完整版数列题型及解题方法归纳总结.docx
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完整版数列题型及解题方法归纳总结
知识框架
数列
的概念
f数列的分类
!
数列的通项公式~函数角度理解
、数列的递推关系
’等差数列的定义an
等差数列的通项公式
等差数列的求和公式
-anJ.=d（n_2）
an=a1（n-1）d
0nn（n-1）.
S二,⑶an）=na12一-d
am二apaq（mn二pq）
求和公式及性质,掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用,就有可能在高考中顺利地解决数列问题.
一、典型题的技巧解法
1、求通项公式
〔1〕观察法.〔2〕由递推公式求通项.
对于由递推公式所确定的数列的求解,通常可通过对递推公式的变换转化成等
差数列或等比数列问题.
〔1〕递推式为an+1=an+d及an+1=qan〔d,q为常数〕
例1、
例1、解
｛an｝满足an+1=an+2,而且a1=1.求an.
an+1-an=2为常数
・•・｛an｝是首项为1,公差为2的等差数列
数列
两个基
本数列
等比数列的定义工=q〔n之2〕
an1
等比数列的通项公式
等比数列的求和公式
等比数列的性质
an
Sn
an=1+2（n-1）
n1
二aq
ai-anq
=1-qna1（q=1）
a1（1—qn）
一（q=1）
1-q
例2、｛an｝满足a
解二弧
即an=2n-1
1
n书—an,而a1—2,求an=?
n12n
.J是常数
w
anam=apaq（m,n=p,q）
1%｝是以2为首项,公比为5的等比数列
--
数列
求和
’公式法
分组求和
错位相减求和
?
裂项求和
第=2,1尸
（2）递推式为an+i=an+f（n）
倒序相加求和
累加累积
、归纳猜想证实
珈中/分期付款数列的应用八
［其他
1
例3、｛an｝中a1=—2
解：
由可知an书-an
（2n1）（2n-1）
2n1
令n=1,2,••,（n-1）,代入得（n-1）个等式累加,即（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
掌握了数列的根本知识,特别是等差、等比数列的定义、通项公式、
2n-32n-1
1//11、
=-rCi—）+（—）
2l335
1*14n-3
an=ai-（1----）:
---
22n-14n-2
★说明只要和f
（1）+f
（2）+…+f（n-1）是可求的,就可以由
an+1=an+f（n）以n=1,2,…,（n-1）代入,可得n-1个等式累加而求an.
（3）递推式为an+1=pan+q（p,q为常数）
例4、｛an｝中,a1=1,对于n>1（nCN）有an=3an」+2,求an.
角军法'"：
由递推式得an+1=3an+2,an—3an-1+2o两'式^才目调an+1-an=3（an-an-1）因此数列｛an+1-an｝是公比为3的等比数列,其首项为a2-a1=（3X1+2）-1=4
•-an+1-an=4"3an+1=3an+23an+2-an=4,3即an=2,3-1
解法二：
上法得｛an+1-an｝是公比为3的等比数列,于是有：
a2-a1=4,a3-a2=43
a4-a3=4-3,…,an-an-1=4-3n-,
把n-1个a—尚=4[lA_3+33降…+省靖）二彳8"—&---
an=2•3n-1-11-3
（4）递推式为an+1=pan+qn（p,q为常数）
【例5】a用药二,%产1+（；）叫求知.
略解在小血的两边乘以2呻导
2n+L*an+1=-（2%）+1,令勾=2%
：
2：
L——二2.
灯十一bn=一（4一bn*）由上题的解法,得：
4=3-2
（一）
33
an=今=3（歹一20n
*说明对于递推式可两边除以产1,得黑二q
2+L弓|辅助数列｛g,（b—M）,得履切=+1后用qqqQnqq
（5）递推式为2门卡=pan++qan
思路：
设an42=pan书+qan,可以变形为：
an也一uan41=p（an书—aan）,
[Q+B-p
就是y=Cq+8）那么可从L二P解得q,兄
[Q•p=-q
i
于是｛an+1-“an｝是公比为3的等比数列,就转化为前面的类型.
21
1例6]数列&｝中,为=1,%=2,ant2=-an+1+-an,
36求
an.
21
a+p=p]u+3=5
分析n.R'=1｝
a.—qj
2「"餐
解在Ma=5+铲门两边减去%[,得
**d+i
-%｝是公比为首项为为=1的等比数列.
产〔一?
«；〕〞,,+〔
4=1+孤-〔-；〕
〔6〕递推式为S与an的关聚式
数列求和的常用方法:
1、拆项分组法：
即把每一项拆成几项,重新组合分成几组,转化为特殊数列求和.
2、错项相减法：
适用于差比数列〔如果｛an｝等差,｛bn｝等比,那么｛anbn｝
此类型可利用4
Cn=l）
1例〞设｛%〕前n项的和5.=4-卬-击.⑴求a血与y的关系;
〔2〕试用n表示an.°
叫做差比数列〕
即把每一项都乘以｛bn｝的公比q,向后错一项,再对应同次
解〔1〕由乂=4-泣
Sm+1=4-
cc/\/1
Sn1-Sn-（an-an1）（2n~2
n一击得
_1
^H+1nft-1
」）
2n4）
项相减,转化为等比数列求和.
