黄昆固体物理课后习题 第四章.docx
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黄昆固体物理课后习题第四章
第四章能带理论
4.1，根据k
ð
状态简并微扰结果，求出与E
及E相应的波函数⎭及⎭
?
，并说明它
=±−+−+
a
2*
们的特性．说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布⎭说明能隙的来源（假设Vn=Vn）。
＜解＞令k
ðð
=+，k′=−
aa
，简并微扰波函数为⎭
kk
=A⎭0（x）+B⎭0（x）
E0（k）−E
n
A+V*B=0
VnA+
E0（k′）−E
B=0
取E=E+
n
带入上式，其中E+
=E0（k）+V
V（x）<0,Vn<0,从上式得到B=-A,于是
⎭=A⎡⎭0（x）−⎭0（x）⎤=
A⎡e
inðxa
−inðx⎤
−ea=
2Asinnðx
L
L
a
+⎣kk′⎦⎢⎥
⎣⎦
0
取E=E−，E−=E
（k）−Vn
VnA=−VnB,得到A=B
⎭=A⎡⎭0（x）−⎭0（x）⎤=
A⎡e
inðxa
−inðx⎤
−ea=
2Acosnðx
L
L
a
−⎣kk′⎦⎢⎥
⎣⎦
由教材可知，⌝+及⌝−均为驻波．在驻波状态下，电子的平均速度⎨（k）为零．产生
nð2ð2a
驻波因为电子波矢k=时，电子波的波长⎣==，恰好满足布拉格发射条件，这
akn
时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入
能量。
4.2,写出一维近自由电子近似，第n个能带（n=1，2，3）中，简约波数k=
ð
的0级波函数。
2a
ri2ðmxiðxi2ðmxi2ð（m+1）x
＜解＞
*（）
1ikx
1ikxa
12aa1a4
⎭kx=e=ee
=e⋅e=e
LLLL
ð
第一能带：
m⋅=0,m=0,⎭*（x）=
1iðx
e2a
2akL
ðð2ðð3ð
第二能带：
b=b′则b′→b,m⋅2
=−2
即m=−1（,
ixi
a=2a）∴⎭*（x）=
1ix
e2a
eek
aaL
ððð2ð5ð
第三能带：
c′→c,m⋅2
=2,即m=1,⎭*（x）=
1ixix
e2a⋅ea=
1ix
e2a
aakLL
4.3电子在周期场中的势能．
1m⎤2⎡b2−（x−na）2⎤,
当na−b≤x≤na+b
2⎣⎦
V（x）=0，
当（n-1）a+b≤x≤na−b
其中d＝4b，⎤是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度．
＜解＞（I）题设势能曲线如下图所示．
（2）势能的平均值：
由图可见，V（x）是个以a为周期的周期函数，所以
V（x）=1∫V（x）=1∫aV（x）dx=1∫a−bV（x）dx
LLab
a−b
题设a=4b，故积分上限应为a−b=3b，但由于在[b,3b]区间内V（x）=0，故只需在
[−b,b]区间内积分．这时，n=0，于是
V=1
bm⎤
V（x）dx=
2bm⎤2
（b2−x2）dx=
⎡b2xb
−1x3b
⎤=1m⎤b2。
a∫−b
2a∫−b
2a⎢
−b3
−b⎥6
⎣⎦
（3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数
∞
V（x）=V+∑
V
′cosmðx,V
22bmð1bmð
=∫V（x）cosxdx=∫V（x）cosxdx
0m
m=−∞
2bm
2b0
2bb02b
11
第一个禁带宽度Eg=2V1,以m=1代入上式,Eg=
m⎤2
b
b
∫0（b
2−x2
）cosðxdx
2b
利用积分公式
u2cosmudu=
u⎡（musinmu+2cosmu）⎤−
2sinmu得
∫m2⎣⎦m3
Eg1
2
=16m⎤ð3
b2第二个禁带宽度E
2
g=2V2
以m=2代入上式,代入上式
m⎤2
E=
bðx
∫（b2−x2）cos
dx再次利用积分公式有E
2m⎤2
=b2
g2b0b
g2ð2
4.4用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s态原子能级相对应的能带
k
Es（v）函数
解：
面心立方晶格——s态原子能级相对应的能带函数
vvvv
