专题一：任意角和弧度制及任意角的三角函数.doc

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暑期培训专题一

任意角和弧度制及任意角的三角函数

[基础知识梳理]

1.正角、负角、零角：

一条射线绕着它的端点旋转有两个相反方向：

方向和方向，习惯上规定：

按照方向旋转而成的角为正角；按照方向旋转而成的角为负角，当射线没有　　　　　　　时为零角。

2.终边相同的角：

设α表示任意角，所有与α终边相同的角以及α本身组成一个集合，这个集合可记为S＝　　　　。

终边相同的角有　　　个，相等的角终边一定　　　，但终边相同的角不一定　　　。

3.象限角：

在直角坐标系中讨论角，是使角的顶点与　　　　重合，角的始边与　　　　重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做　　　　，如果终边在坐标轴上，就认为这个角属于任何象限。

4.1弧度的角：

长度等于的圆弧所对的圆心角。

这种用来度量角的制度叫弧度制。

弧度记作。

5.圆心角或弧长公式：

在半径为r的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为rad，则=；=。

6.角度与弧度的换算：

360°= rad ；1800= rad ；1°＝　　　rad≈rad；n°＝rad

1rad＝ ≈ ＝ ；rad＝

7.完成下面的填空：

度

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

弧度

度

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°

弧度

8.角的集合与实数集R之间是对应关系。

9.设扇形的圆心角是rad，弧长为，半径为r，则扇形面积公式S＝ ＝

10.三角函数的定义：

设P（x,y）是角终边上不同于原点的任意一点，∣OP∣＝r，（r=，r＞0）

　则：

sin=;cos=;tan=.

11.三角函数的定义域：

12.三角函数符号：

记忆口诀：

“一全正，二正弦，三正切，四余弦”

13.三角函数线

三角函数

正弦

余弦

正切

三角函

数线

有向线段为正弦线

有向线段为余弦线

有向线段为正切线

14.终边相同的角的三角函数值（k∈Z）相等（公式一）

[基础练习]

1．在0°～360°之间与－35°终边相同的角是（　　）

A．325°B．－125°C．35°D．235°

2．把－300°化为弧度是（　　）

A．－B．－C．－D．－

3.sin2cos3tan4的值为（　　）

A．负数B．正数C．0D．不存在

4.若角α的正切线位于第一象限，则角α属于（　　）

A．第一象限B．第一、二象限C．第三象限D．第一、三象限

5．将－885°化为α＋k·360°（k∈Z,0°≤α<360°）的形式是________．

6.圆的半径是6cm，则圆心角为的扇形面积是________cm2.

7.若点P（2m，－3m）（m<0）在角α的终边上，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________，

8.不等式cosα≤的解集为________．

[典型例题]

例1.

（1）写出终边落在直线y＝x上的角的集合；

（2）若角θ与168°角的终边相同，求在[0°，360°）内终边

与角的终边相同的角．

练1.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：

（1）－120°；

（2）660°；（3）－950°08′.

例2.

（1）已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形的弧长；

（2）已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20cm，求扇形的面积．

练2.

（1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？

是多少度？

扇形的面积是多少？

（2）一扇形的周长为20，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？

例3.已知角α的终边过点P（－3cosθ，4cosθ），其中θ∈（，π），求α的三角函数值．

练3.已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．

任意角和弧度制及任意角的三角函数课后作业

一、选择题

1．若α＝45°＋k·180°（k∈Z），则α的终边所在的象限为（　　）

A．第一或第三象限B．第二或第三象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限

2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为（　　）

A.πB．－πC.πD．－π

3．将－1485°化成α＋2kπ（0≤α<2π，k∈Z）的形式是（　　）

A．－－8πB.π－8πC.－10πD.π－10π

4．若角α与β的终边互相垂直，则α与β的关系是（　　）

A．β＝α＋90°B．β＝α±90°C．β＝α＋k·360°＋90°（k∈Z）D．β＝k·360°＋α±90°（k∈Z）

5.若角α的终边在直线y＝2x上，则sinα的值为（　　）

A．±B．±C．±D．±

6．已知角α的终边经过点（3a－9，a＋2），且cosα≤0，sinα>0，则a的取值范围是（　　）

A．（－2,3）B．[－2,3）C．（－2,3]D．[－2,3]

7．如果cosα＝cosβ，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能（　　）

A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线y＝x对称D．关于原点对称

8．设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则（　　）

A．a

二、填空题

9．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________.

10．已知扇形的半径为r，若它的周长等于弧所在圆的半圆周的长，则扇形的圆心角为________弧度，扇形的面积为________．

11．若角α的终边与直线y＝3x重合，且sinα<0，又P（m，n）是角α终边上一点，且|OP|＝，则m－n等于________．

12．若θ∈（，π），则下列各式错误的是________．

①sinθ＋cosθ<0；②sinθ－cosθ>0；③|sinθ|<|cosθ|；④sinθ＋cosθ>0.

