黄昆固体物理课后习题 第四章.docx

1、黄昆固体物理课后习题 第四章第四章 能带理论4.1，根据 k状态简并微扰结果，求出与 E及 E 相应的波函数 及?，并说明它= + +a2 *们的特性说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布 说明能隙的来源(假设Vn = Vn )。解令 k =+ ， k = a a，简并微扰波函数为k k= A 0 ( x) + B 0 ( x)E 0 (k ) EnA + V * B = 0Vn A +E 0 ( k ) EB = 0取 E = E+n带入上式，其中 E+= E 0 (k ) + VV(x)0, Vn 0k s 0 1E s ( v) = J JRs = Nearestv v e ik Rs

2、 任选取一个格点为原点 最近邻格点有 12 个12 个最邻近格点的位置 a , 2 a , 2a , 02 a , 020,0,a , a2 2a , =a2 2 a , 2 a , 20, a20, a2 a ,a , 00, a ,=a a , 0, a 2 a , 22 a , 020,2 2 a , a2 2 2 a , 220, a2v v v v v v vR = a i + aj + 0kE s (k ) = J J eik Rss 2 2v v v +v + v a v + a v + vs a +0 1 Rs = Nearest x y zi ( k i k j k k )

3、( ie ik Rs = e 2j 0 k ) i ( kx2 = e 2k y )b2 4ac 类似的表示共有 12 项k a k a k a = (cos x i sink a x )(cos yi sin y )2 2 2 2 归并化简后得到面心立方 s 态原子能级相对应的能带k s 0E s ( v) = Jykx a k a kx a kz a s kz a )2k y a4 J1 (coscos2 2+ coscos2 2+ cos co2 对于体心立方格子，任选取一个格点为原点 a , 2 a , 2 a , 2 aa ,2 a ,2a ,2aa2 =a2 =a2a a , 2

4、a , 2 a , 2 a a , a2 2a , a2 2a , a2 2a a , , 2 2 2 , , 2 2 2v a v a v a v s vv v ik RRs = i + j + k2 2 2E (k ) = s J 0 J1e sRs = Nearestv v v vv a v a v a v aik Ri ( kx i + k y j + kz k )( i +j + k )i ( k x + k y + k z )e s = e2 2 2= e 2 类似的表示共有 8 项k a k a k a k a k a = (cos x i sink a x )(cos yi s

5、iny )(cos z i sin z )2 2 2 2 2 2 归并化简后得到体心立方 s 态原子能级相对应的能带k s 0 1E s ( v) = J 8J cosk x a2k acos y2cosk z a24.7,有一一维单原子链。间距为 a。总长度为 Na。求（1），用紧束缚近似求出原子 s 态能级 对应的能带 E(k)函数。（2）求出其能态密度函数的表达式。（3），如果每个原子 s 态只有一个电子，求等于 T=0K 的费米能级 E 0 及 E 0 处的能态密度。r r解 (1), E(k ) = s J0 J1 (eikaF+ eikaF) = s J0 2J1 cos ka =

6、 E0 2J1 cos karik Rs E(k ) = E J0 J ( ps )e L dk2Na 1 N(2) , N (E) = 2 2= =2 dE 2J1a sin ka J1 sin kaFk 0 rNa 2Nak 0 (3),N = 2 (k ) 2dk = 2 2k 0 = F k 0 =0 2 F F 2aF F1E 0 = E (k 0 ) = E 2 Jcos 2as F a = E , N (E 0 ) = J1Nsin a2a= N J14.8，证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大2 倍(b)对于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶

7、角上的一个自由电子动能比该区面心上 大多少？(c)(b)的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响 7解（a）二维简单正方晶格的晶格常数为 a，倒格子晶格基矢 A = 2 i, B = 2 j a a第一布里渊区如图所示a 0a 区边中点的波矢为KA2= i, 角顶B点的波矢为K2a B= i + j.a a 自由电子能量 =h ( K 2 + K 2 + K 2 ),x y z2mA点能量22h= h K 2 =2 h=2 ,A 2m x2m a 2m a 2 2 2 2 2 2B点能量= h ( K 2 + K 2 ) = h + = h 2, 所以/ = 2B 2m x y 2m a

8、a 2m B Aa 2 2 2 b)简单立方晶格的晶格常数为a，倒格子基矢为 A = i , B = j, C = k ,第一布里渊区如图 72 所示 a a a A点能量2= h 2; A 2m a 2 2 2 2 2 2 2B点能量= h ( K 2 + K 2 + K 2 ) = h + + = h a3 ,B 2mx y z 2m a a a 2m 所以 B / A = 3(c)如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图 72 所示根据自由电子理论，自由电子的能量为 =2h ( K 2 + K 2 + K 2 ) ，FerM 面应为球面由(b)可知，内2m x y z切于 4 点的

