振动力学参考答案Word格式.doc
《振动力学参考答案Word格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《振动力学参考答案Word格式.doc（58页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
系统的势能为：
总能量
由于能量守恒
消去得系统的运动方程为：
系统的固有频率为：
2-6如题2-6图所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为，求系统的固有频率。
设曲臂顺时针方向转动的角为广义坐标，系统作简谐运动，其运动方程为。
很小，系统的动能为
所以，
取系统平衡位置为势能零点。
设各弹簧在静平衡位置伸长为，由
，（A）
由题意可知，系统势能为
（B）
将（A）式代入（B）式，可得系统最大势能为，
由，
得
所以，有
2-7一个有阻尼的弹簧--质量系统，质量为10kg，弹簧静伸长是1cm，自由振动20个循环后，振幅从0.64cm减至0.16cm，求阻尼系数c。
振动衰减曲线得包络方程为：
振动20个循环后，振幅比为：
代入,得：
又
＝
c=6.9Ns/m
O
j
XO
YO
FK
FC
，
2-8一长度为l、质量为m的均质刚性杆铰接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题2-8图所示。
写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和阻尼固有频率的表达式。
图
（1）为系统的静平衡位置，画受力图如
（2）。
由动量矩定理，列系统的运动微分方程为：
当n＝pn时，c＝cC
2-9如题2-9图所示的系统中，刚杆质量不计，试写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及固有频率。
2-10如题2-10图所示，质量为2000kg的重物以3cm/s的速度匀速运动，与弹簧及阻尼器相撞后一起作自由振动。
已知k=48020N/m，c=1960Ns/m，问重物在碰撞后多少时间达到最大振幅?
最大振幅是多少?
以系统平衡位置为坐标原点，建立系统运动微分方程为
所以有++x=0
其特征方程为：
+r+=0r=-0.494.875i
所以：
x=cos4.875t+sin4.875t
由于n<
pn，由已知条件，
，，，m/s。
故通解为
其中，。
（代入初始条件，当t=0时，x=0,=0
当t=0时，=0,=0.006
x=0.006sin4.875t
=0.006（-0.49）sin4.875t+0.0064.875cos4.875
当=0时，振幅最大，此时t=0.03s。
当 t=0.03s时，x=0.005m）
代入初始条件，得
，得
物体达到最大振幅时，有
既得t=0.30s时，物体最大振幅为
cm
2-11由实验测得一个系统的阻尼固有频率为，在简谐激振力作用下出现最大位移值的激振频率为，求系统的无阻尼固有频率、相对阻尼系数及对数衰减率。
，，；
三个方程联立，解得：
习题与综合训练第二章
2-1已知系统的弹簧刚度k=800N/m，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s，相邻两振幅的比值，若质量块受激振力N的作用，求系统的稳态响应。
由题意，可求出系统的运动微分方程为
得到稳态解
其中
由
又
有
所以 x＝1.103cos（3t－51°
27¢
）
2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率rad/s时，系统发生共振；
给质量块增加1kg的质量后重新试验，测得共振频率rad/s，试求系统原来的质量及弹簧刚度。
设原系统的质量为m，弹簧常数为k
由 ，共振时
所以 ①
又由当
②
①与②联立解出
m＝20.69kg
k＝744.84N/m
2-3总质量为W的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度，转子重Q，重心偏离轴线e，梁重及阻尼可以不计，求转速为时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。
列出平衡方程可得：
又因为
即为所求的振幅
