数学物理方程第一章矢量分析与场论基础0511214611.docx

1、数学物理方程第一章矢量分析与场论基础0511214611第一章矢量分析与场论基础 内容提要 1）正交曲线坐标系：设有三组互相正交的曲面族由下列方程定义:q! =qdx, y,z） q?二q2（x,y,z） q? =q3（x,y,z）在正交曲线坐标中的线元、面元、体元分别为dli =hidqidh phjdqj 卡 FdSi =dlj dlk = ?hjhkdqjdqkdv 二 dh dlj dl hihjhkdqidqjdqk式中 i、 j、 k 代表循环量 1、2、3， q? = ?j c?k ， （?i （?j （?k = 1 ,hi称拉梅系数。三种坐标系中坐标单位矢量间的关系:-coss

2、in =-s in cos1 -00oey柱坐标与直角坐标sin 二 cos ：cos 日 cos-sin 日sin 二 sin ：cos sin :cos ;：cos日 1 x I的-sin 日 0 cos日=cos。0 si n 日0 1 0 一球坐标与柱坐标球坐标与直角坐标2）矢量及其运算：直角坐标中算符I的定义:ex.:x -y一个标量函数u的梯度为:u _u c心二ex ey梯度给出了一点上函数 u随距离变化的最大速率，它指向u增大的方向。一个矢量F穿过一个曲面S的通量-：为屮=F dSS对一个闭合曲面而言， ds向外为正。直角坐标系中F的散度.:Fy:y:z表示在这一点上每单位体积

3、向外发散的 F的通量。散度定理：散度的体积分=矢量的面积分 Fdv F dsV -S其中v是由S所包围的体积。旋度的面积分=矢量的线积分斯托克斯定理：f F) ds F dl其中s是由I所包围的面积。直角坐标系中F的旋度.czLr0? 一 rcyexVx F =拉普拉辛是梯度的散度在直角坐标系中:2 ?u - u2 2；：u j u2 :x :y一个矢量的拉普拉辛定义为:、2F 八乍x?x 、2Fy?y 2FzeZ其它坐标也可写成:于Fx =可(可F)可XV X F柱坐标系中r 二zZ?zdr 二 d t?!：亠 ed g： dzezdv 二-:d :d :dzF -匕壬丄壬圭P cP.:zV

4、x2u J-：uP cP?pFp:?:F :?z.zFz-2-?21 ：2u ：2u尹戸tz7球坐标系中dr = dr?rd r sin 刃?dv 二 r2 sin drd 巾f r a r弋耳1寺？乔岂？r 2sin 日V F =crFrr sin 日rEc0rF日r sin 0F(p2 r2 sin v ：r3）亥姆霍兹定理:赴(口 U 1 d u(sin E ) * 2 2 2&日 r2sin2日砂2矢量场F可表示为一个无旋场分量和一个无散场分量之和F 二 Fe Fl其中F= Fl C Fe =0）可x F =可汇Fe （可汇F| = 0）因此一个矢量场要从散度和旋度两个方面去研究4）二

5、函数宀勺 I 0 （r式r）疋乂： 6（r r）=丿 -一迂 （r=r）甘）d-0（F在v#）v J（r在v内）性质 a）偶函数:、（x） （-x）b）取样性： _ f（X）、（x-a）dx 二 f （a）有机会用到的表达式:1-1.证明：a b =($9 ey2 -ez($2 色3 ez4)=18+6-24说明A与B相互垂直1-2.空白 1-3.证明：A B = AxBx AyBy AzBz = 0说明A与B相互垂直1-4.解：当坐标变量沿坐标轴由 ui增至ui dm时，相应的线元矢量dli为:dli =(5 duj - (Ui)=?其中弧长3其中 二？1X1 X2X2 X3X3 二 ?j?

6、j1则dli 二 hdui1-5.解：(1)据 算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有、(A B)二 、(Ac B) 、(A Be)其中Ac、Be暂时视为常矢，再根据二重矢量积公式a (b c) = (a c)b -(a b)c将上式右端项的常矢轮换到 的前面，使变矢都留在 的后面Ac 二 a 、(Ac B)二 Ac C B) (Ac )BBe = a I (A Bc) = Bc (* ： A) (Be )A则l (A B)二 Ac C B) (Ac h)B Bc (、 A) (Bc )A除去下标c即可、(A B)=A C B) (A )B B C A) (B 人)A利用式的结果即可。(3)据

7、I算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有l (E H )八(Ec H) l (E Hc)再l算子的矢量性，并据公式a (b c) = c (a b) = b (c a)将常矢轮换到的前面、(Ec H ) 一Ec C H)Ec = a- bH =c、(E Hc)二 Hc C E)He = a = bE =c代入得:I (E H ) = Hc C E) -Ec C H)=H C E) - E C H)1-6.(1)证:dAx ；：u dAy ：u dAz :u” ! ， i- du ：x du ：y du ：zdAdu证：i a（u）二孰 ）欽dy &:Az ;:Ay 小 :Ax ;:Az Ay

8、Ax)( ) :z : x :x : ydAyr = cu 兰)exdu右边第一项的x分量=ex（咚兰-du &y du tz同理du :z咚斗Yu少冏du ；x dudAy ；:u瞠斗*u叫ezdu :y du- dA、A(u)八 uduAz Ayc A) ()ex cy czAx :Az (- :y :z :x丄（邑_邑）=0:z ；x ry1-7.证:IR:xR R R R-R二迅釦迅ey .至鱼ex cy cz二 釦一(y y)釦=上R R R Rdf据公式 f(uyu4 RR2R31所以、-R-1 二RRR3R-八 1 = 0 （梯度的旋度等于零）RR3R3R3R3R (-3)、R-

9、3RR3R5=0(R = 0)同理R3R3R3-3R3- 1RC3)KR-3R3R 3RR5=-V R3-0(R = 0)1-8.解： E0sin(k r) L E 人 sin(k r)=Eo c o Sk( rp (k r)二 Eo (k、)r co S( r)二 Eo k c o Sh1h3du1du2du3) -u?=(F2h1h3)du1du2du3 -:u2同理其余两对面分别是(F1 h2h3)du1du2du3.u1(F3h1h2)du1du2du3即什，ds=(F2h3)+ (F2hA)+(F3h2)du1du2du3 s :u1 :u2 :u3上式除以 V 二 dv 二 gdu1du2du3则矢量F的散度是- 1F （FhjhQ.g ijk :U可 F）=?（丄旦）+0（丄旦）+ U3（丄旦）hi CUi h2 和 2 h3 CU3Uix3 1 :f=j y hi .:ui其中 f八F- f = 1- 、g i