3、裂项相消法：
即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,可求和.
……1,
适用于数列1＞和个
anan1
可裂项为：
an1=an-an1.,
anan.1
（,
dan
an,1
_1._1
前1一2an2n
上式两边同乘以
2n+1得2nWan+2那么｛2nan｝是公差为2的等差数列.
2nan=2+（n-1）•2=2n
等差数列前n项和的最值问题：
1、假设等差数列｛an｝的首项ai>0,公差d<0,那么前n项和&有最大值.
#、an-0
（i）右通项an,那么Sn最大Ui
an1-0
（ii）假设Sn=pn2+qn,那么当n取最靠近—力-的非零自然数时Sn最2p
大；
2、假设等差数列｛4｝的首项ai<0,公差dA0,那么前n项和&有最小值
4「、…anm0
（i）右通项an,那么Sn最小仁（
ani-0
2q
（ii）右Sn=pn+qn,那么当n取最靠近的非零自然数时Sn最2p
小；
数列通项的求法：
⑴公式法：
①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.
⑵Sn（即ai+&+lll+an=f（n））求an,用作差法
a={Si,（n=1）
an-Sn-SnJ1（n>2）°
f
（1）,（n=1）
a1La2an=f（n）求an,用作商法：
an=«f（n）/n>°
f（n-1）,（_）
⑶条件中既有Sn还有an,有时先求Sn,再求2口；有时也可直接求20
⑷假设an由一an=f（n）求an用累加法
an=（an-an」）•（an」-an/）IH（a2-a1）
+a〔（n>2）o
⑸亘'=f（n）求an,用累乘法：
an=-a^-'亘卫川■三a（n之2）.
anan」an_2a1
⑹递推关系求an,用构造法（构造等差、等比数列）.
特别地,
（1）形如an=kan」+b、an=kan」+bn（k,b为常数）的递
推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后,再求an；形
如an=kan」+kn的递推数列都可以除以kn得到一个等差数列后,再求
an.
a
（2）形如an=n^的递推数列都可以用倒数法求通项.
kanJb
k
（3）形如an由=an的递推数列都可以用对数法求通项.
（7）（理科）数学归纳法.
（8）当遇到an书-an」=d或亘土=q时,分奇数项偶数项讨论,结果可an1
能是分段形式.
数列求和的常用方法：
（1）公式法：
①等差数列求和公式；②等比数列求和公式.
（2）分组求和法：
在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式〞中“同类项〞
先合并在一起,再运用公式法求和.
（3）倒序相加法：
假设和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与
组合数相关联,那么常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和（这也是
等差数列前n和公式的推导方法〕.
〔4〕错位相减法：
如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的
通项相乘构成,那么常选用错位相减法〔这也是等比数列前n和公式的推导方法〕.
〔5〕裂项相消法：
如果数列的通项可“分裂成两项差〞的形式,且相邻项分裂
后相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
“111
n之2时,一a1+Fa2+an」=2n—1+5
222一一
1
<1A-<2A得：
p~an=2
••an
W1
^^=1n（n1）nn1
n（nk）
4（i-
八11111
③—:
二——=—（）
k2k2-12k-1k1
1111111
一—=<—2<=—一；
kk1（k1）kk2（k-1）kk-1k
1
n（n1）（n2）
（n1）（n2）
n
（n1）!
11
n!
（n1）!
⑥2d、.n）—2一」.「2
.n、n1、n.nn-1
=2（、.n—：
/nT）
’14（n=1）
一an=」n书
2（n_2）
[练习1
数列匕口｝满足Sn+Sn+="5an书,a1=4,求an
3
S,
（注意到an+=Sn+—Sn代入得：
义也=4
Sn
、解题方法:
求数列通项公式的常用方法:
1、公式法
2、由Sn求an
又51=4,{Sn}是等比数列,Sn=4nn*2时,an=Sn-Sn===3,4n'
4、叠乘法
例如：
数列匕/中,a1=3,-=^n-,求an
ann1
（n=1时,a1—S1：
.n之2时,an=Sn—Sn」）
3、求差（商）法
如：
Qn｝满足1al+^a2++—an=2n+5<1>
2222n
1
解：
n=1时,-a1=21.5,•・a1=14
2
解：
至•曳……旦=」-2……口：
包=」
a1a2an」23na1n
又a1=3,•,an=一
n
5、等差型递推公式
由an-an」=f（n）,a1=ao,求an,用迭加法
•.an
n之2时,a2-a1=f
（2）
a3-a2=f（3）两边相加,得:
••an
c-1
c-1
n—1
c
an-anJ,二f（n）
an-凡=f
（2）f（3）
f〔n〕
［练习1
-an=aof
（2）f（3）
f（n）
［练习1
数歹U{an},a1=1,an=3n'+an」⑺22）,求an
6、等比型递推公式
an=canq+d（c、d为常数,c#0,c#1,d#0）
可转化为等比数列,设anX=candX
=an=can4c-1X
令（c-1）x=d,x
an•
—〕是首项为a1十
-1
c为公比的等比数列
r
a1
c-1
n-1d
c-一
c-1
数列{an}满足a1=9,
求an
9n
4
=8-4
7、倒数法
例如：
a1
由得:
3,
1,
an1an
•1）
an-1
an1
2an
an2
2an
求an
1名…
I2｝为等差数列,
an
1,
公差为
an
11
=1+（n-1）•一=—（n+1）
22
n项和公式求和,另外记住以
••an
2.数列求和问题的方法
（1）、应用公式法
等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前下公式对求和来说是有益的.
