完整版数列题型及解题方法归纳总结.docx

1、完整版数列题型及解题方法归纳总结知识框架数列的概念f数列的分类!数列的通项公式函数角度理解、数列的递推关系等差数列的定义 an等差数列的通项公式等差数列的求和公式-anJ. =d(n _2)an = a1 (n -1)d0 nn(n -1).S 二, an)=na12一- dam 二 ap aq (m n 二 p q)求和公式及性质,掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用,就有可 能在高考中顺利地解决数列问题.一、典型题的技巧解法1、求通项公式1观察法.2由递推公式求通项.对于由递推公式所确定的数列的求解,通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题.1递推式为 an+1=an+d

2、及 an+1=qan d, q 为常数例1、例1、解an满足 an+1=an+2,而且 a1=1.求 an.an+1-a n =2 为常数an是首项为1,公差为2的等差数列数列两个基本数列等比数列的定义工=qn之2an 1等比数列的通项公式等比数列的求和公式等比数列的性质anSnan=1+2 (n-1 )n 1二aqai -anq=1 -q na1(q =1)a1(1 qn)一 (q =1)1 -q例2、an满足a解二弧即 an=2n-11n书an ,而 a1 2 ,求 an = ?n 12 n.J是常数wanam =apaq (m , n = p , q),1%是以2为首项,公比为5的等比数

3、列-数列求和公式法分组求和错位相减求和?裂项求和第=2,1尸(2)递推式为 an+i=an+f (n)倒序相加求和累加累积、归纳猜想证实珈中/分期付款 数列的应用八其他1例3、an中a1 = 2解：由可知an书-an(2n 1)(2n -1)2n 1令 n=1, 2, , (n-1 ),代入得(n-1 )个等式累加,即(a2-a 1) + (a3-a2)+ + ( an-a n-1 )掌握了数列的根本知识,特别是等差、等比数列的定义、通项公式、2n - 3 2n -11/ /1 1、=-r Ci)+ ()2l 33 51*14n-3an =ai -(1 -):-2 2n - 1 4n -2 说

4、明 只要和f (1) +f (2) +f (n-1)是可求的,就可以由an+1=an+f (n)以n=1, 2,(n-1)代入,可得 n-1个等式累加而求 an.(3)递推式为an+1=pan+q (p, q为常数)例 4、an中,a1 =1 ,对于 n1 (nC N)有 an =3an+2 ,求 an .角军法 ： 由递推式得 an+1=3an+2, an3an-1 +2o 两式才目调an+1-a n=3 (an-an-1) 因此数列an+1-a n是公比为3的等比数列,其首项为 a2-a 1= (3X 1+2) -1=4 - an+1-an=4 3an+1=3an+23an+2-a n=4

5、 , 3 即 a n=2 , 3 -1解法二：上法得a n+1-a n是公比为3的等比数列,于是有：a2-a 1=4, a3-a 2=4 3a4-a3=4 - 3 ,an-an-1 =4 - 3n-,把 n-1 个a尚=4 lA_3+33降+省靖)二彳8 &-an=2 3n-1-11 - 3(4)递推式为an+1=p an+q n (p, q为常数)【例5】a用药二,%产1+(；)叫求知.略解 在小血的两边乘以2呻导2n+L * an+1 = -(2%) +1,令勾=2%：2： L二 2.灯十一bn =一(4 一bn*)由上题的解法,得：4=3 - 2(一)33an =今=3(歹一20 n*说

6、明对于递推式可两边除以产1,得黑二 q2 + L弓|辅助数列g, (bM),得履切=+ 1后用 q q qQnq q(5) 递推式为 2门卡=pan+qan思路：设 an42 = pan 书+ qan,可以变形为：an 也一uan41 = p (an书a an),Q + B - p就是y=Cq + 8)那么可从L 二P解得q,兄Q p =-qi于是an+1- “ an是公比为3的等比数列,就转化为前面的类型.211例6数列&中,为=1,%=2, ant2=-an+1+-an,36 求an.21a + p =p u + 3 =5分析n.R=1a.qj2餐解 在Ma =5+铲门两边减去% ,得*