9、内切球的体积4 3 ，于是在 K 空间中，内切球内能容纳的电子数为3 a 4 3 V2= N = 1.047 N 其中V = Na3a 3 ( 2 )3 3二价金属每个原子可以提供 2 个自由电子，内切球内只能装下每原子 1.047 个电子， 余下的 0.953 个电子可填入其它状态中如果布里渊区边界上存在大的能量间隙，则余 下的电子只能填满第一区内余下的所有状态(包括 B 点)这样，晶体将只有绝缘体性 质然而由(b)可知，B 点的能员比 A 点高很多，从能量上看，这种电子排列是不利的事 实上，对于二价金属，布里渊区边界上的能隙很小，对于三维晶体，可出现一区、二区 能带重迭这样，处于第一区角顶

10、附近的高能态的电子可以“流向”第二区中的能量较 低的状态，并形成横跨一、二区的球形 Ferm 面因此，一区中有空态存在，而二区中 有电子存在，从而具有导电功能实际上，多数的二价金届具有六角密堆和面心立方结 构，能带出现重达，所以可以导电4.9 半金属交叠的能带k2 2h1E1 (k ) = E1 (0) 2m ,2hm1 = 0.18 mv vE (k ) = E (k ) +(k k )2 , m= 0.06 m22 2 0 2m 0 2其中 E1 (0) 为能带 1 的带顶，E2 (k0 ) 为能带 2 的带底.E1 (0) E2 (k0 ) = 0.1 eV 由于能带的交叠，能带 1 中

11、的部分电子转移到能带 2 中，而在能带 1 中形成空穴，讨论T = 0 K 时的费密能级解：半金属的能带 1 和能带 2 如图所示k2 2E (k ) = E (0) h11 1 2mE2 (k ) = E2 (k0 ) +2hk k02m2( v v )22m1E1 (0) E1 (k )k =h能带 1 的能态密度23 V dS h kN1 (E ) = 2(2 ) k Ek E =m13 V dSk E = h2E1 (0) E1 (k ) / m1N1 (E ) = 2(2 ) k EN (E ) = 2 V1 (2 )34 k 22E (0) E (k ) / mh 1 1 12V

12、2m 3N (E ) =( 1 ) 2E (0) E (k )1 (2 )2 h2 1 1同理能带 2 的能态密度2V 2m 3N (E) =( 2 ) 2E (k ) E (k )2 (2 )2 h2 2 2 0半金属如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能带。由于能带交叠，能带 1 中的电子填充到能带 2 中，满足E E01( 0 )E0FN1 (E)dE =FE2( k0 )N2 (E)dEE1( 0 ) 2V2m 3E0F 2V2m 3E0 (2 )2F( 1 ) 22hE1 (0) E1 (k )dE =E2( k0 )(2 )2( 2 ) 22hE2 (k ) E2 (k0 )dEm

13、13 3 E1( 0 )E1 (0) E1 (k )3= m2E2 (k ) E2 (k0 )03 EF2 2 2 2E0F E2( k0 )1 1 F 2 F 2 0m E (0) E 0 = m E 0 E (k )FE0 = m1E1 (0)+m2 E2 (k 0 ) ( m1 2= 0.18 m, m= 0.06 m E (0) E (k ) = 0.1 eV )m1 +m21 2 0F 2 0E 0 = E (k ) + 0.075 eV4.12，正方晶格设有二维正方晶格，晶体势为U ( x, y ) = 4U cos 2 x cos 2 y . a a a a 用基本方程，近似求出

14、布里渊区角 , 处的能隙 解以 i, j 表示位置矢量的单位矢量，以 b1 , b2 表示倒易矢量的单位矢量，则有，1 1 2 2r = xi + yi, G = G b + G b= 21 1 2 2 )a( g b + g b, g1 , g2为整数。晶体势能U ( x, y ) = 4U cos 2 x cos 2 y . a a U ( r ) = U ei 2 xi 2 x + e ei 2 yi 2+ e y UG(11)eiG(11) G(11)其中UG(11) = U，而其他势能傅氏系数UG(10) = UG(20) = . = 0 。这样基 本方程 (k ) C ( K )

15、+ UG G(K G) = 0变为G(K ) C ( K ) + UG (11)C ( K G(11) ) + U G ( 11 )C (K G( 11) ) + U G (11 )C (K G(1 1 ) ) + U G( 11)C (K G( 11) ) = 0求布里渊区角顶 , ，即 k = G( 1 , 1 ) = 1 G (11) 处的能隙，可利用双项平面波近a a 2 2 2似 = C (K )eiKr + C (K G)ei ( K G ) r 来处理。当 K = 1 G (11) , K = 1 G (11) 时依次有2 2K G (11) = 1 G (11) , K G ( 1 1 ) = + 1 G (11) 而其他的 K G (11 ) ，2 2K G (11 ) G (11)， 所 以 在 双 项 平 面 波 近 似 下 上 式 中 只 有C 1 G (11) , C ( K G (11) = C 1 G (11) ; 2 2 C 1 G (11) , C ( K G ( 1 1 ) = C + 1 G (11) ; 2 2 1 1 1 C G (11) UC G (1