三、解答题

13.如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：

（1）终边落在射线OM上；

（2）终边落在直线OM上；（3）终边落在阴影区域内（含边界）．

14．扇形AOB的周长为8cm.

（1）若这个扇形的面积为3cm2，求圆心角的大小；

（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.

[基础练习]

1．在0°～360°之间与－35°终边相同的角是（　　）

A．325°B．－125°C．35°D．235°

解析：

选A.∵－35°＝（－1）×360°＋325°

∴0°～360°之间与－35°终边相同的角是325°.

2．把－300°化为弧度是（　　）

A．－B．－C．－D．－

解析：

选B.－300°＝－300×＝－π.

3.sin2cos3tan4的值为（　　）

A．负数B．正数C．0D．不存在

解析：

选A.因为2,3,4弧度分别是第二、二、三象限的角，所以sin2>0，cos3<0，tan4>0，所以sin2cos3tan4<0.

4.若角α的正切线位于第一象限，则角α属于（　　）

A．第一象限B．第一、二象限C．第三象限D．第一、三象限

解析：

选D.由正切线的定义知，当角α是第一、三象限的角时，正切线都在第一象限．

5．将－885°化为α＋k·360°（k∈Z,0°≤α<360°）的形式是________．

解析：

－885°＝（－3）×360°＋195°

答案：

195°＋（－3）×360°

6.圆的半径是6cm，则圆心角为的扇形面积是________cm2.

解析：

S＝|α|r2＝××62＝π.

答案：

π

7.若点P（2m，－3m）（m<0）在角α的终边上，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________，

解析：

∵m<0，∴r＝＝－m，

∴sinα＝＝＝；

cosα＝＝＝－；

tanα＝＝＝－；

答案：

　－　－　

8.不等式cosα≤的解集为________．

解析：

画出单位圆，然后画出直线x＝，从图形中可以看出．

答案：

{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}

[典型例题]

例1.

（1）写出终边落在直线y＝x上的角的集合；

（2）若角θ与168°角的终边相同，求在[0°，360°）内终边

与角的终边相同的角．

解：

（1）在（0，π）内终边在直线y＝x上的角是，

∴终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝＋kπ，k∈Z}．

（2）∵θ＝168°＋k·360°（k∈Z），∴＝56°＋k·120°（k∈Z），

∵0°≤56°＋k·120°<360°，∴k＝0,1,2时，∈[0°，360°）．

故在[0°，360°）内终边与角的终边相同的角是56°，176°，296°.

练1.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：

（1）－120°；

（2）660°；（3）－950°08′.

解：

（1）∵－120°＝240°－360°，

∴在0°～360°范围内，与－120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限的角；

（2）∵660°＝300°＋360°，

∴在0°～360°范围内，与660°角终边相同的角是300°角，它是第四象限的角；

（3）∵－950°08′＝129°52′－3×360°，

∴在0°～360°范围内，与－950°08′终边相同的角是129°52′，它是第二象限的角．

例2.

（1）已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形的弧长；

（2）已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20cm，求扇形的面积．

解：

（1）设扇形圆心角的弧度数为θ（0＜θ＜2π），弧长为l，半径为r，

依题意有①代入②得r2－5r＋4＝0，解之得r1＝1，r2＝4.

当r＝1cm时，l＝8（cm），当r＝4cm时，l＝2（cm），∴弧长为8cm或2cm.

（2）设扇形弧长为l，∵72°＝72×rad＝rad，

∴l＝αR＝×20＝8π（cm），∴S＝lR＝×8π×20＝80π（cm2）．

练2.

（1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆

的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？

是多少度？

扇形的面积是多少？

（2）一扇形的周长为20，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？

解：

（1）设扇形的圆心角是θrad，因为扇形的弧长是rθ，所以扇形的周长是2r＋rθ.依题意，得2r＋rθ＝πr，

∴θ＝π－2＝（π－2）×（）°≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′.

∴扇形的面积为S＝r2θ＝（π－2）r2.

（2）设扇形的半径为r，弧长为l，则l＋2r＝20，

即l＝20－2r（0

扇形的面积S＝lr，将①代入，得S＝（20－2r）r＝－r2＋10r＝－（r－5）2＋25，

所以当且仅当r＝5时，S有最大值25.此时l＝20－2×5＝10，α＝＝2.

所以当α＝2rad时，扇形的面积取最大值．

例3.已知角α的终边过点P（－3cosθ，4cosθ），其中θ∈（，π），求α的三角函数值．

解：

∵θ∈（，π），∴－1

∴r＝＝－5cosθ，

故sinα＝－，cosα＝，tanα＝－.

练3.已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．

解：

∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P（4t，－3t）（t≠0），

则x＝4t，y＝－3t.r＝＝＝5|t|，

当t>0时，r＝5t，sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝，tanα＝＝＝－；

当t<0时，r＝－5t，sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－，tanα＝＝＝－.