2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力，弹簧支承端有运动，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。
题2-4图
选时物块平衡位置为坐标原点O，建立坐标系，如右图，
则即
即（*）改成，下面也都一样
利用复数求解，用代换sinwt并设方程（*）的解为这里求的是特解，也就是稳态解。
代入方程（*）得
其中B为振幅，为响应与激励之间的相位差，有
。
其中
2-5如题2-5图的弹簧质量系统中，两个弹簧的连接处有一激振力，求质量块的振幅。
题2-5图
设弹簧1，2的伸长分别为x1和x2，则有，
（A）
由图
（1）和图
（2）的受力分析，得到
（B）
（C）
联立解得，
所以，n=0，得，
2-6在题2-6图示的系统中，刚性杆AB的质量忽略不计，B端作用有激振力，写出系统运动微分方程，并求下列情况中质量m作上下振动的振幅值∶
（1）系统发生共振；
（2）等于固有频率的一半。
B
P0sinwt
A
XA
YA
题2-6图
图
（1）为系统的静平衡位置，以q为系统的广义坐标，画受力如图
（2）
又I＝ml2
则
1）系统共振，即
2）
2-7写出题2-7图示系统的运动微分方程，并求系统固有频率、阻尼比及稳态响应振幅。
题2-7图
以刚杆转角为广义坐标，由系统的动量矩定理
即
令，，，，，得到
2-8一机器质量为450kg，支承在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5cm。
机器有一偏心重，产生偏心激振力N，其中是激励频率，g是重力加速度。
求
（1）在机器转速为1200r/min时传入地基的力；
（2）机器的振幅。
设系统在平衡位置有位移，
则
即
又有则
（1）
所以机器的振幅为
（2）且，（3）
又有（4）
将
（1）
（2）（4）代入
（2）得机器的振幅=0.584mm
则传入地基的力为
2-9一个粘性阻尼系统在激振力作用下的强迫振动力为，已知N，B=5cm，rad/s，求最初1秒及1/4秒内，激振力作的功及。
2-10证明粘性阻尼在一周期内消耗的能量可表示为
证明
2-11证明简谐激振力作用下的结构阻尼系统在时振幅达最大值。
证明：
设结构阻尼的应变幅度为B，则应变改变一周期内所消耗的能量
为与材料有关的常数与频率无关，则等效粘性阻尼系数
由于振幅
所以，
其中，
对求导得，
当时，，振幅B达到最大值
2-12无阻尼系统受题2-12图示的外力作用，已知，求系统响应。
题2-12图
由图得激振力方程为
当0<
t<
t1时，，则有
由于，所以有
当t1<
t2时，，则有
当t<
+0
2-13如题2-13图的系统，基础有阶跃加速度，初始条件为，求质量m的相对位移。
题2-13图
由牛顿定律，可得系统的微分方程为
令，则有
得到系统的激振力为，，可得响应为
其中，，。
2-14上题系统中，若基础有阶跃位移，求零初始条件下的绝对位移。
系统振动的微分方程为
即
基础有阶跃位移,故=0=，则有
2-15求零初始条件的无阻尼系统对题2-15图示激振力的响应。
题2-15图
当t<
2-16零初始条件的无阻尼系统受题2-16图的外力作用，求系统响应。
题2-16图
+0
运动微分方程为
当时，
当时，算法同上，所以有
+0
系统响应为
2-17零初始条件的无阻尼系统受题2-17图的半正弦脉冲作用，若，求系统响应。
题2-17图
当t>
2-18求无阻尼系统对题2-18图的抛物型外力的响应，已知。
题2-18图
2-19无阻尼系统的支承运动加速度如题2-19图所示，求零初始条件下系统的相对位移。
题2-19图
系统运动的微分方程为
令，则
由图得支承运动加速度方程为
2-20求零初始条件的无阻尼系统对题2-20图所示支承运动的响应。
题2-20图
由图得支承运动方程为
2-21题2-21图为一车辆的力学模型，已知车的质量m、悬挂弹簧的弹簧常数k及车的水平行驶速度v，道路前方有一隆起的曲形地面∶。
（1）求车通过曲形地面时的振动；
（2）求车通过曲形地面后的振动。
题2-21图
由牛顿定律，可得系统的微分方程为，
由曲形地面∶，得到
得到系统的激振力为，。
（1）车通过曲形地面时的振动为
（2）车通过曲形地面后的振动
车通过曲形地面后以初位移和初速度作自由振动，即
由公式，得到车通过曲形地面后的振动响应为
或积分为
习题与综合训练第三章
题3-1图