7、* d+i-%是公比为首项为为=1的等比数列.产一?；,+ ,4 = 1+孤-；6递推式为S与an的关聚式数列求和的常用方法:1、拆项分组法：即把每一项拆成几项,重新组合分成几组,转化为特殊数 列求和.2、错项相减法：适用于差比数列如果an等差,bn等比,那么anbn此类型可利用4Cn = l)1例设%前n项的和5.=4-卬-击.求a血与y的关系;2试用n表示an.叫做差比数列即把每一项都乘以bn的公比q ,向后错一项,再对应同次解1由乂=4-泣Sm+1 =4 -c c /1Sn 1 - Sn - (a n - an 1)( 2 n 2n 一击得_ 1H+1 nft-1)2n 4 )项相减,转

8、化为等比数列求和.3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几 项,可求和.1,适用于数列1和个an an 1可裂项为：an 1 =an -an 1 .,an an.1(,d anan,1_1. _1前 1 一 2 an 2n上式两边同乘以2n+1得2n Wan+2那么2 nan是公差为2的等差数列.2nan= 2+ ( n-1 ) 2=2n等差数列前n项和的最值问题：1、假设等差数列an的首项ai 0 ,公差d 0 ,那么前n项和&有最大值.#、an -0(i )右通项an ,那么Sn最大U ian 1 - 0(ii)假设Sn = pn2+qn,那么当n取最靠近力-的非

9、零自然数时Sn最 2p大；2、假设等差数列4 的首项ai 2)f (1),(n =1) a1 La2an =f (n)求 an ,用作商法：an = f (n) / n f(n-1),( _)条件中既有Sn还有an,有时先求Sn,再求2口；有时也可直接求20 假设an由一 an = f(n) 求 an 用 累 加 法an = (an - an)(an- an/) IH (a2-a1)+a (n 2) o亘=f (n)求an ,用累乘法：an = -a- 亘卫川三a (n之2).ananan_2a1递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列).特别地,(1)形如an =kan+ b、an

10、= kan+ bn (k,b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后,再求an ；形如an = kan+ kn的递推数列都可以除以 kn得到一个等差数列后,再求an.a(2)形如an=n 的递推数列都可以用倒数法求通项.kanJ bk(3)形如an由 = an的递推数列都可以用对数法求通项.(7)(理科)数学归纳法.(8)当遇到an书-an=d或亘土 = q时,分奇数项偶数项讨论,结果可 an 1能是分段形式.数列求和的常用方法：(1)公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式.(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式中“同类项先合并在一起,再运用公式法

11、求和.(3)倒序相加法：假设和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,那么常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n和公式的推导方法.4错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法这也是等比数列前 n和公式的推导方 法.5裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：“111n 之 2时,一a1+Fa2 + an=2n 1+5222 一一11 A- 2 A 得：pan=2anW1=1 n(n 1) n n 1n(n k)4(i-八

12、11111:二= ()k2k2 -12 k -1 k 11111111一= 2 = 一；k k 1 (k 1)k k2 (k -1)k k -1 k1n(n 1)(n 2)(n 1)(n 2)n(n 1)!11n! (n 1)! 2d、.n)2一.2.n 、n 1、n . n n -1=2(、. n ：/n T)14 (n = 1)一 an =n书2 (n_2)练习1数列匕口满足Sn+Sn+=5an书,a1 = 4,求an3S ,(注意到an+=Sn+ Sn代入得：义也=4Sn、解题方法:求数列通项公式的常用方法:1、公式法2、由Sn求an又51 =4,Sn是等比数列,Sn=4n n*2时,a

13、n=Sn-Sn= = 3,4n4、叠乘法例如：数列匕/中,a1 =3, - =n- ,求anan n 1(n =1时,a1 S1 ：. n 之2时,an =Sn Sn)3、求差(商)法如： Qn 满足 1al+a2 + +an =2n +52222n1解：n =1时,-a1 = 2 1 . 5, a1 =142解：至曳旦=- 2口 ：包=a1 a2an 23 na1 n又a1 = 3, , an =一n5、等差型递推公式由an -an=f(n), a1 =ao,求an,用迭加法.ann 之2时,a2 -a1 =f(2)a3 -a2 =f(3)两边相加,得:anc -1c-1n1, can -a

14、n J,二f(n)an -凡=f(2) f(3)fn练习1-an =ao f(2) f(3)f(n)练习1数歹 U an, a1 =1, an = 3n +an2 2 ),求 an6、等比型递推公式an=canq+d(c、d为常数,c#0, c#1, d#0)可转化为等比数列,设 an X = c and X=an = can 4 c-1 X令(c - 1)x = d, xan 是首项为a1十-1c为公比的等比数列ra1c -1n-1dc - 一c-1数列an满足a1 = 9,求an9n4=8 -47、倒数法例如：a1由得:3,1,an 1 an 1)an -1an 12anan 22an求a

