1，则记此为（乙丙合作有效益，其他没有）。
④若V（甲）=V（乙）=V（丙）=0，V（甲丙）=1，V（甲乙）=V（乙丙）=0，
V（甲乙丙）=1，则此V记为（甲丙合作有效益，其他没有。
⑤若V（甲）=V（甲乙）=V（甲丙）=V（甲乙丙）=1，
V（乙）=V（丙）=V（乙丙）=0，则记为（有甲参加有效益，其他没有）。
⑥若V（乙）=V（乙丙）=V（甲乙）=V（甲乙丙）=1，
V（甲）=V（丙）=V（甲丙）=0，则记为（有乙参加有效益，其他没有）。
⑦若V（丙）=V（甲丙）=V（乙丙）=V（甲乙丙）=1，
V（甲）=V（乙）=V（甲乙）=0，则记为（有丙甲参加有效益，其他没有）。
（3）n人合作对策的解
n人合作对策的解是指对总体结盟所获利V（I）的一个分配方案。
用表示局中人i从合作V中获得报酬，为一个分配方案，则至少应满足：
①个体合理性：
即合作优于单干
②总体合理性：
一般地，n人合作对策有很多解，如何获得一个更合理的唯一解。
//
（4）Shapley值（势指标）
Shapley在1953年提出了Shapley值三公理。
（分配原则）
①对称性.每个局中人获得的分配与他被赋予的记号无关,设为I
的一个排列，则（i=1，2，……，n）
其中πV为重排序后的特征函数.为重排后原局中人i的新编号;
②有效性.
（a）若成员i对他所参加的任一合作都无贡献,则给他的分配应为0.
即若，V（S）=V（S-{i}），则（i=1,2,……,n）（贡献为零的成员报酬为0））
这种局中人称为零局中人（nullplayer）;
（b）完全分配;
③可加性对I上任意两个特征函数U与V
即若n人同时进行两项合作时，每人的分配是两项合作分配之和.
满足上述三公理的称为Shapley值，Shapley证明了对任一n人合作对策，Shapley值是唯一存在的且
i=1，2，…,n（6.11）
其中,为集S的元素个数,
按（6.11）式计算分配是较烦的。
简单来说，Shapley提出的分配原则是：
（1）贡献相同的成员报酬相同
用数学语言表达：
设i,j是任意两个成员。
S是I的任意子集，不包含i和j都有
V（S∪{i}）=V（S∪{j}）,则=
即在S中加入i或j的效益相同时，他们的报酬相同。
（2）贡献为零的成员报酬为0。
设i是某一成员,对任意不包含i的子集S,
V（S）=V（S∪{i}）,则=0，即若成员I对他参加的任何合作都没有贡献，则他的报酬为0。
（3）有效性：
即n个成员的报酬总和等于他们合作的效益。
（4）可加性。
若这n个成员进行两次合作U1和U2，那么两次分配之和应该等于把这两次合作合并分配的结果，就是
（大概
（1）
（2）（3）无人反对，如果（4）不成立的话，那么这几个人做了两单生意之后，就要为此吵架）
现在根据这些原则进行分配。
假设三个人进行一项合作V123获利1元，其他无利，那么三人的贡献相同，所以
i=1,2,3
又设三人独立经商均无获利，甲乙合作V12获利1元，那么甲乙在此合作中贡献相同，而丙无贡献。
所以甲、乙应各得1/2元，丙的报酬为0。
i=1,2
又设在三人合作中，若有甲参加则获利1元，其他无利，记此合作为V1,则甲应得1元，乙和丙的报酬为0。
，，
同样我们可以定义合作V13,V23,V2,V3,并求得相应的分配。
每一种合作可以看作一个7维向量，它们的分配可以看作一个3维向量。
于是我们可以列成以下的表：
左半部为他们合作的效益，右半部是个人应得的报酬。
甲
乙
丙
甲乙
甲丙
乙丙
甲乙丙
V1
1
V2
V3
V12
1/2
V13
V23
V123
1/3
于是我们可以证明，映射V→是一个线性映射，也就是说存在一个7×
3矩阵X，使=VX。
若记左半部的矩阵为A，右半部矩阵为B，那么AX=B,由此可以求得
取V=（1,1,1,7,5,4,10）,得
=VX=（4,3.5,2.5）
即甲应得4元，乙得3.5元，丙得2.5元。
三.Shapley值的分解算法
设I=，现有合作V,,,,,把合作V分解为简单对策的线性组合
设（*）
系数可通过解方程组确定.这是一个函数恒等式，故对自变量的每个取值都应成立，其自变量S为I的各子集。
V
A
u1
B
u2
C
u3
AB
u12
AC
u13
BC
u23
ABC
u123
代入（*）得方程组：
解出
所以a1,a2,a3分别表示A,B,C单干时的效益；
分别表示A与B,A与C,B与C合作时新增效益；
表示ABC三人合作时新增的效益，这是因为从第7方程看出（注：
a123不一定非负）
在分配时，对两人合作新增的效益应各分1/2，对三人合作新
增效益应各分1/3，从而
可以验证
若把各系数的解代入（6.13）也可得
例，在引例中,
代入系数公式可以求出,a1=a2=a3=1,a12=7-2=5,a13=5-2=3,a23=4-2=2,
a123=10-（2+3+5+1+1+1）=-3∴
所以
四，应用实例（p104例2）
下面举例说明这个模型的应用
有三个位于某河流同旁的城,从上游到下游依次为A、B、C,三城的污水必须经处理后方能排入河中,A、B距离为20公里,B、C距离38公里。
设Q为污水流量（米3/秒）,L为管道长度（千米）。
假设建污水厂费用为Cl=730Q0.712（千元）,
而建管道费用为C2=6.6Q0.51L（千元）,
已知三城的污水流量分别为QA=5,QB=3,Qc=5,问应该怎样处理（单独设厂还是联合设厂）,可使总开支最少,又每一城镇负担的费用应各为多少?
上游下游
QA=5 QB=3Qc=5
A B C
20km 38km
思路：
合作可省钱→把省钱看作获利→计算获利的分配→导出费用的分担
（5）A与C合作，在C处建厂
投资=
A与C分别建厂的投资
小于合建一厂的投资，故它们应选择分别建厂，即节省为0
（因为假设合作都应齐心协力使该结盟获得最大利益）
（6）B与C合作，在C处建厂
投资
比分别建厂节省
（7）A,B,C合作建厂在C处
投资
比各自建厂节省
综合上述可知，最佳方案（节省最多）的方案是
三城合作建一厂，共节省630.2（千元），这合作的获利如何分配呢？
现把节省的钱作为获利
，
取V=（0,0,0,383.5,0,244.2,630.2）,计算得
=VX=（192.6,314.7,122,9）
把合作V分解为:
代入（6.13）得
从而投资的分担
约计算取整，则三城单独建厂各需2300千元
1600千元
2300千元
把问题看成三人合作对策，
A、B、C单干或AC合作，获利为0
AB合作获利400千元，BC合作获利250千元，ABC合作获利640元，取V=（0,0,0,400,250,0,640）,代入=VX=（
于是，合作V为
V=400V12+250V23-10V123
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