平面力系平衡方程的应用.docx

1、平面力系平衡方程的应用第三章 平面力系平衡方程的应用第1节 物体系统的平衡问题一、外力、内力的概念(1)外力。系统外任何物体作用于该系统的力称为这个系统的外力。(2)内力。所研究的系统内部各物体间相互作用的力称为内力，内力总是成对地作用于同一系统上。因此，当取系统为研究对象时，不必考虑这些内力。二、静定与静不定概念(1)静定系统。系统中所有未知量的总数小于或等于系统独立的平衡方程的总数时，称这系统为静定系统。这类系统仅应用刚体的静力平衡条件，就可以求得全部未知量的解。(2)静不定系统。系统中所有未知量的总数大于系统独立的平衡方程的总数时，称这系统为静不定系统或超静定系统。这类问题仅应用刚体的静

2、力平衡条件，不能求得全部未知量的解。三、物体系统的平衡问题常见的物体系统的平衡问题有三类，即构架；多跨静定梁；三铰拱。这三类问题都有其相应的求解特点，在求解过程中能总结归纳。在求解这三类问题时通常要注意以下情况，如固定端约束、铰上受力、分布荷载计算、二力构件等。例1图3-1-1-1所示结构由AB、CD、DE三个杆件铰结组成。已知a2m，q500N/m，F2000N。求铰链B的约束反力。图3-1-1-1 解：取整体为研究对象，其受力如图3-1-1-2所示。图3-1-1-2 列平衡方程，有 F y =0, F Ay Fqa=0 得F Ay =300N M C (F)=0,3a F Ay a F A

3、x +aF+1.5aqa=0 得F Ax =5500N 分析AEB杆，受力图如图3-1-1-3所示。图3-1-1-3 F x =0, F Ax + F Bx =0 故F Bx = F Ax =5500N M E ( F )=0, F By a+ F Bx a+ F Bx a F Ay a=0 则得F By = F Ay F Bx =2500N 例2求图3-1-1-4所示多跨静定梁的支座反力。梁重及摩擦均不计。图3-1-1-4 解：研究EG梁，受力分析如图3-1-1-5。图3-1-1-5 Fx =0 F Ex =0 由对称关系得F Ey = F GN = 1 2 (24.5)=4.5kN() 研

4、究CE梁，如图3-1-1-6图3-1-1-6 有 Fx =0 F Cx F CE =0, F Cx = F CE =0 M C ( F )=0 F DN 4.5102 F Ey 6=0 F DN =10.44kN 研究AC梁，如图3-1-1-7图3-1-1-7 Fx =0 F Ax F Cx =0 F Ax = F Cx =0 M A ( F )=0 F BN 6203 F Cy 7.5=0 F BN =15.08kN Fy =0 F Ay 20+ F BN F Cy =0 F Ay =8.98kN 例3如图3-1-1-8所示三铰拱上，作用着均匀分布于左半跨内的铅直荷载，其集度为 q(kN/m

5、)，拱重及摩擦均不计。求铰链A、B处的反力。图3-1-1-8 解：研究整体，受力图如图3-1-1-9所示图3-1-1-9 有 M B ( F )=0 F Ay l+q l 2 3l 4 =0 F Ay = 3ql 8 () M A ( F )=0 F By lq l 2 l 4 =0 F By = ql 8 () 研究AC梁，受力图如图3-1-1-10所示图3-1-1-10 有 M C ( F )=0 F Ax hq 3l 8 l 2 + ql 2 l 4 =0 得F Ax = q l 2 16h () F Bx = q l 2 16h () 第2节 平面简单桁架的内力计算一、桁架的概念(1)

6、桁架是由一些杆件彼此在两端用铰链连接几何形状不变的结构。工程上很多结构采用桁架这种结构形式，如桁梁桥、大空间屋架结构、石油钻井平台等。(2)特点：杆系结构、端部连接、受载后不变形。(3)工程上把几根直杆连接的地方称为节点。(4)桁架分析的目的：截面形状及尺寸设计、材料选取、强度校核。(5)理想桁架的几个假设：桁架中各杆为刚性直杆；各杆在节点处系用光滑的铰链连接；所有外力作用在节点上。(6)平面简单桁架的构成。以基本三角形为基础，每增加一个节点，需要增加不在同一直线两根杆件，依次类推可得桁架称为平面简单桁架。二、平面简单桁架的内力计算桁架的计算就是二力杆内力的计算。平面简单桁架的计算有两种方法：

