振动力学参考答案Word格式.doc

1、系统的势能为：总能量由于能量守恒消去得系统的运动方程为：系统的固有频率为：2-6 如题2-6图所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为，求系统的固有频率。设曲臂顺时针方向转动的角为广义坐标，系统作简谐运动，其运动方程为。很小，系统的动能为所以， 取系统平衡位置为势能零点。设各弹簧在静平衡位置伸长为，由， （A）由题意可知，系统势能为（B）将（A）式代入（B）式，可得系统最大势能为，由， 得 所以，有2-7 一个有阻尼的弹簧-质量系统，质量为10 kg，弹簧静伸长是1cm，自由振动20个循环后，振幅从0.64 cm减至0.16cm，求阻尼系数c。振动衰减曲线得包络方程为：振动20个循环后，振幅比为：代入

2、,得：又 c = 6.9 N s /mOjXOYOFKFC，2-8 一长度为l、质量为m的均质刚性杆铰接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题2-8图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和阻尼固有频率的表达式。图（1）为系统的静平衡位置，画受力图如（2）。由动量矩定理，列系统的运动微分方程为：当npn时，ccC2-9 如题2-9图所示的系统中，刚杆质量不计，试写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及固有频率。2-10 如题2-10图所示，质量为2000 kg的重物以3 cm/s的速度匀速运动，与弹簧及阻尼器相撞后一起作自由振动。已知k =48020 N/m，c =1960 Ns/m，问重物在碰撞

3、后多少时间达到最大振幅?最大振幅是多少?以系统平衡位置为坐标原点，建立系统运动微分方程为所以有 +x =0 其特征方程为：+r+=0 r =-0.494.875i所以：x =cos4.875t+sin4.875t由于n pn，由已知条件，m/s。故通解为其中，。（代入初始条件，当t=0时，x=0, =0当t=0时，=0,=0.006x=0.006sin4.875t=0.006（-0.49） sin4.875t+0.0064.875cos4.875当=0时，振幅最大，此时t=0.03s。当t=0.03s时，x=0.005m）代入初始条件，得，得物体达到最大振幅时，有既得t = 0.30 s时，物

4、体最大振幅为 cm2-11 由实验测得一个系统的阻尼固有频率为，在简谐激振力作用下出现最大位移值的激振频率为，求系统的无阻尼固有频率、相对阻尼系数及对数衰减率。， ， ；三个方程联立，解得：习题与综合训练 第二章2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s，相邻两振幅的比值，若质量块受激振力N的作用，求系统的稳态响应。由题意，可求出系统的运动微分方程为得到稳态解其中由 又有所以x1.103 cos（3t5127）2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率rad/s时，系统发生共振；给质量块增加1 kg的质量后重新试验，测得共振频率rad/s，

5、试求系统原来的质量及弹簧刚度。设原系统的质量为m，弹簧常数为k由，共振时所以又由 当与联立解出m20.69 kgk744.84 N/m2-3总质量为W的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度，转子重Q，重心偏离轴线e，梁重及阻尼可以不计，求转速为时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。列出平衡方程可得：又因为即为所求的振幅2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力，弹簧支承端有运动，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。题2-4图 选时物块平衡位置为坐标原点O，建立坐标系，如右图，则 即 即 （*）改成，下面也都一样利用复数求解 ， 用 代换sinwt 并设方程（*）的解为这里求的是特解，也就是稳

6、态解。 代入方程（*）得其中B为振幅，为响应与激励之间的相位差，有。 其中 2-5如题2-5图的弹簧质量系统中，两个弹簧的连接处有一激振力，求质量块的振幅。题2-5图设弹簧1，2的伸长分别为x1和x2，则有， （A）由图（1）和图（2）的受力分析，得到 （B） （C）联立解得，所以，n = 0，得，2-6在题2-6图示的系统中，刚性杆AB的质量忽略不计，B端作用有激振力，写出系统运动微分方程，并求下列情况中质量m作上下振动的振幅值（1）系统发生共振；（2）等于固有频率的一半。BP0sinwtAXAYA题2-6图 图（1）为系统的静平衡位置，以q为系统的广义坐标，画受力如图（2）又 Iml2则1

