东北大学现代控制理论试卷.doc

1、2005年现代控制理论试题及答案1 已知系统，试求其状态空间最小实现。（5分）设系统的状态方程及输出方程为 试判定系统的能控性。（5分）解： 取拉氏变换知 （3分）其状态空间最小实现为； （2分） （2分） ，秩为2，系统状态不完全能控。 （3分）2 已知系统的状态空间表达式为； 试求当时，系统的输出。（10分）解 ， （5分） （3分） （2分）3给定系统的状态空间表达式为，试确定该系统能否状态反馈解耦，若能，则将其解耦（10分）解 ， 所以， （4分）。 （1分） 又因为非奇异，所以能用实现解耦控制。 （2分） （1分）求出 （2分）4 给定系统的状态空间表达式为设计一个具有特征值为的全维

2、状态观测器（10分）解 令, 代入系统得 （5分）理想特征多项式为 （1分）列方程，比较系数求得 （2分）全维状态观测器为 （2分） 5 已知非线性系统 试求系统的平衡点，并确定出可以保证系统大范围渐近稳定的的范围。（5分） 判定系统在原点的稳定性。(5分)解 显然原点为一个平衡点，根据克拉索夫斯基方法，可知因为 ；所以，当时，该系统在原点大范围渐近稳定。解上述不等式知，时，不等式恒成立。即时，系统在原点大范围渐近稳定。 判定系统在原点的稳定性。解 ，两个特征根均具有负实部，（3分）系统大范围一致渐近稳定。（2分）无大范围扣一分，无一致渐近扣一分。 6 已知系统 试将其化为能控标准型。（10分

3、）解 ， （2分） （2分） （2分） （2分）能控标准型为 （2分）7 已知子系统 ， 求出串联后系统 解 组合系统状态空间表达式为 （5分）组合系统传递函数为 （2分） （3分） 2006年现代控制理论B卷试题及答案1（10分）导航制导中的飞行器软着陆或火箭垂直升空问题，可以抽象成如图1所示的模型来表示。各种外界因素（包括重力加速度）可以归结为一个假设的弹簧，其弹性系数设为。设物体的质量为，推力为。试建立此模型的状态方程和输出方程。解：由牛顿第二定律得 1分 2分令，得 1分 2分 1分写成 2分 1分2（5分）试从如下的高阶微分方程求得系统的状态方程和输出方程解：选取状态变量，可得 1分

4、 1分写成 2分 1分3 （10分）已知系统 ，求解 .（2分）.（2分）.（2分）.（2分）.（2分）4 （5分）已知系统，判定该系统是否完全能控？ 解 .（1分）.（1分）.（1分），所以该系统不完全能观.（2分）5 （10分）将下列状态方程化为能控标准形解 .（1分）.（1分）.（1分）.（1分）.（2分）.（2分）.（1分） .（1分）6 （5分）利用李亚普诺夫第一方法判定系统的稳定性。(5分)解 .（2分）特征根.（2分）均具有负实部，系统在原点附近一致渐近稳定.（1分）7（5分）利用李雅普诺夫第二方法判断下列系统是否为大范围渐近稳定：解 .（1分）.（1分）.（1分）.（1分）正定

5、，因此系统在原点处是大范围渐近稳定的.（1分）8 （5分）给定线性时变系统， 判定其原点是否是大范围渐近稳定。解 .（1分）.（1分）.（2分）系统在原点处大范围渐近稳定. （1分）9（5分）已知系统传递函数阵为 是判断该系统能否用状态反馈和输入变换实现解耦控制。解 - 2分， - 2分 非奇异，可实现解耦控制。 - 1分10（10分）给定系统的状态空间表达式为设计一个具有特征值为-1，-1，-1的全维状态观测器。解方法1 2分 2分又因为 2分列方程 2分 1分观测器为 1分方法2 - 2分 -2分 -2分 -2分 1分观测器为 2007现代控制理论试题A卷及答案一、（10分）考虑如图的质量

6、弹簧系统。其中，m为运动物体的质量，k为弹簧的弹性系数，h为阻尼器的阻尼系数，f为系统所受外力。取物体位移为状态变量x1，速度为状态变量x2，并取位移为系统输出y，外力为系统输入u，试建立系统的状态空间表达式。解 .1分令位移变量为x1，速度变量为x2，外力为输入u，有2分于是有.1分.2分再令位移为系统的输出y，有.1分写成状态空间表达式，即矩阵形式，有.2分.2分二、（8分）矩阵是的常数矩阵，关于系统的状态方程式，有时，；时，。试确定状态转移矩阵和矩阵。解 因为系统的零输入响应是 .2分所以，将它们综合起来，得 .2分 .2分而状态转移矩阵的性质可知，状态转移矩阵满足微分方程和初始条件 因