任意角和弧度制及任意角的三角函数课后作业

一、选择题

1．若α＝45°＋k·180°（k∈Z），则α的终边所在的象限为（　　）

A．第一或第三象限B．第二或第三象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限

解析：

选A.当k为奇数时，α为第三象限角，当k为偶数时，α为第一象限角．

2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为（　　）

A.πB．－πC.πD．－π

解析：

选B.显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的，用弧度制表示就是－4π－×2π＝－π.故选B.此题一定要记住分针顺时针旋转形成负角．

3．将－1485°化成α＋2kπ（0≤α<2π，k∈Z）的形式是（　　）

A．－－8πB.π－8πC.－10πD.π－10π

解析：

选D.∵－1485°＝－5×360°＋315°，

又2πrad＝360°，315°＝rad，

故－1485°化成α＋2kπ（0≤α<2π，k∈Z）的形式是π－10π.

4．若角α与β的终边互相垂直，则α与β的关系是（　　）

A．β＝α＋90°B．β＝α±90°C．β＝α＋k·360°＋90°（k∈Z）D．β＝k·360°＋α±90°（k∈Z）

解析：

选D.如图

（1），角α与β终边互相垂直，β＝α＋90°.

如图

（2），角α与β终边互相垂直，α＝β＋90°.

由终边相同角的表示方法知：

角α与β终边互相垂直则有β＝k·360°＋α±90°（k∈Z）．

5.若角α的终边在直线y＝2x上，则sinα的值为（　　）

A．±B．±C．±D．±

解析：

选C.在α的终边上任取一点P（1,2），则r＝＝，所以sinα＝＝＝；或者取P（－1，－2），则r＝＝，所以sinα＝＝＝－.

6．已知角α的终边经过点（3a－9，a＋2），且cosα≤0，sinα>0，则a的取值范围是（　　）

A．（－2,3）B．[－2,3）C．（－2,3]D．[－2,3]

解析：

选C.由题意可知，解得

即－2

7．如果cosα＝cosβ，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能（　　）

A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线y＝x对称D．关于原点对称

解析：

选A.利用单位圆中的余弦线即得．

8．设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则（　　）

A．a

解析：

选D.

如图，在单位圆O中分别作出角π、π、π的正弦线M1P1，余弦线OM2、正切线AT.由π＝π－π知M1P1＝M2P2，又<π<，易知AT>M2P2>OM2，

∴cosπ

二、填空题

9．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________.

解析：

因为5α与α始边、终边分别相同，

所以5α＝α＋k·360°，k∈Z，

所以α＝k·90°.

又因为180°<α<360°，∴α＝270°.

答案：

270°

10．已知扇形的半径为r，若它的周长等于弧所在圆的半圆周的长，则扇形的圆心角为________弧度，扇形的面积为________．

解析：

设扇形的圆心角为θ，则2r＋rθ＝πr，

所以θ＝π－2，S扇＝r2θ＝r2（π－2）．

答案：

π－2　r2（π－2）

11．若角α的终边与直线y＝3x重合，且sinα<0，又P（m，n）是角α终边上一点，且|OP|＝，则m－n等于________．

解析：

由题意P（m，n）是角α终边上一点，

sinα＝＝<0，∴n<0.

又角α的终边与y＝3x重合，

故n＝3m<0，∴m<0.

由|OP|＝，则m2＋n2＝10，

10m2＝10，m2＝1，∴m＝－1.

由n＝3m，∴n＝－3.

∴m－n＝－1－（－3）＝2.

答案：

2

12．若θ∈（，π），则下列各式错误的是________．

①sinθ＋cosθ<0；②sinθ－cosθ>0；③|sinθ|<|cosθ|；④sinθ＋cosθ>0.

解析：

若θ∈（，π）则sinθ>0，cosθ<0，sinθ<|cosθ|，

所以sinθ＋cosθ<0.

答案：

④

三、解答题

13.如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：

（1）终边落在射线OM上；

（2）终边落在直线OM上；

（3）终边落在阴影区域内（含边界）．

解析：

（1）终边落在射线OM上的角的集合A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．

（2）终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，

所以终边落在直线OM上的角的集合为：

A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋（2k＋1）·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．

（3）同理可得终边落在直线ON上的角的集合为{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，所以终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为：

{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．

14．扇形AOB的周长为8cm.

（1）若这个扇形的面积为3cm2，求圆心角的大小；

（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.

解：

设该扇形AOB的半径为r，圆心角为θ，面积为S，弧长为l.

（1）由题意得解得或.

∴圆心角θ＝＝＝6或θ＝＝，∴圆心角的大小为或6.

（2）θ＝，∴S＝·r2·＝4r－r2＝－（r－2）2＋4，

∴当r＝2即θ＝＝2时，Smax＝4（cm2）．此时弦长AB＝2×2sin1＝4sin1（cm）．

∴扇形面积最大时，圆心角等于2弧度，弧长AB为4sin1cm.