平面力系平衡方程的应用.docx

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平面力系平衡方程的应用

第三章平面力系平衡方程的应用

第1节物体系统的平衡问题

一、外力、内力的概念

（1）外力。

系统外任何物体作用于该系统的力称为这个系统的外力。

（2）内力。

所研究的系统内部各物体间相互作用的力称为内力，内力总是成对地作用于同一系统上。

因此，当取系统为研究对象时，不必考虑这些内力。

二、静定与静不定概念

（1）静定系统。

系统中所有未知量的总数小于或等于系统独立的平衡方程的总数时，称这系统为静定系统。

这类系统仅应用刚体的静力平衡条件，就可以求得全部未知量的解。

（2）静不定系统。

系统中所有未知量的总数大于系统独立的平衡方程的总数时，称这系统为静不定系统或超静定系统。

这类问题仅应用刚体的静力平衡条件，不能求得全部未知量的解。

三、物体系统的平衡问题

常见的物体系统的平衡问题有三类，即构架；多跨静定梁；三铰拱。

这三类问题都有其相应的求解特点，在求解过程中能总结归纳。

在求解这三类问题时通常要注意以下情况，如固定端约束、铰上受力、分布荷载计算、二力构件等。

例1

图3-1-1-1所示结构由AB、CD、DE三个杆件铰结组成。

已知a＝2m，q＝500N/m，F＝2000N。

求铰链B的约束反力。

图3-1-1-1

解：

取整体为研究对象，其受力如图3-1-1-2所示。

图3-1-1-2

列平衡方程，有

∑Fy=0,FAy−F−qa=0

得

FAy=300N

∑MC（F）=0,−3aFAy−aFAx+aF+1.5a×qa=0

得

FAx=−5500N

分析AEB杆，受力图如图3-1-1-3所示。

图3-1-1-3

∑Fx=0,FAx+FBx=0

故

FBx=−FAx=5500N

∑ME（F→）=0,FBya+FBxa+FBxa−FAya=0

则得

FBy=FAy−FBx=−2500N

例2

求图3-1-1-4所示多跨静定梁的支座反力。

梁重及摩擦均不计。

图3-1-1-4

解：

研究EG梁，受力分析如图3-1-1-5。

图3-1-1-5

∑Fx=0FEx=0

由对称关系得

FEy=FGN=12（2×4.5）=4.5kN（↑）

研究CE梁，如图3-1-1-6

图3-1-1-6

有

∑Fx=0FCx−FCE=0,FCx=FCE=0

∑MC（F⇀）=0FDN×4.5−10×2−FEy×6=0⇒FDN=10.44kN

研究AC梁，如图3-1-1-7

图3-1-1-7

∑Fx=0FAx−FCx=0⇒FAx=FCx=0∑MA（F⇀）=0FBN×6−20×3−FCy×7.5=0⇒FBN=15.08kN

∑Fy=0FAy−20+FBN−FCy=0⇒FAy=8.98kN

例3

如图3-1-1-8所示三铰拱上，作用着均匀分布于左半跨内的铅直荷载，其集度为q（kN/m），拱重及摩擦均不计。

求铰链A、B处的反力。

图3-1-1-8

解：

研究整体，受力图如图3-1-1-9所示

图3-1-1-9

有

∑MB（F⇀）=0−FAy⋅l+q⋅l2⋅3l4=0⇒FAy=3ql8（↑）

∑MA（F⇀）=0FBy⋅l−q⋅l2⋅l4=0⇒FBy=ql8（↑）

研究AC梁，受力图如图3-1-1-10所示

图3-1-1-10

有

∑MC（F⇀）=0FAx⋅h−q⋅3l8⋅l2+ql2⋅l4=0

得

FAx=ql216h（→）FBx=ql216h（←）

第2节平面简单桁架的内力计算

一、桁架的概念

（1）桁架是由一些杆件彼此在两端用铰链连接几何形状不变的结构。

工程上很多结构采用桁架这种结构形式，如桁梁桥、大空间屋架结构、石油钻井平台等。

（2）特点：