7、节点法、截面法。1. 节点法假想将某节点周围的杆件割断，取该节点为考察对象，建立其平衡方程，以求解杆件内力的一种方法。例1如图3-2-1-1所示平面桁架，求AF、AC、FC、FE杆的内力。已知铅垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。图3-2-1-1 解：先取整体为研究对象，受力如图3-2-1-2所示。图3-2-1-2 由平衡方程 F x =0, F Ax + F E =0 F y =0, F Ay + F B F C =0 M A (F) =0,a F E +3a F B a F C =0 解得F Ax =2kN, F Ay =2kN, F B =2kN 取A节点为研究对象，如图3-2-1-3

8、所示。图3-2-1-3 有 F x =0, F Ax + F Ac + F AF cos45=0 F y =0, F Ay + F AF sin45=0 解得F AF =2.83kN, F AC =4kN 取F节点为研究对象，受力图如图3-2-1-4所示。图3-2-1-4 F x =0, F FE F FA cos45 =0 F y =0, F FC + F FA sin45 =0 解得F FC =2kN, F FE =2kN 2. 截面法用适当的截面将桁架截开，取其中一部分为研究对象，建立平衡方程，求解被切断杆件内力的一种方法。例2如图2-3-1-5所示平面桁架，求FE、CE、CD杆内力。已

9、知铅垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。图3-2-1-5 解：整体分析，作受力分析，如图2-3-1-6所示。图3-2-1-6 列平衡方程，有 F x =0, F x + F E =0 F y =0, F B + F Ay F C =0 M A (F)=0, F C a F E a+ F B 3a=0 联立求解得F Ax =2kN F Ay =2kN F B =2kN 作一截面m-m将三杆截断，取左部分为分离体，受力分析如图3-2-1-7。图3-2-1-7 由平衡方程 F x =0, F CD + F Ax + F FE + F CE cos45=0 F y =0, F Ay F C + F

10、CE cos45 =0 M C (F)=0, F FE a F Ay a=0 联立求解得 F CE =2 2 kN, F CD =2kN, F FE =2kN 3. 零杆的判别BC、AC杆为零杆，如图3-2-1-8图3-2-1-8 BA、BF、FC杆为零杆，如图3-2-1-9图3-2-1-9 第3节 摩擦与考虑摩擦时的平衡问题1、 滑动摩擦与滚动摩阻一、滑动摩擦两个相互接触的物体，当它们发生沿接触面的相互滑动或有相对滑动趋势时，彼此间产生阻碍这个运动或运动趋势的力，称为滑动摩擦力。1. 静滑动摩擦力(1)方向与两物体间相对滑动的趋势方向相反。(2)大小由静力平衡方程确定，且有 0 F s F

11、max ，其中 F max 为最大静滑动摩擦力。2. 最大静滑动摩擦力当物块处于临界平衡状态时，静滑动摩擦力达到最大值。最大静滑动摩擦力与物体对支承面的正压力 F N 成正比，即 F max = F N f s ，其中 f s 称为静滑动摩擦因数，为无量纲常数，其值与相互接触表面的材料、粗糙度、湿度、温度等有关，一般由实验的方法测定。3. 摩擦角与自锁现象(1)全反力支承面的反力包括了两个分量，即法向反力 F N 与静滑动摩擦力 F s ，这两个力的合力称为全反力，如图3-3-1-1所示。即 F R = F N + F s 图3-3-1-1 (2)摩擦角在临界状态下，全反力达到极值，该状态下的