7、）系统共振，即2）2-7写出题2-7图示系统的运动微分方程，并求系统固有频率、阻尼比及稳态响应振幅。题2-7图以刚杆转角为广义坐标，由系统的动量矩定理即 令，得到2-8一机器质量为450kg，支承在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5cm。机器有一偏心重，产生偏心激振力N，其中是激励频率，g是重力加速度。求（1）在机器转速为1200 r/min时传入地基的力；（2）机器的振幅。设系统在平衡位置有位移， 则即又有 则（1）所以机器的振幅为（2）且，（3）又有（4）将（1）（2）（4）代入（2）得机器的振幅=0.584 mm则传入地基的力为2-9一个粘性阻尼系统在激振力作用下的强迫振动力为，已知N，B

8、 =5 cm ，rad/s，求最初1秒及1/4秒内，激振力作的功及。2-10 证明粘性阻尼在一周期内消耗的能量可表示为证明2-11证明简谐激振力作用下的结构阻尼系统在时振幅达最大值。证明：设结构阻尼的应变幅度为B，则应变改变一周期内所消耗的能量 为与材料有关的常数与频率无关，则等效粘性阻尼系数 由于振幅所以， 其中，对求导得 ，当时，振幅B达到最大值2-12无阻尼系统受题2-12图示的外力作用，已知，求系统响应。题2-12图由图得激振力方程为当 0 t t1时，则有由于，所以有当t1 t2时，则有 当 t + 0 2-13如题2-13图的系统，基础有阶跃加速度，初始条件为，求质量m的相对位移。

9、题2-13图由牛顿定律，可得系统的微分方程为令，则有得到系统的激振力为，可得响应为其中，。2-14上题系统中，若基础有阶跃位移，求零初始条件下的绝对位移。系统振动的微分方程为即 基础有阶跃位移,故=0 =，则有2-15 求零初始条件的无阻尼系统对题2-15图示激振力的响应。题2-15图 当t 2-18求无阻尼系统对题2-18图的抛物型外力的响应，已知。题2-18图2-19无阻尼系统的支承运动加速度如题2-19图所示，求零初始条件下系统的相对位移。题2-19图系统运动的微分方程为令，则由图得支承运动加速度方程为2-20 求零初始条件的无阻尼系统对题2-20图所示支承运动的响应。题2-20图由图得

10、支承运动方程为2-21 题2-21图为一车辆的力学模型，已知车的质量m、悬挂弹簧的弹簧常数k及车的水平行驶速度v，道路前方有一隆起的曲形地面。（1） 求车通过曲形地面时的振动；（2） 求车通过曲形地面后的振动。题2-21图由牛顿定律，可得系统的微分方程为，由曲形地面，得到 得到系统的激振力为，。（1）车通过曲形地面时的振动为（2）车通过曲形地面后的振动车通过曲形地面后以初位移和初速度作自由振动，即由公式，得到车通过曲形地面后的振动响应为或积分为习题与综合训练 第三章题3-1图 3-1 复摆重P，对质心的回转半径为，质心距转动轴的距离为a，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。解:

11、系统具有一个自由度，选复摆转角为广义坐标，原点及正方向如例图3-1（a）中所示。复摆在任意位置的外力图如题3-1（a）图。根据刚体绕定轴转动微分方程 其中 得到复摆运动微分方程为或 由和初始条件将上式分离变量积分可得到复摆在任意位置的角速度。所以 当时，此瞬时复摆的外力图如图（b）。由质心运动定理所以 ，要点及讨论（1）刚体绕定轴转动微分方程可与质点运动基本定律类比。运用此方程可解决定轴转动刚体的动力学问题，因通过转动轴的未知约束力在外力矩中不出现，所以对转动轴取矩可直接建立刚体运动微分方程。这是绕定轴转动微分方程的一般用法。在某些情况下也可用此方程求解未知力。如图（c）所示，若已知皮带轮角加

