三角函数最全知识点总结.docx

1、三角函数最全知识点总结三角函数、解三角形一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1. 任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角1正角：按 _逆时针 _方向旋转形成的角2负角：按 _顺时针 _方向旋转形成的角3零角：如果一条射线 _没有作任何旋转 _，我们称它形成了一个零角(2)终边相同角：与 终边相同的角可表示为： |2k，kZ， 或| k360，kZ(3)象限角：角 的终边落在 _第几象限 _就称 为第几象限的角，终边 落在坐标轴上的角不属于任何象限 .象限角轴线角2弧度制(1)1 度的角： _把圆周分成 360 份，每一份所对的圆心角叫 1的角(2)1 弧度的角

2、： _弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫 1 弧度的角 _(3)角度与弧度的换算：(4)3任意角的三角函数定义(1)设 是一个任意角， 的终边上任意一点 (非顶点)P的坐标是 (x，y)， yxy 它与原点的距离为 r ，则 sin _r_，cos_r_，tan _x_.rrx(2)三角函数在各象限的符号是：sin costan 记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦(3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示 正弦线的起点都在 x 轴上， 余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是 (1,0) 如图中有向线段 MP，OM，AT 分别叫做角 的_正弦 _线、 _余弦_线和 _正切 _线4终边相同的

3、角的三角函数sin（ k2） _sin _cos（ k2） _costan（ k2）_tan_（其中 kZ） ，即终边相同的角的同一三角函数的值相等重要结论1终边相同的角不一定相等， 相等角的终边一定相同， 在书写与角 终边 相同的角时，单位必须一致2确定k ( kN*)的终边位置的方法(1) 讨论法：1用终边相同角的形式表示出角 的范围2写出 的范围k3根据 k 的可能取值讨论确定 k 的终边所在位置(2) 等分象限角的方法：已知角 是第 m( m1,2,3,4) 象限角，求k 是第几 象限角1等分：将每个象限分成 k 等份2标注：从 x 轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上 1,2,3

4、,4 ，直至 回到 x 轴正半轴3选答：出现数字 m的区域，即为 k 所在的象限如2 判断象限问题可采用等分象限法、同角三角函数的基本关系式与诱导公式1同角三角函数的基本关系式2 2 sin x (1) 平方关系： _sin 2x cos2x1_. (2) 商数关系： _ tan x cosx2三角函数的诱导公式组数二三四五六角2k ( k Z) 22 正弦sin _ sin sin _cos _cos sin 余弦cos cos sin coscossin 正切tan tan tan tan 重要结论2特殊角的三角函数值表角030456090120150180270角 的弧度数2530643

5、2362sin 01231310122222cos13210131022222tan 0331333303. 诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变， 符号看象限” “奇”与“偶”指的是诱导公式 k 2 中的整数 k是奇数还是偶数“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若 k 是奇数，则正、余弦互变；若 k为偶数，则函数名称不变 “符号看象限”指的是在 k2中，将 看成锐角时 k2 所在的象限cos x、sin xcos x、sin xcosx 之间的关系sin xcosx、sin xcosx、sin xcosx 之间的关系为 (sin x cos x ) 212sin xcos x ， (sin x2

6、 2 2cos x) 1 2sin xcos x ， (sin xcos x) (sin x cos x) 2. 因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值三、两角和与差的三角函数 二倍角公式1两角和与差的正弦、余弦和正切公式2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2 _2sin cos _；(2)cos2 _cos2sin 2_2cos2_1 1 _2sin 2_；(3)tan2 _2tan k_ 2 _( 1tan 2 2 4 且 k 2 ， kZ) 3半角公式 （不要求记忆 ）(1)sin 2 1 cos1c2os；(2)cos 2 1 cos1c2os ；

