东北大学现代控制理论试卷.doc

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2005年现代控制理论试题及答案

1①已知系统，试求其状态空间最小实现。

（5分）

②设系统的状态方程及输出方程为

试判定系统的能控性。

（5分）

解：

①取拉氏变换知

（3分）

其状态空间最小实现为

；（2分）

②（2分）

，秩为2，

系统状态不完全能控。

（3分）

2已知系统的状态空间表达式为

；；

试求当时，系统的输出。

（10分）

解，（5分）

（3分）

（2分）

3给定系统的状态空间表达式为

，

试确定该系统能否状态反馈解耦，若能，则将其解耦（10分）

解

，

所以，（4分）

。

（1分）

又因为非奇异，所以能用实现解耦控制。

（2分）

（1分）

求出（2分）

4给定系统的状态空间表达式为

设计一个具有特征值为的全维状态观测器（10分）

解令,代入系统得

（5分）

理想特征多项式为

（1分）

列方程，比较系数求得

（2分）

全维状态观测器为

（2分）

5①已知非线性系统

试求系统的平衡点，并确定出可以保证系统大范围渐近稳定的的范围。

（5分）

②判定系统在原点的稳定性。

（5分）

解

①显然原点为一个平衡点，根据克拉索夫斯基方法，可知

因为；所以，当

时，该系统在原点大范围渐近稳定。

解上述不等式知，时，不等式恒成立。

即时，系统在原点大范围渐近稳定。

②判定系统在原点的稳定性。

解，两个特征根均具有负实部，（3分）

系统大范围一致渐近稳定。

（2分）

无大范围扣一分，无一致渐近扣一分。

6已知系统

试将其化为能控标准型。

（10分）

解，（2分）

（2分）

（2分）

（2分）

能控标准型为（2分）

7已知子系统

，

求出串联后系统

解组合系统状态空间表达式为

（5分）

组合系统传递函数为

（2分）

（3分）

2006年现代控制理论B卷试题及答案

1（10分）导航制导中的飞行器软着陆或火箭垂直升空问题，可以抽象成如图1所示的模型来表示。

各种外界因素（包括重力加速度）可以归结为一个假设的弹簧，其弹性系数设为。

设物体的质量为，推力为。

试建立此模型的状态方程和输出方程。

解：

由牛顿第二定律得————1分

————2分

令，，，得————1分

————2分

————1分

写成

————2分

————1分

2（5分）试从如下的高阶微分方程求得系统的状态方程和输出方程

解：

选取状态变量，，，可得————1分

————1分

写成

————2分

————1分

3（10分）已知系统，求

解

…………………………..……….（2分）

………..……….（2分）

………..……….（2分）

……….……….（2分）

……………..……….（2分）

4（5分）已知系统，判定该系统是否完全能控？

解………..……….（1分）

……..……….（1分）

………………..……….（1分）

，所以该系统不完全能观……..….…….（2分）

5（10分）将下列状态方程化为能控标准形

解……..…………….…….（1分）

……..…………..…….…….（1分）

……..………….…..…….…….（1分）

……..………….…...…….…….（1分）

..………….…...…….…….（2分）

………….…...…….…….（2分）

……….…...…….…….（1分）

……….…...…….…….（1分）

6（5分）利用李亚普诺夫第一方法判定系统的稳定性。

（5分）

解

…………...……....…….…….（2分）

特征根…………...…...…….…….（2分）

均具有负实部，系统在原点附近一致渐近稳定…...…….…….（1分）

7（5分）利用李雅普诺夫第二方法判断下列系统是否为大范围渐近稳定：

解

…………...……....…….…….（1分）

………...……....…….…….（1分）

………...…………....…….…….（1分）

………...（1分）

正定，因此系统在原点处是大范围渐近稳定的.………（1分）

8（5分）给定线性时变系统

，

判定其原点是否是大范围渐近稳定。

解

………...…….…….（1分）

..………….（1分）

..…….………………………………...（2分）

系统在原点处大范围渐近稳定………………………..（1分）

9（5分）已知系统传递函数阵为

是判断该系统能否用状态反馈和输入变换实现解耦控制。

解

--------2分

，------2分

非奇异，可实现解耦控制。

-----1分

10（10分）给定系统的状态空间表达式为

设计一个具有特征值为-1，-1，-1的全维状态观测器。

解方法1

2分

2分

又因为2分

列方程

2分

1分

观测器为

1分

方法2

-------------------2分

-------------------2分

-------------------2分

------------------2分

1分

观测器为

2007现代控制理论试题A卷及答案

一、（10分）考虑如图的质量弹簧系统。

其中，m为运动物体的质量，k为弹簧的弹性系数，h为阻尼器的阻尼系数，f为系统所受外力。