7、此代入初始时间可得矩阵为：.1分.1分三、（10分）（1）设系统为试求出在输入为时系统的状态响应（7分）。(2)已知系统，写出其对偶系统（3分）。解 （1）.1分.2分.1分.1分.2分（2）.2分.1分四、（10分）（1）求系统的传递函数.（5分）(2)求系统的能控标准型（可以不求变换矩阵）。（5分）解 (1)由状态空间表达式得到传递函数的公式为：.1分由.1分得.1分于是.2分（2）.1分 .1分.1分1分从而知能控标准型为1分五、(10分）（1）利用Lyapunov第一方法判断系统平衡点的稳定性（5分）：（2）取，通过求解Lyapunov方程判断系统平衡点的稳定性（5分）：解 （1）.2

8、分.1分的特征值为，具有正实部.1分所以系统在平衡点不稳定.1分（2）令.1分.1分.2分，正定，大范围一致渐近稳定.1分六、（12分）（1）实数满足什么条件时系统状态完全能控（4分）？（2）简述系统状态完全能控性的涵义，说明状态能控与输出能控的区别（4分）。（3）简述系统大范围渐近稳定的涵义（4分）解（1）.1分.1分.1分当时，系统状态完全能控.1分（2）若系统状态完全能控，则在有限时间，有限控制下，能将系统由任意初始状态转移到任意制定的状态。.2分大多数情况下系统状态能控可以保证输出能控，而输出能控往往不能保证状态能控。.2分（3）涵义为对任意的初始状态，系统的平衡状态是Lyapunov

9、意义下稳定的， .2分且系统状态以该平衡状态为极限。 .2分七、（10分）（1）求观测增益，使成为系统，的全维状态观测器，且极点为（6分）。（2）判断系统能否利用状态反馈和输入的非奇异变换实现输入输出解耦（4分）：，。解（1）.1分.2分.1分，.2分（2）.1分.1分.1分可逆，所以能够解耦.1分 2008 现代控制理论试题B卷及答案一、1 系统能控的状态变量个数是，能观测的状态变量个数是。（4分） 2试从高阶微分方程求得系统的状态方程和输出方程（4分）解：1 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。状态变量个数是2。.（4分）2 解：选取状态变量，可得 .（1分） .（1分）写成

10、 .（1分） .（1分）二、1给出线性定常系统能控的定义。（3分）2已知系统，判定该系统是否完全能观？(5分)解：1答：若存在控制向量序列，时系统从第步的状态开始，在第步达到零状态，即，其中是大于0的有限数，那么就称此系统在第步上是能控的。若对每一个，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。.（3分） 2. .（1分）.（1分）.（1分），所以该系统不完全能观.（2分）三、已知系统1、2的传递函数分别为求两系统串联后系统的最小实现。（8分）解 .（5分） 最小实现为 .（3分）四、将下列状态方程化为能控标准形。(8分)解 .（1分）.（1分）.（1分）.（1分）.（1分）

11、.（1分）.（1分）.（1分）五、利用李亚普诺夫第一方法判定系统的稳定性。（8分）解 .（3分）特征根.（3分）均具有负实部，系统在原点附近一致渐近稳定.（2分）六、利用李雅普诺夫第二方法判断系统是否为大范围渐近稳定： （8分）解 .（1分）.（1分）.（1分） .（1分）.（1分）正定，因此系统在原点处是大范围渐近稳定的.（1分）七、已知系统传递函数阵为 试判断该系统能否用状态反馈和输入变换实现解耦控制。（6分）解： - （2分）， - （2分） 非奇异，可实现解耦控制。- （2分）八、给定系统的状态空间表达式为，设计一个具有特征值为-1， -1，-1的全维状态观测器。（8分）解：方法1 -

12、 1分 - 2分又因为 - 1分列方程 - 2分 - 1分观测器为 - 1分方法2 - 1分 -2分 -1分 -2分 1分观测器为 - 1分九 解 ， .（1分）.（1分）.（1分）.（1分）.（2分）.（2分） 2009年现代控制理论试题及答案1、（10分）求线性变换，将以下系统化为能控标准形：解：能控性矩阵为2分 能控性矩阵的逆为1分 .1分2分2分1分.1分2、（10分）通过定义状态变量建立以下系统的状态空间表达式解：令.2分 得 2分 .2分 .1分 进而有2分 .1分3、 （10分）求以下系统的状态响应解： 由得 .2分 .2分 .2分 .2分 .1分 .1分4、 （10分）令为二阶

13、单位矩阵。求解Lyapunov方程判断以下系统的稳定性解 令.1分 得.2分 .2分 .2分 由 .2分可知正定，所以系统渐近稳定.1分5、 （10分）求系统的平衡点，并利用函数判断稳定性解 系统状态方程即为.1分 对任意时间，成立，得1分在-平面的一、三象限内.2分 而在同一区域内.2分 .2分 所以系统不稳定.2分6、 （10分）已知系统，求形如 的全维状态观测器，且极点为。其中分别为原系统得系统、控制和输出矩阵。解 令.1分 则2分计算知理想特征多项式为.2分 列方程得.2分 解方程得.2分 从而状态观测器为.1分7、（10分）已知系统，判断其能控性、能观性，并求传递函数。解 能控性矩阵.2分 由于秩小于3，可知不能控.1分 能观性矩阵.2分 由于秩小于3，可知不能观.1分 传递函数为.2分 .2分