数学物理方程第一章矢量分析与场论基础0511214611.docx
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数学物理方程第一章矢量分析与场论基础0511214611
第一章矢量分析与场论基础内容提要1）正交曲线坐标系：
设有三组互相正交的曲面族由下列方程定义:
q!
=qdx,y,z）q?
二q2（x,y,z）q?
=q3（x,y,z）
在正交曲线坐标中的线元、面元、体元分别为
dli=hidqi
dhphjdqj
■卡F
dSi=dljdlk=?
hjhkdqjdqk
dv二dhdljdl^hihjhkdqidqjdqk
式中i、j、k代表循环量1、2、3，q?
=?
jc?
k，（?
i（?
j（?
k=1,
hi
称拉梅系数。
三种坐标系中坐标单位矢量间的关系:
-
cos®
sin®
=
-sin®
cos®
1-
0
0
oey
柱坐标与直角坐标
sin二cos：
cos日cos®
-sin日
sin二sin：
cos^sin:
cos;：
cos日1@xI
的
-
sin日0cos日］
=
cos。
0sin日
■
010一
球坐标与柱坐标
球坐标与直角坐标
2）矢量及其运算：
直角坐标中算符I的定义:
ex
.:
x-y
一个标量函数u的梯度为:
u_uc
'心二ex»ey
梯度给出了一点上函数u随距离变化的最大速率，它指向u增大的方向。
一个矢量F穿过一个曲面S的通量’-：
为
屮=[FdS
S
对一个闭合曲面而言，ds向外为正。
直角坐标系中F的散度
.:
Fy
■:
y
:
z
表示在这一点上每单位体积向外发散的F的通量。
散度定理：
散度的体积分=矢量的面积分
'FdvFds
V-S
其中v是由S所包围的体积。
旋度的面积分=矢量的线积分
斯托克斯定理：
fF）ds—Fdl
其中s是由I所包围的面积。
直角坐标系中F的旋度
@.£czLr
0?
◎一rcy〈
ex
VxF=—
拉普拉辛是梯度的散度
在直角坐标系中:
2
■■?
u-u
22
；：
uju
~~2:
x:
y
一个矢量的拉普拉辛定义为:
'、2F八乍x?
x•'、2Fy?
y\2FzeZ
其它坐标也可写成:
于Fx=可（可F）—可XVXF
柱坐标系中
r二zZ?
z
dr二dt?
!
：
亠edg：
dzez
dv二-:
d:
d:
dz
—F-匕壬丄壬圭
PcP
.:
z
Vx
\2uJ
-：
u
PcP
?
p
Fp
:
?
:
F:
:
?
z
.z
Fz
-2
-?
2
1：
：
2u：
：
2u
尹戸tz7
球坐标系中
dr=dr?
rdrsin刃?
dv二r2sin^drd巾‘
f▲r~\ar~\
"弋耳1寺？
乔岂？
r2sin日
VF=
cr
Fr
rsin日
r
E
c0
rF日
rsin0F（p
2
r2sinv：
r
3）亥姆霍兹定理:
赴（•口£U1du
（sinE—）*—222
&日r2sin2日砂2
矢量场F可表示为一个无旋场分量和一个无散场分量之和
F二FeFl
其中
F=FlC・Fe=0）
可xF=可汇Fe（可汇F|=0）
因此一个矢量场要从散度和旋度两个方面去研究
4）二函数
宀勺I0（r式r'）
疋乂：
6（r—r）=丿'-一'
迂（r=r）
⑹甘）d-」0（F在v#）
vJ（r在v内）
性质a）偶函数:
、（x）—（-x）
b）取样性：
__f（X）、（x-a）dx二f（a）
有机会用到的表达式:
1-1.证明：
ab=（$9ey2-ez®（$2色3ez4）
=18+6-24
说明A与B相互垂直
1-2.空白1-3.证明：
AB=AxBxAyByAzBz=0
说明A与B相互垂直
1-4.解：
当坐标变量沿坐标轴由ui增至uidm时，相应的线元矢量dli为:
dli=（5duj-（Ui）
=?