s
Es（k）=∑
−J0
−∑J（R）e−ik⋅Rs
s
Rs=Nearest
——s原子态波函数具有球对称性
v0*vv
vv0vv
J1=J（Rs）=−∫ϕi
（⎩−Rs）[U（⎩）−V（⎩）]ϕi（⎩）}d⎩>0
ks01
Es（v）=∑−J−J
∑
Rs=Nearest
vv
−⋅
eikRs
——任选取一个格点为原点
——最近邻格点有12个
12个最邻近格点的位置
⎧a,
⎪2
⎪
⎪a,
⎪2
⎨
a,0
2
−a,0
2
⎧
⎪0,
⎪
⎪0,
⎪
⎨
a,a
22
a,−=a
22
⎧a,
⎪2
⎪
⎪a,
⎪2
⎨
0,a
2
0,−a
2
⎪−a,
a,0
⎪0,
−a,
=a⎪−a,0,a
⎪2
⎪a
⎪−,
⎩2
2
−a,0
2
⎪
⎪
⎪0,
⎩
22
−a,−a
22
⎪2
⎪a
⎪−,
⎩2
2
0,−a
2
vvvvvvv
R=ai+a
j+0k
Es（k）=∑−J
−Je−ik⋅Rs
s22
vv−v+
v+v⋅av+av+v
s
−a+
01∑
Rs=Nearest
−⋅xyz
i（kikjkk）（i
eikRs=e2
j0k）i（kx
2=e2
ky）
b2−4ac
——类似的表示共有12项
kaka−ka
=（cosx
−isin
ka
x）（cosy
isiny）
2222
——归并化简后得到面心立方s态原子能级相对应的能带
ks0
Es（v）=∑−J
y
kxaka
kxakza
skza）
2
kya
−4J1（cos
cos
22
+cos
cos
22
+cosco
2
——对于体心立方格子，任选取一个格点为原点
⎧a,
⎪2
⎪
⎪−a,
⎪2
⎨
⎪a,
⎪2
⎪a
a,
2
−a,
2
a,
2
a
a
2
−=a
2
−=a
2
a
⎧a,
⎪2
⎪
⎪−a,
⎪2
⎨
⎪−a,
⎪2
⎪a
−a,a
22
a,−a
22
a,a
22
aa
⎪−,−,
⎩222
⎪,−,−
⎩222
vavavavsv
vv
−⋅
∑ikR
Rs=i+j+k
222
E（k）=∑s
−J0−J1
es
Rs=Nearest
vvvv
vavavava
−ik⋅R
−i（kxi+kyj+kzk）⋅（i+
j+k）
−i（kx+ky+kz）
es=e
222
=e2
——类似的表示共有8项
kaka
−kakaka
=（cosx
−isin
ka
x）（cosy
isin
y）（cosz
−isinz）
222222
——归并化简后得到体心立方s态原子能级相对应的能带
ks01
Es（v）=∑−J−8Jcos
kxa
2
ka
cosy
2
cos
kza
2
4.7,有一一维单原子链。
间距为a。
总长度为Na。
求
（1），用紧束缚近似求出原子s态能级对应的能带E（k）函数。
（2）求出其能态密度函数的表达式。
（3），如果每个原子s态只有一
个电子，求等于T=0K的费米能级E0及E0处的能态密度。
r
⎡r
＜解＞
（1）,E（k）=∑s−J0−J1（e
ika
F
+e−ika
F
）=∑s−J0−2J1coska=E0−2J1coska
⎤
r
−ik⋅Rs
⎢E（k）=E−J0−∑J（ps）e⎥
⎣⎦
Ldk
2Na1N
（2）,N（E）=2⋅⋅2
=⋅=
2ðdE
ð2J1asinka
ðJ1sinka
F
k0r
Na2Nak0ð
（3）,
N=∫2〉（k）⋅2dk=2⋅⋅2k0=F∴k0=
02ðFð
F2a
FF
1
E0=E（k0）=E−2J
cosð
2a
sF
⋅a=E,N（E0）=
ðJ1
N
sinð⋅a
2a
=N
ðJ1
4.8，证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大
2倍．（b）对于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区面心上大多少？
（c）（b）的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响7
＜解＞（a）二维简单正方晶格的晶格常数为a，倒格子晶格基矢A=2ðiˆ,B=2ðˆjaa
第一布里渊区如图所示
ð
a
−ð0
a
−ð
区边中点的波矢为KA
2
=ðiˆ,角顶B点的波矢为K
2
aB
=⎛ð⎞iˆ+⎛ð⎞ˆj.