取物体位移为状态变量x1，速度为状态变量x2，并取位移为系统输出y，外力为系统输入u，试建立系统的状态空间表达式。

解

……………………………….……1分

令位移变量为x1，速度变量为x2，外力为输入u，有

………………………………2分

于是有

………………………………..……………1分

……….….……………….2分

再令位移为系统的输出y，有

…………………………….……….1分

写成状态空间表达式，即矩阵形式，有

………..……………..2分

……………………..……….……….2分

二、（8分）矩阵是的常数矩阵，关于系统的状态方程式，有

时，；时，。

试确定状态转移矩阵和矩阵。

解

因为系统的零输入响应是

……………..……….……….2分

所以

，

将它们综合起来，得

……………….……….2分

…………….……….2分

而状态转移矩阵的性质可知，状态转移矩阵满足微分方程

和初始条件

因此代入初始时间可得矩阵为：

…………….……….1分

…………………………………….……….1分

三、（10分）

（1）设系统为

试求出在输入为时系统的状态响应（7分）。

（2）已知系统，写出其对偶系统（3分）。

解

（1）

……………………………..…….……..1分

……….….……….……..2分

….……..1分

.……….…………………..…..1分

…………………………..…..2分

（2）

………….….……….……..2分

……….………………...……….……..1分

四、（10分）

（1）求系统的传递函数.（5分）

（2）求系统的能控标准型（可以不求变换矩阵）。

（5分）

解

（1）由状态空间表达式得到传递函数的公式为：

……….……….…………….1分

由

…………...………………..1分

得

………..………….1分

于是

…………..2分

（2）

………...……………….1分

…...………………………1分

…………..……………1分

……………………………………1分

从而知能控标准型为

…………………………1分

五、（10分）

（1）利用Lyapunov第一方法判断系统平衡点的稳定性（5分）：

（2）取，通过求解Lyapunov方程判断系统平衡点的稳定性（5分）：

解

（1）

…………………………….2分

……………………………………………….1分

的特征值为，具有正实部…………………………..1分

所以系统在平衡点不稳定……………………...……….1分

（2）

令

………………………………………….1分

…………………………………………….1分

…………………………………………..….2分

，正定，大范围一致渐近稳定….1分

六、（12分）

（1）实数满足什么条件时系统状态完全能控（4分）？

（2）简述系统状态完全能控性的涵义，说明状态能控与输出能控的区别（4分）。

（3）简述系统大范围渐近稳定的涵义（4分）

解

（1）

…………………………………….………..…1分

…………………………….………..…...1分

……………………..………..…...1分

当时，系统状态完全能控………….…...1分

（2）

若系统状态完全能控，则在有限时间，有限控制下，能将系统由任意初始状态转移到任意制定的状态。

……………………………..….2分

大多数情况下系统状态能控可以保证输出能控，而输出能控往往不能保证状态能控。

……………………………..….2分

（3）

涵义为对任意的初始状态，系统的平衡状态是Lyapunov意义下稳定的，……………………………..….2分

且系统状态以该平衡状态为极限。

……………………………..….2分

七、（10分）

（1）求观测增益，使成为系统

，的全维状态观测器，且极点为（6分）。

（2）判断系统能否利用状态反馈和输入的非奇异变换实现输入－输出解耦（4分）：

，。

解

（1）

……………………………………..….1分

……….2分

………………...……………….1分

，……………….………….2分

（2）

…….1分

……………………………….1分

……………………………………..……………….1分

可逆，所以能够解耦……………………..…………………………….1分

2008现代控制理论试题B卷及答案

一、1系统能控的状态变量个数是，能观测的状态变量个数是。

（4分）

2试从高阶微分方程求得系统的状态方程和输出方程（4分）

解：

1．能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。

状态变量个数是2。

…..（4分）

2．解：

选取状态变量，，，可得…..….…….（1分）

…..….…….（1分）

写成

…..….…….（1分）

…..….…….（1分）

二、1给出线性定常系统能控的定义。

（3分）

2已知系统，判定该系统是否完全能观？

（5分）

解：

1．答：

若存在控制向量序列，时系统从第步的状态开始，在第步达到零状态，即，其中是大于0的有限数，那么就称此系统在第步上是能控的。

若对每一个，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。

…..….…….（3分）

2.