15、n1 名,I2为等差数列,an1,公差为an11=1 +(n -1) 一 = (n + 1)22n项和公式求和,另外记住以an2.数列求和问题的方法(1)、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前 下公式对求和来说是有益的.,、,口 8+1)1 + 2 + 3+n=多221 + 3 + 5+ + (2n-1)=n2 . 2 . 2 . 2n(n+l)(2n +1)la+22 + 33 + +na =-913+23+?+/=旦磬匕【例 8】 求数列 1, (3+5), (7+9+10), (13+15+17+19),前 n 项的和.1 ,解此题头际是求各奇数的和,在数列的刖n项中,共

16、有1+2+n=n(n+1)2个奇数,(2)、分解转化法对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和.【例 9】求和 S=1(n2-1) + 2 (n2-22) +3 - (n2-3 2) + +n(n2-n2) 解 S=n 2 (1+2+3+n) - (13+23+33+M)=n2 ,n (n +1) -工口.(n + 1)工 24=(口+ 1) (n - 1)=,(口=1)(3)、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列,采取把正着写与倒 着写的两个和式相加,然后求和.例 10、求和：Sn = 3C：+6C：+III 十 3nC；例 10、解 Sn =0*C0+3C

17、n+6C2+| + 3nCrn又一 =3n. + 3 & -1) C丁】+ +0C： 相加,且运用Ct = C：k可得2sti = 3n +C： + +C：) = 3n * 2n,最后一个奇数为：1+ 1 n(n+1)-1 x2=n2+n-12因此所求数列的前n项的和为1 r 、1 + (n3 +n -1)Sn=-n (n + 1) - J二 (r? (n + 1) 2CSn=3n 2n-1(4)、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的,可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比,然后错位相减求和.例 11、 求数列 1, 3x, 5x2, ,(2n-1)x n-1

18、 前 n 项的和.解 设 $=1+3+5x2+(2n-1)x n-1 .当xl时,s宜J； D * 口二11(2)X=0 时,Sn=1 . 当xw0且xwl时,在式两边同乘以 x得xS n=x+3x2+5x3+ +(2n-1)x n,-,得(1-x)S n=1+2x+2x,2x3+ - +2xn-1-(2n-1)x n.由公式知S. =q- 1 + 1 - 1)切1翼If1 + x - (2n 4 1)五推 + (2n - l)xn+l= (5)裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式,然后前后相消.常见裂项方法：11 ri 1 1n(n + k) k n n + k11I1Ln(n +

19、 l)(n + 2)2 n n + 1 n + 2而dk 9g叫一 一 1111例 12、求和+| 1 *5 3 *7 5 *9(2n -1)(2n 3)M田加 1111例3 求不口+ +1,5 3 , 7 5 9(2n-l)(2n+3)I1 1 1II(2n-1)(2 口+ 3) 4、2口-1 2口+ YIII 1+ , , +a 4l 5 3 7 5 92n-3 2n +1 2n -1 2n + 3111 r-r i +4l 3 2n + l 2n+ 3 n(4n+5)- 3(2n +1)(2口+ 3)注：在消项时一定注意消去了哪些项,还剩下哪些项,一般地剩下的正项与 负项一样多.在掌握常

20、见题型的解法的同时,也要注重数学思想在解决数列问题 时的应用.二、常用数学思想方法1.函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决.【例13】等差数列an的首项ai0,前n项的和为 氢 假设S=8 (l wk)问n为何值时Sn最大解依题意,设f (口)= =口软1 + fl dai0S产Sk (lwk) , . .dvO 故此二此函数以n为自变量的二次用徵次函数的图像开口向下 ,当露二一一时f (笈)最大,f (n)中,No f (l ) =f (k),当1+k为偶数时,n = 时S1t最大口 当1+k为奇数时,口=匕衿时S0最大.I. .x=1ogak, y=log bk, z=log ck此题还可以作如下思考：S6=S3+q3S3= (1+q3)S9=S3+q3&=S (1+q3+q6),.由 $+6=2$可彳导 2+q3=2 (1+q3+q6) , 2q6+q3=031V4q =-5, 乙u3.换元思想【例15】 a, b, c是不为1的正数,x, y, zC R+,且1 1 2有/=1/ =匚端口 二一x z y求证：a, b, c顺次成等比数列.证实依题意令ax=by=cz=k