3-1复摆重P，对质心的回转半径为，质心距转动轴的距离为a，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。
解:
系统具有一个自由度，选复摆转角为广义坐标，原点及正方向如例图3-1（a）中所示。
复摆在任意位置的外力图如题3-1（a）图。
根据刚体绕定轴转动微分方程
其中
得到复摆运动微分方程为
或
由和初始条件
将上式分离变量积分可得到复摆在任意位置的角速度。
所以
当时，，此瞬时复摆的外力图如图（b）。
由质心运动定理
所以 ，
要点及讨论
（1）刚体绕定轴转动微分方程可与质点运动基本定律类比。
运用此方程可解决定轴转动刚体的动力学问题，因通过转动轴的未知约束力在外力矩中不出现，所以对转动轴取矩可直接建立刚体运动微分方程。
这是绕定轴转动微分方程的一般用法。
在某些情况下也可用此方程求解未知力。
如图（c）所示，若已知皮带轮角加速度，可用定轴转动微分方程求皮带拉力，之间的关系。
（2）当刚体运动确定后,欲求转动轴处的未知约束力，可用质心运动定理，即
式中，，a为质心距转动轴的距离。
约束力沿质心切线与法线方向分解较为方便。
（3）刚体运动微分方程列出后，根据给出的初始条件进行积分，可求得刚体任意瞬时的角速度及角位移。
在本题中也可直接用定积分求出摆至铅垂位置时的角速度，积分式为
。
在铅垂位置处直接应用定轴转动微分方程，可求出此位置的角加速度，即，此时外力矩MO为零，所以。
（4）在本题中也可选例图13-2（d）所示角为广义坐标，此时微分方程为
读者试解释方程中的“一”号表示什么？
并给出对应于角的初始条件，然后求解问题
（2）。
3-2均质半圆柱体，质心为，与圆心O1的距离为e，柱体半径为，质量为，对质心的回转半径为，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。
题3-2图
系统具有一个自由度，选为广义坐标。
半圆柱体在任意位置的动能为：
用瞬心法求：
故
系统具有理想约束，重力的元功为
应用动能定理的微分形式
等式两边同除，
，等式两边同除
故微分方程为
①
若为小摆动，，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为
（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。
系统的受力图与运动分析图如图（b）所示。
列写微分方程
上述方程包含，，，，五个未知量，必须补充运动学关系才能求解。
建立质心坐标与广义坐标之间的关系
所以
运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立，消去未知约束力，，就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。
因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。
（2）本题也可用机械能守恒定律求解。
系统的动能
选半圆柱体中心O1所在平面为零势面，系统的势能
由
两边对时间求导数，即可得到与式①相同的运动微分方程。
3-3均质杆AB，长，质量为，沿光滑墙面滑下，如题3-3图所示。
设水平面也为光滑的。
列写该系统的运动微分方程。
题3-3图
系统在任一位置的动能为
由瞬心法求质心的速度
所以
系统的主动力图为图（a）所示。
重力的元功为
由动能定理
所以
系统的运动微分方程为
（1）平面运动刚体可用式计算刚体动能，式中为刚体对瞬心的转动惯量，为质心与瞬心间的距离。
在本题中质心的速度也可用式计算。
（2）所谓广义坐标应包含坐标值（线位移或角位移）、坐标原点、坐标正方向。
广义坐标的选择一般不是唯一的，例如在本题中也可选杆与水平线的夹角为广义坐标，正方向如图（b）所示（顺时针），广义坐标选定后其它运动量（位移及位移的一阶、二阶导数）都根据广义坐标确定（包括大小与正方向）。
如质心C的位移与速度，正方向应如图所示，大小分别为
，
系统的动能
主动力的元功
根据动能定理建立的方程为
“—”号说明当取正值时为负，即反时针方向。
（3）本题也可用平面运动微分方程求解，读者试列出方程。
3-4如题3-4图所示，均质圆柱体质量为，半径为，沿倾斜角为的三角块作无滑动滚动，质量为的三角块置于光滑的水平面上。
题3-4图
系统具有两个自由度，选为广义坐标。
