专题一：任意角和弧度制及任意角的三角函数.doc

1、暑期培训专题一任意角和弧度制及任意角的三角函数基础知识梳理1.正角、负角、零角：一条射线绕着它的端点旋转有两个相反方向：方向和 方向，习惯上规定：按照 方向旋转而成的角为正角；按照 方向旋转而成的角为负角，当射线没有时为零角。2.终边相同的角：设表示任意角，所有与终边相同的角以及本身组成一个集合，这个集合可记为S 。终边相同的角有个，相等的角终边一定，但终边相同的角不一定。3.象限角：在直角坐标系中讨论角，是使角的顶点与重合，角的始边与重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做，如果终边在坐标轴上，就认为这个角 属于任何象限。4.1弧度的角：长度等于 的圆弧所对的圆心角。这种用来度量角的制度叫弧

2、度制。弧度记作 。5.圆心角或弧长公式：在半径为r的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为rad，则= ；= 。6.角度与弧度的换算： 360= rad；1800 = rad； 1rad rad； n rad 1 rad ；rad7.完成下面的填空：度030456090120135150180弧度度210225240270300315330360弧度8.角的集合与实数集R之间是 对应关系。9.设扇形的圆心角是rad，弧长为，半径为r，则扇形面积公式S10.三角函数的定义：设P(x,y)是角终边上不同于原点的任意一点，OPr，(r=，r0)则：sin= ;cos= ;tan= .11.三角函数的定义域：

3、12.三角函数符号： 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”13. 三角函数线三角函数正弦余弦正切三角函数线有向线段 为正弦线有向线段 为余弦线有向线段 为正切线14.终边相同的角的三角函数值(kZ)相等 (公式一)基础练习1在0360之间与35终边相同的角是()A325 B125 C35 D2352把300化为弧度是()A B C D3. sin2cos3tan4的值为()A负数 B正数 C0 D不存在4. 若角的正切线位于第一象限，则角属于()A第一象限 B第一、二象限 C第三象限 D第一、三象限5将885化为k360(kZ,0360)的形式是_6.圆的半径是6 cm，则圆心角为的扇

4、形面积是_ cm2.7.若点P(2m，3m)(m0)在角的终边上，则sin_，cos_，tan_，8.不等式cos的解集为_典型例题例1.(1)写出终边落在直线yx上的角的集合；(2)若角与168角的终边相同，求在0，360)内终边与角的终边相同的角练1.在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：(1)120；(2)660；(3)95008.例2. (1)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形的弧长；(2)已知一扇形的圆心角是72，半径等于20 cm，求扇形的面积练2. (1)一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少

5、弧度？是多少度？扇形的面积是多少？(2)一扇形的周长为20，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？例3.已知角的终边过点P(3cos，4cos)，其中(，)，求的三角函数值练3.已知角的终边在直线3x4y0上，求sin，cos，tan的值任意角和弧度制及任意角的三角函数课后作业一、选择题 1若45k180(kZ)，则的终边所在的象限为()A第一或第三象限 B第二或第三象限 C第二或第四象限 D第三或第四象限2时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为()A. B C. D 3将1485化成2k(00，则a的取值范围是()A(2,3) B2,3) C(2,3 D2,37如果

6、coscos，则角与的终边除可能重合外，还有可能()A关于x轴对称 B关于y轴对称 C关于直线yx对称 D关于原点对称8设asin，bcos，ctan，则()Aabc Bacb Cbca Dbac二、填空题9若角满足180360，角5与有相同的始边，且又有相同的终边，则角_.10已知扇形的半径为r，若它的周长等于弧所在圆的半圆周的长，则扇形的圆心角为_弧度，扇形的面积为_11若角的终边与直线y3x重合，且sin0，又P(m，n)是角终边上一点，且|OP|，则mn等于_12若(，)，则下列各式错误的是_sincos0；|sin|0.三、解答题13. 如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：(1

7、)终边落在射线OM上；(2)终边落在直线OM上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)14扇形AOB的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 基础练习1在0360之间与35终边相同的角是()A325 B125 C35 D235解析：选A.35(1)3603250360之间与35终边相同的角是325.2把300化为弧度是()A B C D解析：选B.300300.3. sin2cos3tan4的值为()A负数 B正数 C0 D不存在解析：选A.因为2,3,4弧度分别是第二、二、三象限的角，所以sin20，cos3

8、0，所以sin2cos3tan40.4. 若角的正切线位于第一象限，则角属于()A第一象限 B第一、二象限 C第三象限 D第一、三象限解析：选D.由正切线的定义知，当角是第一、三象限的角时，正切线都在第一象限5将885化为k360(kZ,0360)的形式是_解析：885(3)360195答案：195(3)3606.圆的半径是6 cm，则圆心角为的扇形面积是_ cm2.解析：S|r262.答案：7.若点P(2m，3m)(m0)在角的终边上，则sin_，cos_，tan_，解析：m0，rm，sin；cos；tan；答案：8.不等式cos的解集为_解析：画出单位圆，然后画出直线x，从图形中可以看出答