杆系结构、端部连接、受载后不变形。

（3）工程上把几根直杆连接的地方称为节点。

（4）桁架分析的目的：

截面形状及尺寸设计、材料选取、强度校核。

（5）理想桁架的几个假设：

桁架中各杆为刚性直杆；各杆在节点处系用光滑的铰链连接；所有外力作用在节点上。

（6）平面简单桁架的构成。

以基本三角形为基础，每增加一个节点，需要增加不在同一直线两根杆件，依次类推可得桁架称为平面简单桁架。

二、平面简单桁架的内力计算

桁架的计算就是二力杆内力的计算。

平面简单桁架的计算有两种方法：

节点法、截面法。

1.节点法

假想将某节点周围的杆件割断，取该节点为考察对象，建立其平衡方程，以求解杆件内力的一种方法。

例1

如图3-2-1-1所示平面桁架，求AF、AC、FC、FE杆的内力。

已知铅垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。

图3-2-1-1

解：

先取整体为研究对象，受力如图3-2-1-2所示。

图3-2-1-2

由平衡方程

∑Fx=0,FAx+FE=0

∑Fy=0,FAy+FB−FC=0

∑MA（F）=0,−a×FE+3a×FB−a×FC=0

解得

FAx=−2kN,FAy=2kN,FB=2kN

取A节点为研究对象，如图3-2-1-3所示。

图3-2-1-3

有

∑Fx=0,FAx+FAc+FAFcos⁡45°=0

∑Fy=0,FAy+FAFsin⁡45°=0

解得

FAF=−2.83kN,FAC=4kN

取F节点为研究对象，受力图如图3-2-1-4所示。

图3-2-1-4

∑Fx=0,FFE−FFAcos⁡45°=0

∑Fy=0,−FFC+FFAsin⁡45°=0

解得

FFC=2kN,FFE=−2kN

2.截面法

用适当的截面将桁架截开，取其中一部分为研究对象，建立平衡方程，求解被切断杆件内力的一种方法。

例2

如图2-3-1-5所示平面桁架，求FE、CE、CD杆内力。

已知铅垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。

图3-2-1-5

解：

整体分析，作受力分析，如图2-3-1-6所示。

图3-2-1-6

列平衡方程，有

∑Fx=0,Fx+FE=0∑Fy=0,FB+FAy−FC=0∑MA（F）=0,−FCa−FEa+FB3a=0

联立求解得

FAx=−2kNFAy=2kNFB=2kN

作一截面m-m将三杆截断，取左部分为分离体，受力分析如图3-2-1-7。

图3-2-1-7

由平衡方程

∑Fx=0,FCD+FAx+FFE+FCEcos⁡45°=0

∑Fy=0,FAy−FC+FCEcos⁡45°=0

∑MC（F）=0,−FFE×a−FAy×a=0

联立求解得

∑FCE=−22kN,FCD=2kN,FFE=−2kN

3.零杆的判别

BC、AC杆为零杆，如图3-2-1-8

图3-2-1-8

BA、BF、FC杆为零杆，如图3-2-1-9

图3-2-1-9

第3节摩擦与考虑摩擦时的平衡问题

1、滑动摩擦与滚动摩阻

一、滑动摩擦

两个相互接触的物体，当它们发生沿接触面的相互滑动或有相对滑动趋势时，彼此间产生阻碍这个运动或运动趋势的力，称为滑动摩擦力。

1.静滑动摩擦力

（1）方向

与两物体间相对滑动的趋势方向相反。

（2）大小

由静力平衡方程确定，且有0≤Fs≤Fmax⁡，其中Fmax⁡为最大静滑动摩擦力。

2.最大静滑动摩擦力

当物块处于临界平衡状态时，静滑动摩擦力达到最大值。

最大静滑动摩擦力与物体对支承面的正压力FN成正比，即Fmax⁡=FN⋅fs，其中fs称为静滑动摩擦因数，为无量纲常数，其值与相互接触表面的材料、粗糙度、湿度、温度等有关，一般由实验的方法测定。