12、全反力与支承面在接触点的法线间的夹角 m 称为摩擦角，并且有tan m = F max F N = f s 此式说明，摩擦角的正切等于静摩擦因数。(3)自锁现象如果作用于物体的主动力的合力作用线在摩擦角以内，则不论这个力多大，物体总能保持静止状态，这种现象称为自锁。4. 动滑动摩擦当两物体接触表面有相对滑动时的摩擦力称为动滑动摩擦力 F ，简称动摩擦力。(1)动摩擦力的方向。与相对滑动的速度方向相反。(2)动摩擦力的大小。与两物体接触间的正压力 F N 成正比，即 F = F N f ，其中 f 称为动滑动摩擦因数，简称动摩擦因数。在一般情况下，动摩擦因数小于静摩擦因数，即 f f s 二、滚

13、动摩阻当一物体沿另一物体表面滚动或具有滚动趋势时，除可能受到滑动摩擦力外，还要受到一个阻力偶的作用，这个阻力偶称为滚动摩阻。如图3-3-1-2所示。图3-3-1-2 1. 滚动摩阻(1)方向与相对滚动方向或相对滚动趋势方向相反。(2)大小由平衡方程式确定，且滚阻力偶矩 M f 满足 0 M f M max ，其中 M max 为滚阻力偶矩的最大值。2. 滚阻力偶矩的最大值 M max 当物体处于滚动平衡的临界状态时，滚阻力偶矩将将达到最大值。滚阻力偶矩的最大值与两物体间的法向正压力成正比，即 M max = F N ，其中 称为滚阻系数，具有长度的量纲，其值可由实验的方法测定。2、 考虑摩擦时

14、的平衡问题在具有摩擦的情况下，由静力平衡方程和摩擦的物理方程联合求解。一般说来有以下三种类型：1. 判断物体所处的状态它是处于静止、临界或是滑动情况中的哪一种。当它们处于静止或临界平衡状态时，还必须分析其运动趋势，滑动摩擦力和滚阻力偶必须与相对滑动或相对滚动的趋势方向相反。(1)若物体处于静止状态，则由静力平衡方程来确定摩擦力。(2)若物体处于临界平衡状态，则由静力平衡方程和库仑摩擦定律联立求解，但必须正确分析摩擦力（包括滚阻力偶）的方向。(3)若物体处于运动状态，则当物体运动时，其滑动摩擦力为动滑动摩擦力。2. 求具有摩擦时物体能保持静止的条件由于静滑动摩擦力的大小可以在一定范围内变化，所以

15、物体有一平衡范围，这个平衡范围有时是用几何位置、几何尺寸来表示的，有时是用力来表示的。3. 求解物体处于临界状态时的平衡问题摩擦力由库仑摩擦定律确定，结合静力平衡方程式，可得到唯一解答。在求解方法上，一般有解析法和几何法两种，或者两种方法的混合使用。例1物块重为P，与水平面间静摩擦系数为fs，用同样大小的力F使物块向右滑动，图3-3-2-1的施力方法与图3-3-2-2相比较，哪一种更有力? 图3-3-2-1图3-3-2-2 解：进行受力分析，如图3-3-2-3和图3-3-2-4所示。 图3-3-2-3图3-3-2-4 N=P+ F 1 sin, F max =(P+ F 1 sin)fS N=

16、P F 2 sin, F max =(P F 2 sin)fS 可见图3-3-2-4更省力。例2圆柱体重P ，支承于A、B两物体上如图3-3-2-5所示，已知A、B两物体各重P/2，其它们于圆柱体之间的摩擦不计，又它们于地面的摩擦相同。设当 = 30 ，系统处于临界平衡状态，求A、B两物体与地面的摩擦系数。图3-3-2-5 (1)以圆柱体为研究对象，其受力图如图3-3-2-6所示。图3-3-2-6 Fx= 0,FNA=FNB Fy=0,FNAsin 30 +FNBsin 30 P=0 FNA=FNB=P (2)以A物体为研究对象，因系统对称、受力对称，A、B物体受力情况相同，故只研究A，其受力图如图3-3-2-7。图3-3-2-7 Fx=0,FSPsin 30 =0,FS= 3 2 P Fy=0,FN P 2 Psin 30 =0,FN=P 故F max =FNfS=PfS 因系统处于临界状态，则FS= 3 2 P= F max =PfS 即fS= 3 2 =0.866