其中弧长
3
其中二？
1X1X2X2X3X3二'?
j?
j
1
则dli二hdui
1-5.解：
（1）据'算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有
'、、（AB）二'、（AcB）'、（ABe）
其中Ac、Be暂时视为常矢，再根据二重矢量积公式
a（bc）=（ac）b-（ab）c
将上式右端项的常矢轮换到'的前面，使变矢都留在'的后面
Ac二a、（AcB）二AcCB）（Ac\）B
Be=aI（A・Bc）=Bc（*■：
A）■（Be）A
则
l（AB）二AcCB）（Ach）BBc（'、A）（Bc'）A
除去下标c即可
、（AB）=ACB）（A）BBCA）（B人）A
⑵利用⑴式的结果即可。
（3）据I算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有
l（EH）八（EcH）l（EHc）
再l算子的矢量性，并据公式
a（bc）=c（ab）=b（ca）
将常矢轮换到的前面
'、（EcH）一EcCH）
Ec=a
-b
H=c
'、（EHc）二HcCE）
He=a
■=b
E=c
代入得:
I（EH）=HcCE）-EcCH）
=HCE）-ECH）
1-6.
（1）证:
dAx；：
udAy：
：
udAz:
u
”‘!
，~i-
du：
：
xdu：
：
ydu：
：
z
dA
du
证：
ia（u）二孰）欽
dy&
„:
Az;:
Ay小„:
Ax;:
AzAyAx
）@（）:
z:
x:
x:
y
dAyr=cu兰）ex
du
右边第一项的x分量=ex（咚兰-
du&ydutz
同理
du:
z
咚斗Yu少冏
du；xdu
dAy；:
u
瞠斗*u叫ez
du:
ydu
-dA
'、A（u）八u
du
""Az「Ay
「cA）（————）
excycz
Ax:
Az—（—-—:
y:
z:
x
丄（邑_邑）=0
:
z；xry
1-7.
证:
IR
:
x
RRRR
-R二迅釦迅ey.至鱼
ex'cy'cz'
二釦一（y—y'）釦=上
RRRR
df
据公式'f（uyu
■4—R
R2
R3
1
所以'、-
R
-'1二
R
R
R3
R
-八1=0（梯度的旋度等于零）
R
R3
R3
R3
R3
R（-3）
'、R
-3R
R3
R5
=0
（R=0）
同理
R3
R3
R3
-3
R3
-1
RC3）K'R
-3
R3
R3R
R5
=-V■
R3
-0
（R=0）
1-8.解：
■E0sin（kr）LE°人sin（kr）
=EocoSk（rp（kr）
二Eo（k、）rcoS<（r）
二EokcoS<（r）
'、［Eosin（kr）］二、sinkr）Eo=cosk（r）kEo
上式左边:
c（nf）ds
s
cdv'、f=
dvcCf）
v
利用矢量恒等式:
（fc）二（新；：
f）c=cCf）
dvcCf）=dvi（fc）
vv
--—-NN-
=[（f^c），ds=q（f汇c）nds
二sc（nf）ds
因为c为任意常矢量，则
vdv'f=sdsf
设c为任意常矢量，令F=c,代入Stokes定理
.；、Fds二-lFdl
上式左边
]（:
c）ds=「和：
cds二-Ji：
dsc：
dscds
ss
=cdsP■-
s
上面用到：
a（bc）=b（ca）
右边
lFdl二；l;:
cdl=cIdl
则得：
c-psi二cfdl
因为c是任意的，所以
dsdl
sL
1-10.
证：
据矢量场的散度定理
f▽Fdv=WFnds
Vs
令F-，'和为空间区域中两个任意的标量函数
:
、、jmjdvisfds
上式左边
〉（K2）dv=yS\Rv
所以J•i七t]dv=，：
汽‘-：
ds
vLs
1-11.函数F在M点的散度从它的定义推出
-qFds
'、F=lim—
WiV
如图，考虑U2=c的两个端面
左端面位于u2，右端面位于u2du2
取曲面外法向为正，两个端面对
向外的通量的净贡献是
[FU?
2h1h3du1du3]u2du2[Fu?
2hlh3du1du3]
—（FU?
>h1h3du1du2du3）-u?
=—（F2h1h3）du1du2du3-:
u2
同理其余两对面分别是
—（F1h2h3）du1du2du3
.u1
（F3h1h2）du1du2du3
即什，ds=[—（F』2h3）+—（F2hA）+—（F3h』2）]du1du2du3s:
'u1:
u2:
u3
上式除以V二dv二gdu1du2du3
则矢量F的散度是
-1
F（FhjhQ
.gijk:
U
可®F）=?
（丄旦）+0（丄旦）+U3（丄旦）
hiCUih2和2h3CU3
Ui
x31:
f
=£j~
yhi.:
ui
其中f八F
-\\f=1-'、
gi
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