aa
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
自由电子能量∑=
h（K2+K2+K2）,
xyz
2m
A点能量∑
2
2
h
=hK2=
2⎛ð⎞
h
=
2⎛ð⎞
A2mx
2m⎜a⎟
2m⎜a⎟
⎝⎠⎝⎠
222222
B点能量∑
=h（K2+K2）=h
⎡⎛ð⎞
+⎛ð⎞⎤=h
⎡⎛ð⎞
2
⎤
所以∑
/∑=2
B2mxy
⎢⎜⎟⎜⎟⎥
2m⎢⎣⎝a⎠⎝a⎠⎥⎦
⎢
2m⎢⎣
⎜⎟⎥BA
a
⎝⎠⎥⎦
⎛2ð⎞ˆ
⎛2ð⎞ˆ
⎛2ð⎞ˆ
b）简单立方晶格的晶格常数为a，倒格子基矢为A=⎜⎟i,B=⎜⎟j,C=⎜⎟k,
第一布里渊区如图7—2所示．
⎝a⎠⎝
a⎠⎝a⎠
A点能量∑
2
==h
⎛ð⎞2
;
⎝⎠
A2m⎜a⎟
2222222
B点能量∑
=h（K2+K2+K2）=h
⎡⎛ð⎞
+⎛ð⎞
+⎛ð⎞⎤=h
⎡⎛ð⎞⎤
a
3,
B2m
xyz
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎥
2m⎢aaa
⎣⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎥⎦
2m⎢
⎜⎟⎥
⎣
⎝⎠⎥⎦
所以∑B/∑A=3
（c）如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图7—2所示．根据自由电子
理论，自由电子的能量为∑=
2
h（K2+K2+K2），FerM面应为球面．由（b）可知，内
2mxyz
切于4点的内切球的体积
4ð⎛ð⎞3
⎜⎟
，于是在K空间中，内切球内能容纳的电子数为
3⎝a⎠
4ð⎛ð⎞3V
2
=ðN=1.047N其中V=Na3
a
⎜⎟
3⎝⎠
（2ð）33
二价金属每个原子可以提供2个自由电子，内切球内只能装下每原子1.047个电子，余下的0.953个电子可填入其它状态中．如果布里渊区边界上存在大的能量间隙，则余下的电子只能填满第一区内余下的所有状态（包括B点）．这样，晶体将只有绝缘体性质．然而由（b）可知，B点的能员比A点高很多，从能量上看，这种电子排列是不利的．事实上，对于二价金属，布里渊区边界上的能隙很小，对于三维晶体，可出现一区、二区能带重迭．这样，处于第一区角顶附近的高能态的电子可以“流向”第二区中的能量较低的状态，并形成横跨一、二区的球形Ferm面．因此，一区中有空态存在，而二区中有电子存在，从而具有导电功能．实际上，多数的二价金届具有六角密堆和面心立方结构，能带出现重达，所以可以导电．
4.9半金属交叠的能带
k
22
h
1
E1（k）=E1（0）−2m,
2
h
m1=0.18m
vv
E（k）=E（k）+
（k−k）2,m
=0.06m
2
2202m02
其中E1（0）为能带1的带顶，E2（k0）为能带2的带底.