12、速度，可用定轴转动微分方程求皮带拉力，之间的关系。（2）当刚体运动确定后,欲求转动轴处的未知约束力，可用质心运动定理，即 式中，a为质心距转动轴的距离。约束力沿质心切线与法线方向分解较为方便。（3）刚体运动微分方程列出后，根据给出的初始条件进行积分，可求得刚体任意瞬时的角速度及角位移。在本题中也可直接用定积分求出摆至铅垂位置时的角速度，积分式为。在铅垂位置处直接应用定轴转动微分方程，可求出此位置的角加速度，即，此时外力矩MO为零，所以。（4）在本题中也可选例图13-2（d）所示角为广义坐标，此时微分方程为读者试解释方程中的“一”号表示什么？并给出对应于角的初始条件，然后求解问题（2）。3-2均

13、质半圆柱体，质心为，与圆心O1的距离为e，柱体半径为，质量为，对质心的回转半径为，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。题3-2图系统具有一个自由度，选为广义坐标。半圆柱体在任意位置的动能为：用瞬心法求：故 系统具有理想约束，重力的元功为应用动能定理的微分形式等式两边同除，等式两边同除故微分方程为 若为小摆动，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图（b）所示。列写微分方程上述方程包含，五个未知量，必须补充运动学关系才能求解。建立质心坐标与广义坐标之间的关系所以运动

14、学方程式与方程联立，消去未知约束力，就可以得到与式相同的系统运动微分方程。因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。（2）本题也可用机械能守恒定律求解。系统的动能 选半圆柱体中心O1所在平面为零势面，系统的势能由两边对时间求导数，即可得到与式相同的运动微分方程。3-3 均质杆AB，长，质量为，沿光滑墙面滑下，如题3-3图所示。设水平面也为光滑的。列写该系统的运动微分方程。题3-3图系统在任一位置的动能为由瞬心法求质心的速度所以系统的主动力图为图（a）所示。重力的元功为由动能定理所以系统的运动微分方程为 （1）平面运动刚体可

15、用式计算刚体动能，式中为刚体对瞬心的转动惯量，为质心与瞬心间的距离。在本题中质心的速度也可用式计算。 （2）所谓广义坐标应包含坐标值（线位移或角位移）、坐标原点、坐标正方向。广义坐标的选择一般不是唯一的，例如在本题中也可选杆与水平线的夹角为广义坐标，正方向如图（b）所示（顺时针），广义坐标选定后其它运动量（位移及位移的一阶、二阶导数）都根据广义坐标确定（包括大小与正方向）。如质心C的位移与速度，正方向应如图所示，大小分别为，系统的动能主动力的元功根据动能定理建立的方程为“”号说明当取正值时为负，即反时针方向。（3）本题也可用平面运动微分方程求解，读者试列出方程。3-4 如题3-4图所示，均质圆

16、柱体质量为，半径为，沿倾斜角为的三角块作无滑动滚动，质量为的三角块置于光滑的水平面上。题3-4图系统具有两个自由度，选为广义坐标。系统具有理想约束，且在水平方向的外力为零，所以系统机械能守恒： ，水平方向动量守恒。整理后可分别列写两个方程式中为系统微分方程的首次积分，对时间求导后，即可得到系统运动微分方程。（1）在理想约束的情况下，动能定理建立了系统的动能与主动力之间的关系，直接给出了系统的速度（或角速度）与位移（或角位移）之间的关系，对时间求导一次可得到系统的运动微分方程。（2）用动能定理建立系统运动微分方程的步骤为：分析系统受力，在理想约束的情况下只有主动力作功，所以一般在受力图上只画主动