系统具有理想约束，且在水平方向的外力为零，所以系统机械能守恒：
，水平方向动量守恒。
整理后可分别列写两个方程
①
式中①②为系统微分方程的首次积分，对时间求导后，即可得到系统运动微分方程。
（1）在理想约束的情况下，动能定理建立了系统的动能与主动力之间的关系，直接给出了系统的速度（或角速度）与位移（或角位移）之间的关系，对时间求导一次可得到系统的运动微分方程。
（2）用动能定理建立系统运动微分方程的步骤为：
①分析系统受力，在理想约束的情况下只有主动力作功，所以一般在受力图上只画主动力。
②建立广义坐标，确定其原点和正方向；
分析系统运动，重点是分析速度（角速度），将速度（角速度）用广义速度表示。
③计算系统在任意位置的动能，将动能表示为广义坐标、广义速度的函数。
④计算力的功，若用积分形式动能定理，则计算主动力在有限路程上的功，若用微分形式的动能定理，则计算力的元功。
⑤应用动能定理建立系统的受力与运动间的关系。
（3）在理想约束、主动力又为势力的情况下，可用机械能守恒定律建立系统运动微分方程。
（4）对于多自由度系统，如两个自由度系统，动能定理只给出一个方程，必须与其他定理，如动量定理或动量矩定理联合应用，才能得到另外一个方程。
题3-5图
3-5题3-5（a）图所示为刚性建筑模型。
刚性基础质量为m，刚性建筑的质量为M，对质心C的转动惯量为IC。
两刚体在O处铰接并附有刚度系数为k1的扭转弹簧。
其他参数如图示。
设地基有水平运动z（t），试建立系统微幅运动微分方程。
图中。
应用牛顿矢量力学建立刚体运动的微分方程时，首先要画出每个刚体的受力图，如题3-5图（b）、（c）所示。
对于图（b），建立刚体的水平运动微分方程为
（1）
对于图（c）：
建立刚体在铅垂平面内的运动微分方程为
（2）
（3）
（4）
其中xC、yC及x均是对固定坐标系的坐标，同时考虑到微小运动的假说，于是有
（5）
（6）
由方程
（1）、
（2）消去未知力，FOx并考虑式（5）得
（7）
又由方程
（2）、（3）和（4）消去未知力FOy、FOx，并考虑式（5）和（6），得
（8）
方程（7）和（8）为系统微幅运动微分方程，若令x和q为确定系统位置的广义坐标，写为矩阵形式
那么，方程（7）和（8）改写为矩阵形式如下：
（9）
由此例题可以看出，应用牛顿矢量力学建立系统的运动微分方程，一定要画受力图，于是必然要涉及未知约束力，因此较为繁琐，特别是该例中的组合刚体系统更是如此。
然而对于多自由度系统，应用拉格朗日方程建立运动微分方程较为简单。
由动静法得,以整体为研究对象：
以M为研究对象：
又忽略高阶小量，所以以上两式化简后得：
化成矩阵形式为：
3-6题3-6图所示两端简支的均匀梁，已知弯曲刚度为EI，单位长度的质量为m，分布载荷为F（y,t）。
试用哈密顿原理求运动方程。
若梁的挠曲函数为w（y,t），则动能为
（a）
应变（势能）为
题3-6图
（b）
外力功为（c）
将式（a）、式（b）与式（c）代入变分式
（d）
得到
（e）
对式（e）进行分部积分运算，得到
（f）
由于，时，哈密顿原理要求dw=0，因而式（f）变为
因为，t1与t2区间的虚位移dw不可能为零，由此，得到梁的边界条件
（h）
与运动方程
（i）
两端简支的梁，显然是满足边界条件式（h）的。
3-7应用拉格朗日方程导出题3-7图所示系统的运动微分方程。
题3-7图
取各质量偏离其平衡位置的x1、x2、x3、x4为广义坐标。
则系统的动能
系统的势能为
计算拉格朗日方程中的各项导数如下：
将以上各项导数代入拉格朗日方程得
写成矩阵形式
质量矩阵
刚度矩阵
位移列阵
3-8在地震研究中，建筑物可简化为支承在两弹簧上的质量为m的刚体，其中直线弹簧的弹性系数为k，扭转弹簧的弹性系数为kT，如题3-8图所示。
设IG为建筑物相对质心G的转动惯量，试利用坐标x（相对于平衡位置的直线运动）及描述建筑物转动的坐标q，求出运动方程。
（a）（b）
题3-8图
运动的分离体图如图（b）所示。
地震中可设q为微小角度，因此
因此运动方程为
如果则
则频率方程为
或
由动静法得，以刚体m为研究对象：
图中：
kx、m应反向。
方程应为
3-9为了使结构隔离机器产生的振动，将机器安装在一很大的机座上，机座由弹簧支承，如题3-9图所示。
试求机座在图示平面内的运动方程。
题3-9图
选择坐标q1、q2、q3，这些坐标已能完全描述该系统的运动，并相互独立。
设机器和机座的总质量为
升级会员 