………..……….（1分）

……..……….（1分）

………………..……….（1分）

，所以该系统不完全能观……..….…….（2分）

三、已知系统1、2的传递函数分别为

求两系统串联后系统的最小实现。

（8分）

解

…..….…….（5分）

最小实现为

…..….…….（3分）

四、将下列状态方程化为能控标准形。

（8分）

解……..…………….…….（1分）

……..…………..…….…….（1分）

……..………….…..…….…….（1分）

……..………….…...…….…….（1分）

..………….…...…….…….（1分）

………….…...…….…….（1分）

……….…...…….…….（1分）

……….…...…….…….（1分）

五、利用李亚普诺夫第一方法判定系统的稳定性。

（8分）

解…………...……....…….…….（3分）

特征根…………...…...…….…….（3分）

均具有负实部，系统在原点附近一致渐近稳定…...…….…….（2分）

六、利用李雅普诺夫第二方法判断系统是否为大范围渐近稳定：

（8分）

解

…………...……....…….…….（1分）

………...……....…….…….（1分）

………...…………....…….…….（1分）

...…………....…….…….（1分）

………...（1分）

正定，因此系统在原点处是大范围渐近稳定的.………（1分）

七、已知系统传递函数阵为试判断该系统能否用状态反馈和输入变换实现解耦控制。

（6分）

解：

----------（2分）

，----------（2分）

非奇异，可实现解耦控制。

------（2分）

八、给定系统的状态空间表达式为，设计一个具有特征值为-1，-1，-1的全维状态观测器。

（8分）

解：

方法1

------1分

--2分

又因为-------1分

列方程

-----2分

-----------1分

观测器为

-------1分

方法2

-------------------1分

-------------------2分

-------------------1分

------------------2分

1分

观测器为

------1分

九解

，………………..（1分）

…………………………..……….（1分）

………..……….（1分）

……….…（1分）……….……….（2分）

……………..……….（2分）

2009年现代控制理论试题及答案

1、（10分）求线性变换，将以下系统化为能控标准形：

解：

能控性矩阵为………………………2分

能控性矩阵的逆为…………………………………1分

…………………………………….………………1分

………………………………………2分

…………………………………………………2分

……………………………………1分

…………………………………………………….………1分

2、（10分）通过定义状态变量建立以下系统的状态空间表达式

解：

令

……………..……………2分

得

…………………2分

……………….…………………2分

………………………………………………...………1分

进而有

…………………2分

………………………………………….………1分

3、（10分）求以下系统的状态响应

解：

由得

…………….……………………………………2分

……………….………2分

…………….………….………2分

…………….………………2分

…………….………………...…………1分

…………….…………..………………1分

4、（10分）令为二阶单位矩阵。

求解Lyapunov方程判断以下系统的稳定性

解令………….…………..…………………..……………1分

得

……………….………………2分

……………….……………………………..………2分

……………….…………………………..…………2分

由……………….…………..………………2分

可知正定，所以系统渐近稳定………….……………..………………1分

5、（10分）求系统的平衡点，并利用函数判断稳定性

解系统状态方程即为……………..……………1分

对任意时间，成立，得……………1分

在-平面的一、三象限内…..……..…2分

而在同一区域内

…..…………………………….……2分

…..…………………………………………..………2分

所以系统不稳定…..………………………………………..…………2分

6、（10分）已知系统，求形如

的全维状态观测器，且极点为。

其中分别为原系统得系统、控制和输出矩阵。

解令

..…………………………………..…………..…………1分

则

……2分

计算知理想特征多项式为

…………………………………..…………2分

列方程得

………………………………..…………2分

解方程得

..………………………………………...…………..………2分

从而状态观测器为

………..………..…………1分

7、（10分）已知系统，判断其能控性、能观性，并求传递函数。

解能控性矩阵...…………..………2分

由于秩小于3，可知不能控……..…………………………….……..…………1分

能观性矩阵.………………………..………2分

由于秩小于3，可知不能观……..…………………………….…...…..…………1分

传递函数为

…………………………………………..………2分

………………………….…………………………..………2分