E1（0）−E2（k0）=0.1eV由于能带的
交叠，能带1中的部分电子转移到能带2中，而在能带1中形成空穴，讨论T=0K时的费
密能级
解：
半金属的能带1和能带2如图所示
k
22
E（k）=E（0）−h
1
112m
E2（k）=E2（k0）+
2
h
kk0
2m2
（v−v）2
2m1[E1（0）−E1（k）]
k=
h
能带1的能态密度
2
3∫
VdShk
N1（E）=2
（2ð）∇kE
∇kE=
m
1
3∫
VdS
∇kE=h
2[E1（0）−E1（k）]/m1
N1（E）=2
（2ð）∇kE
N（E）=2V
1（2ð）3
4ðk2
2[E（0）−E（k）]/m
h111
2V2m3
N（E）=
（1）2
E（0）−E（k）
1（2ð）2h211
同理能带2的能态密度
2V2m3
N（E）=
（2）2
E（k）−E（k）
2（2ð）2h2220
半金属如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能带。
由于能带交叠，能带1中的电子填
充到能带2中，满足
EE0
1（0）
∫
E
0
F
N1（E）dE=
F
∫
E2（k0）
N2（E）dE
E1（0）2V
2m3
E
0
F2V
2m3
E
0
∫（2ð）2
F
（1）2
2
h
E1（0）−E1（k）dE=
∫
E2（k0）
（2ð）2
（2）2
2
h
E2（k）−E2（k0）dE
−m1
33E1（0）
[E1（0）−E1（k）]
3
=m2
[E2（k）−E2（k0）]
0
3EF
2222
E
0
FE2（k0）
11F2F20
m[E（0）−E0]=m[E0−E（k）]
F
E0=m1E1（0）+m2E2（k0）（m
12
=0.18m,m
=0.06mE（0）−E（k）=0.1eV）
m1+m2
120
F20
E0=E（k）+0.075eV
4.12，正方晶格．设有二维正方晶格，晶体势为U（x,y）=−4Ucos⎛2ðx⎞cos⎛2ðy⎞.
⎜a⎟⎜a⎟
aa
⎜⎟
用基本方程，近似求出布里渊区角⎛ð,ð⎞处的能隙．
⎝⎠
⎝⎠⎝⎠
ˆˆ
＜解＞以iˆ,ˆj表示位置矢量的单位矢量，以b1,b2表示倒易矢量的单位矢量，则有，
1122
r=xiˆ+yiˆ,G=Gbˆ+Gbˆ
=2ð
1122）
a
（gbˆ+gbˆ
g1,g2为整数。
晶体势能U（x,y）=−4Ucos⎛2ðx⎞cos⎛2ðy⎞.
⎜a⎟⎜a⎟
⎝⎠⎝⎠
⎛
U（r）=−U⎜e
i2ðx
⎛
−i2ðx⎞⎛
+e⎛⎟⎜e
i2ðy
⎛
−i2ð
+e⎛
y⎞
⎟∑UG（11）e
iG（11）
⎝⎠⎝⎠G（11）
其中UG（11）=−U，而其他势能傅氏系数UG（10）=UG（20）=...=0。
这样基本方程
（⎣k−∑）C（K）+∑UGG（K−G）=0变为
G
（⎣K−∑）C（K）+UG（11）C（K−G（11））+UG（11）C（K−G（11））+UG（11）C（K−G（11））+UG（11）C（K−G（11））=0
求布里渊区角顶⎛ð,ð⎞，即k=G（1,1）=1G（11）处的能隙，可利用双项平面波近
aa
⎝⎠
⎜⎟222
似
⌝=C（K）eiKr+C（K−G）ei（K−G）r来处理。
当K=1G（11）,K=−1G（11）时依次有
22
K−G（11）=−1G（11）,K−G（11）=+1G（11）而其他的K−G（11），
22
K−G（11）>G（11）
，所以在双项平面波近似下上式中只有
C⎛1G（11）⎞,C（K−G（11））=C⎛−1G（11）⎞;
⎜2⎟⎜2⎟
⎝⎠⎝⎠
C⎛1G（11）⎞,C（K−G（11））=C⎛+1G（11）⎞;
⎜2⎟⎜2⎟
⎝⎠⎝⎠
⎛⎞⎛1
⎞⎛1⎞
⎜⎣1
−∑⎟C⎜
G（11）⎟−UC⎜−
G（1
升级会员 