9、案：|2k2k，kZ典型例题例1.(1)写出终边落在直线yx上的角的集合；(2)若角与168角的终边相同，求在0，360)内终边与角的终边相同的角解：(1)在(0，)内终边在直线yx上的角是，终边在直线yx上的角的集合为|k，kZ(2)168k360(kZ)，56k120(kZ)，056k120360，k0,1,2时，0，360)故在0，360)内终边与角的终边相同的角是56，176，296.练1.在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：(1)120；(2)660；(3)95008.解：(1)120240360，在0360范围内，与120角终边相同的角是240角

10、，它是第三象限的角；(2)660300360，在0360范围内，与660角终边相同的角是300角，它是第四象限的角；(3)95008129523360，在0360范围内，与95008终边相同的角是12952，它是第二象限的角例2. (1)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形的弧长； (2)已知一扇形的圆心角是72，半径等于20 cm，求扇形的面积解：(1)设扇形圆心角的弧度数为(02)，弧长为l，半径为r，依题意有代入得r25r40，解之得r11，r24.当r1 cm时，l8(cm)，当r4 cm时，l2(cm)，弧长为8 cm或2 cm.(2)设扇形弧长为l，7272 rad

11、 rad，lR208(cm)，SlR82080(cm2)练2. (1)一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？(2)一扇形的周长为20，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解：(1)设扇形的圆心角是 rad，因为扇形的弧长是r，所以扇形的周长是2rr.依题意，得2rrr，2(2)()1.14257.3065.446526.扇形的面积为Sr2(2)r2.(2)设扇形的半径为r，弧长为l，则l2r20，即l202r(0r10)扇形的面积Slr，将代入，得S(202r)rr210r(r5)225，所以当且仅当r5时，S

12、有最大值25.此时l202510，2.所以当2 rad时，扇形的面积取最大值例3.已知角的终边过点P(3cos，4cos)，其中(，)，求的三角函数值解：(，)，1cos0时，r5t，sin，cos，tan；当t0时，r5t，sin，cos，tan.任意角和弧度制及任意角的三角函数课后作业一、选择题 1若45k180(kZ)，则的终边所在的象限为()A第一或第三象限 B第二或第三象限 C第二或第四象限 D第三或第四象限解析：选A.当k为奇数时，为第三象限角，当k为偶数时，为第一象限角2时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为()A. B C. D 解析：选B.显然分针在1点到3点2

13、0分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的，用弧度制表示就是42.故选B.此题一定要记住分针顺时针旋转形成负角3将1485化成2k(02，kZ)的形式是()A8 B.8 C.10 D.10解析：选D.14855360315，又2 rad360，315rad，故1485化成2k(00，则a的取值范围是()A(2,3) B2,3) C(2,3 D2,3解析：选C.由题意可知，解得即2a3.7如果coscos，则角与的终边除可能重合外，还有可能()A关于x轴对称 B关于y轴对称 C关于直线yx对称 D关于原点对称解析：选A.利用单位圆中的余弦线即得8设asin，bcos，ctan，则()Aabc Ba

14、cb Cbca Dbac解析：选D.如图，在单位圆O中分别作出角、的正弦线M1P1，余弦线OM2、正切线AT.由知M1P1M2P2，又M2P2OM2，cossintan，故bac.二、填空题9若角满足180360，角5与有相同的始边，且又有相同的终边，则角_.解析：因为5与始边、终边分别相同，所以5k360，kZ，所以k90.又因为180360，270.答案：27010已知扇形的半径为r，若它的周长等于弧所在圆的半圆周的长，则扇形的圆心角为_弧度，扇形的面积为_解析：设扇形的圆心角为，则2rrr，所以2，S扇r2r2(2)答案：2r2(2)11若角的终边与直线y3x重合，且sin0，又P(m，

15、n)是角终边上一点，且|OP|，则mn等于_解析：由题意P(m，n)是角终边上一点，sin0，n0.又角的终边与y3x重合，故n3m0，m0.由|OP|，则m2n210，10m210，m21，m1.由n3m，n3.mn1(3)2.答案：212若(，)，则下列各式错误的是_sincos0；|sin|0.解析：若(，)则sin0，cos0，sin|cos|，所以sincos0.答案：三、解答题13. 如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OM上；(2)终边落在直线OM上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)解析：(1)终边落在射线OM上的角的集合A|45k360，kZ(2)终边

16、落在射线OM上的角的集合为A|45k360，kZ，终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B|225k360，kZ，所以终边落在直线OM上的角的集合为：AB|45k360，kZ|225k360，kZ|452k180，kZ|45(2k1)180，kZ|45n180，nZ(3)同理可得终边落在直线ON上的角的集合为|60n180，nZ，所以终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为：|45n18060n180，nZ14扇形AOB的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解：设该扇形AOB的半径为r，圆心角为，面积为S，弧长为l.(1)由题意得解得或.圆心角6或，圆心角的大小为或6.(2)，Sr24rr2(r2)24，当r2即2时，Smax4(cm2)此时弦长AB22sin 14sin 1(cm)扇形面积最大时，圆心角等于2弧度，弧长AB为4sin 1 cm.