、,口8+1）
1+2+3+……+n=多」
2
2
1+3+5++（2n-1）=n
2.2.2..2n（n+l）（2n+1）
la+22+33+……+na=-——9
13+23+?
……+/=[旦磬匕
【例8】求数列1,（3+5）,（7+9+10）,（13+15+17+19）,…前n项的和.
1,
解此题头际是求各奇数的和,在数列的刖n项中,共有1+2+・・・+n=—n（n+1）
2
个奇数,
（2）、分解转化法
对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和.
【例9】求和S=1（n2-1）+2•（n2-22）+3-（n2-32）+…+n（n2-n2）解S=n2（1+2+3+…+n）-（13+23+33+…+M）
=n2♦,n（n+1）-工口.（n+1）工24
=（口+1）（n-1）
=,（口=1）
（3）、倒序相加法
适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列,采取把正着写与倒着写的两个和式相加,然后求和.
例10、求和：
Sn=3C：
+6C：
+III十3nC；
例10、解Sn=0*C0+3Cn+6C2+|||+3nCrn
又一=3n.+3&-1）C丁】+…+0C：
相加,且运用Ct=C：
k可得
2sti=3n©+C：
+…+C：
）=3n*2n
最后一个奇数为：
1+[1n（n+1）-1]x2=n2+n-1
2
因此所求数列的前n项的和为
1r、[1+（n3+n-1）]
Sn=-n（n+1）-—J———
二（r?
（n+1）2C
Sn=3n•2n-1
（4）、错位相减法
如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的,可把和
式的两端同乘以上面的等比数列的公比,然后错位相减求和.
例11、求数列1,3x,5x2,••,（2n-1）xn-1前n项的和.
解设$=1+3+5x2+…+（2n-1）xn-1.①
⑴当xl时,s宜J"；D*口二~
1—1
（2）X=0时,Sn=1.
⑶当xw0且xwl时,在式①两边同乘以x得xSn=x+3x2+5x3+•••+（2n-1）xn,
①-②,得（1-x）Sn=1+2x+2x,2x3+-+2xn-1-（2n-1）xn.
由公式知S.=q-[1+1-⑵-1）切
1」翼If
1+x-（2n41）五推+（2n-l）xn+l
='
（5）裂项法：
把通项公式整理成两项（式多项）差的形式,然后前后相消.
常见裂项方法：
11ri11
n（n+k）k[nn+k
11I1L'
n（n+l）（n+2）2nn+1n+2
而dk9g叫
一一1111
例12、求和+++|
1*53*75*9（2n-1）（2n3）
M田加1111
例3求不口+++■"+
1,53,75・9（2n-l）（2n+3）
I111
II（2n-1）（2口+3）4、2口-12口+Y"
III—[1+++■,,++
a4l537592n-32n+12n-12n+3
111r
--ri+]
4l32n+l2n+3」n（4n+5）
-3（2n+1）（2口+3）
注：
在消项时一定注意消去了哪些项,还剩下哪些项,一般地剩下的正项与负项一样多.
在掌握常见题型的解法的同时,也要注重数学思想在解决数列问题时的应用.
二、常用数学思想方法
1.函数思想
运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决.
【例13】等差数列｛an｝的首项ai>0,前n项的和为氢假设S=8（lwk）问n
为何值时Sn最大
解依题意,设f（口）==口软1+fl"d
ai>0S产Sk（lwk）,..dvO故此二
此函数以n为自变量的二次用徵
次函数的图像开口向下,当露二一^一时f（笈）最大,f（n）中,No
•••f（l）=f（k）"
当1+k为偶数时,n=——时S1t最大口当1+k为奇数时,口=匕衿时S0最大.
I.
•.x=1ogak,y=logbk,z=logck
此题还可以作如下思考：
S6=S3+q3S3=（1+q3）S9=S3+q3&=S（1+q3+q6）,
••.由$+6=2$可彳导2+q3=2（1+q3+q6）,2q6+q3=0
31V4
q=-5,乙u
3.换元思想
【例15】a,b,c是不为1的正数,x,y,zCR+,且
112
有/=1/=匚端口——二一
xzy
求证：
a,b,c顺次成等比数列.
证实依题意令ax=by=cz=k
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