17、力。建立广义坐标，确定其原点和正方向；分析系统运动，重点是分析速度（角速度），将速度（角速度）用广义速度表示。计算系统在任意位置的动能，将动能表示为广义坐标、广义速度的函数。计算力的功，若用积分形式动能定理，则计算主动力在有限路程上的功，若用微分形式的动能定理，则计算力的元功。应用动能定理建立系统的受力与运动间的关系。（3）在理想约束、主动力又为势力的情况下，可用机械能守恒定律建立系统运动微分方程。（4）对于多自由度系统，如两个自由度系统，动能定理只给出一个方程，必须与其他定理，如动量定理或动量矩定理联合应用，才能得到另外一个方程。题3-5图 3-5题3-5（a）图所示为刚性建筑模型。刚性基础

18、质量为m，刚性建筑的质量为M，对质心C的转动惯量为IC。两刚体在O处铰接并附有刚度系数为k1的扭转弹簧。其他参数如图示。设地基有水平运动z（t），试建立系统微幅运动微分方程。图中。应用牛顿矢量力学建立刚体运动的微分方程时，首先要画出每个刚体的受力图，如题3-5图（b）、（c）所示。对于图（b），建立刚体的水平运动微分方程为（1）对于图（c）：建立刚体在铅垂平面内的运动微分方程为（2）（3）（4）其中xC、yC及x均是对固定坐标系的坐标，同时考虑到微小运动的假说，于是有（5）（6）由方程（1）、（2）消去未知力，FOx并考虑式（5）得（7）又由方程（2）、（3）和（4）消去未知力FOy、FOx，

19、并考虑式（5）和（6），得（8）方程（7）和（8）为系统微幅运动微分方程，若令x和q为确定系统位置的广义坐标，写为矩阵形式那么，方程（7）和（8）改写为矩阵形式如下：（9）由此例题可以看出，应用牛顿矢量力学建立系统的运动微分方程，一定要画受力图，于是必然要涉及未知约束力，因此较为繁琐，特别是该例中的组合刚体系统更是如此。然而对于多自由度系统，应用拉格朗日方程建立运动微分方程较为简单。由动静法得,以整体为研究对象： 以M为研究对象：又忽略高阶小量，所以以上两式化简后得：化成矩阵形式为：3-6 题3-6图所示两端简支的均匀梁，已知弯曲刚度为EI，单位长度的质量为m，分布载荷为F（y, t）。试用哈

20、密顿原理求运动方程。若梁的挠曲函数为w（y, t），则动能为 （a）应变（势能）为题3-6图 （b）外力功为 （c）将式（a）、式（b）与式（c）代入变分式（d）得到（e）对式（e）进行分部积分运算，得到（f）由于，时，哈密顿原理要求dw = 0，因而式（f）变为因为，t1与t2区间的虚位移dw不可能为零，由此，得到梁的边界条件（h）与运动方程（i）两端简支的梁，显然是满足边界条件式（h）的。3-7 应用拉格朗日方程导出题3-7图所示系统的运动微分方程。题3-7图取各质量偏离其平衡位置的x1、x2、x3、x4为广义坐标。则系统的动能系统的势能为计算拉格朗日方程中的各项导数如下：将以上各项导数代

21、入拉格朗日方程得写成矩阵形式 质量矩阵 刚度矩阵 位移列阵3-8 在地震研究中，建筑物可简化为支承在两弹簧上的质量为m的刚体，其中直线弹簧的弹性系数为k，扭转弹簧的弹性系数为kT，如题3-8图所示。设IG为建筑物相对质心G的转动惯量，试利用坐标x（相对于平衡位置的直线运动）及描述建筑物转动的坐标q，求出运动方程。（a） （b）题3-8图运动的分离体图如图（b）所示。地震中可设q为微小角度，因此因此运动方程为如果则则频率方程为或由动静法得，以刚体m为研究对象：图中：kx、m应反向。方程应为3-9 为了使结构隔离机器产生的振动，将机器安装在一很大的机座上，机座由弹簧支承，如题3-9图所示。试求机座在图示平面内的运动方程。题3-9图选择坐标q1、q2、q3，这些坐标已能完全描述该系统的运动，并相互独立。设机器和机座的总质量为