3.摩擦角与自锁现象

（1）全反力

支承面的反力包括了两个分量，即法向反力FN与静滑动摩擦力Fs，这两个力的合力称为全反力，如图3-3-1-1所示。

即FR=FN+Fs

图3-3-1-1

（2）摩擦角

在临界状态下，全反力达到极值，该状态下的全反力与支承面在接触点的法线间的夹角ϕm称为摩擦角，并且有

tan⁡ϕm=Fmax⁡FN=fs

此式说明，摩擦角的正切等于静摩擦因数。

（3）自锁现象

如果作用于物体的主动力的合力作用线在摩擦角以内，则不论这个力多大，物体总能保持静止状态，这种现象称为自锁。

4.动滑动摩擦

当两物体接触表面有相对滑动时的摩擦力称为动滑动摩擦力F′，简称动摩擦力。

（1）动摩擦力的方向。

与相对滑动的速度方向相反。

（2）动摩擦力的大小。

与两物体接触间的正压力FN成正比，即F′=FN⋅f′，其中f′称为动滑动摩擦因数，简称动摩擦因数。

在一般情况下，动摩擦因数小于静摩擦因数，即f′

二、滚动摩阻

当一物体沿另一物体表面滚动或具有滚动趋势时，除可能受到滑动摩擦力外，还要受到一个阻力偶的作用，这个阻力偶称为滚动摩阻。

如图3-3-1-2所示。

图3-3-1-2

1.滚动摩阻

（1）方向与相对滚动方向或相对滚动趋势方向相反。

（2）大小由平衡方程式确定，且滚阻力偶矩Mf满足0≤Mf≤Mmax⁡，其中Mmax⁡为滚阻力偶矩的最大值。

2.滚阻力偶矩的最大值Mmax⁡

当物体处于滚动平衡的临界状态时，滚阻力偶矩将将达到最大值。

滚阻力偶矩的最大值与两物体间的法向正压力成正比，即Mmax⁡=δFN，其中δ称为滚阻系数，具有长度的量纲，其值可由实验的方法测定。

2、考虑摩擦时的平衡问题

在具有摩擦的情况下，由静力平衡方程和摩擦的物理方程联合求解。

一般说来有以下三种类型：

1.判断物体所处的状态

它是处于静止、临界或是滑动情况中的哪一种。

当它们处于静止或临界平衡状态时，还必须分析其运动趋势，滑动摩擦力和滚阻力偶必须与相对滑动或相对滚动的趋势方向相反。

（1）若物体处于静止状态，则由静力平衡方程来确定摩擦力。

（2）若物体处于临界平衡状态，则由静力平衡方程和库仑摩擦定律联立求解，但必须正确分析摩擦力（包括滚阻力偶）的方向。

（3）若物体处于运动状态，则当物体运动时，其滑动摩擦力为动滑动摩擦力。

2.求具有摩擦时物体能保持静止的条件

由于静滑动摩擦力的大小可以在一定范围内变化，所以物体有一平衡范围，这个平衡范围有时是用几何位置、几何尺寸来表示的，有时是用力来表示的。

3.求解物体处于临界状态时的平衡问题

摩擦力由库仑摩擦定律确定，结合静力平衡方程式，可得到唯一解答。

在求解方法上，一般有解析法和几何法两种，或者两种方法的混合使用。

例1

物块重为P，与水平面间静摩擦系数为fs，用同样大小的力F使物块向右滑动，图3-3-2-1的施力方法与图3-3-2-2相比较，哪一种更有力?

图3-3-2-1                    图3-3-2-2

解：

进行受力分析，如图3-3-2-3和图3-3-2-4所示。

图3-3-2-3                  图3-3-2-4

N=P+F1⋅sin⁡α,Fmax⁡=（P+F1⋅sin⁡α）⋅fS

N=P−F2⋅sin⁡α,Fmax⁡=（P−F2⋅sin⁡α）⋅fS

可见图3-3-2-4更省力。

例2

圆柱体重P，支承于A、B两物体上如图3-3-2-5所示，已知A、B两物体各重P/2，其它们于圆柱体之间的摩擦不计，又它们于地面的摩擦相同。

设当θ=30∘，系统处于临界平衡状态，求A、B两物体与地面的摩擦系数。

图3-3-2-5

（1）以圆柱体为研究对象，其受力图如图3-3-2-6所示。

图3-3-2-6

∑Fx=0,FNA=FNB∑Fy=0,FNAsin⁡30∘+FNBsin⁡30∘−P=0FNA=FNB=P

（2）以A物体为研究对象，因系统对称、受力对称，A、B物体受力情况相同，故只研究A，其受力图如图3-3-2-7。

图3-3-2-7

∑Fx=0,FS−Psin⁡30∘=0,FS=32P

∑Fy=0,FN−P2−Psin⁡30∘=0,FN=P

故

Fmax⁡=FN⋅fS=PfS

因系统处于临界状态，则

FS=32P=Fmax⁡=PfS

即

fS=32=0.866