7、1 cos sin 1cos(3)tan 2 1cos1cos sin 重要结论1降幂公式：2 1cos2 2 1cos2 cos ， sin .222升幂公式：221cos2 2cos ，1cos22sin .3公式变形： tan tan tan( )(1 ?tan tan )(sin cosx) 2.4辅助角（ “二合一” ）公式：asin bcos a2 b2sin( ) ，5. 三角形中的三角函数问题A在三角形中，常用的角的变形结论有： AB C；2A2B2C2；2BC .22 2三角函数的结论有： sin（ AB） sin C，cos（ AB） cosC， tan（ AB）A B C

8、 AB Ctan C，sin cos ，cos sin .2222AB? sin Asin B? cosA0) 的图象(1) 列表：X x 02322x_ _ _ 2 _ _ _3_2 _2 _ sin x01010y0A0A0（2） 描点：3_(，0)_ ， 2， A)_ ，( _(2，A)_，(，0) ，(2 0)_.（3） 连线：把这 5 个点用光滑曲线顺次连接，就得到 yAsin（ x） 在区间长度为一个周 期内的图象2由函数 ysin x 的图象变换得到yAsin（ x）（ A0，0） 的图象的步骤3函数 y Asin（ x）（ A0，0，x0 ， ）的物理意义（1） 振幅为 A.(

9、2) 周期 T_2 _. (3) 频率 f _1_T_ _ _. (4) 相位是 _x_. (5) 初相是 .T 2重要结论1函数 y Asin（ x） 的单调区间的“长度 ”为2T.2“五点法”作图中的五个点： yAsin（ x ） ，两个最值点，三个零点； yAcos（ x ） ，两个零点，三个最值点 3正弦曲线 y sin x 向左平移 2 个单位即得余 弦曲线 ycosx.六、正弦定理、余弦定理1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理2a _b2 c2 2bccos A_ a b c _2R( 其中 R内容_sin Asin B sin C_ 2R( 其中 Rb2_a c 2accos

10、 B_是 ABC外接圆的半径 )2c _22a b 2abcos C_a 2Rsin A，b 2Rsin B，c _2Rsin C_；absin A_ _，sin B _ _，sin C 2R 2RcosA222b c a _ 2bc _；常见变形ccosB222 a c b 2R ；_ 2ac _；a b c _sin A sin B sin C_cosC222 a b c 2ab asin B bsin A， bsin C csin B，asin C csin A解决解斜三(1) 已知两角和任一边， 求另一角和其 他两条边；(1) 已知三边，求各角；角形的问题(2) 已知两边和其中一边的对

11、角， 求另 一边和其他两角(2) 已知两边一角， 求第三边和其他两 个角2在 ABC中，已知 a，b 和 A时，解的情况如下A为锐角A为钝角或直角图形关系式a bsin Aa bsin Absin A abab解的个数无解一解两解一解一解无解3三角形常用面积公式1(1) S2a ha( ha表示 a 边上的高 ) 111(2)S 2absin C2acsin B2bcsin A.（3） S2r（ abc）（ r 为内切圆半径 ）重要结论在 ABC中，常有以下结论1 A B C.2在三角形中大边对大角，大角对大边A B C A B2 cos 2，cos 23任意两边之和大于第三边，任意两边之差小

12、于第三边4sin（ AB）sin C；cos（ AB） cosC；tan（ AB） tan C；sinC sin 2.5tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.6 A B? ab? sin Asin B? cosAcos B.7三角形式的余弦定理 sin 2A sin 2B sin 2C 2sin Bsin Ccos A，222 sin 2B sin 2A sin 2C 2sin Asin Ccos B，222sin 2C sin 2A sin 2B 2sin Asin Bcos C.8若 A为最大的角，则 A 3 ，）；若 A为最小的角，则 A（0 ， 3 ；若 A、B

13、、C 33成等差数列，则 B3 .9. 三角形形状的判定方法222（1） 通过正弦定理和余弦定理，化边为角 （如 a 2Rsin A，a b c 2abcosC等） ，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断 此时注意一些常见的三角等式所体现的内 角关系，如 sin Asin B? A B；sin（ AB）0? A B；sin2 A sin2 B? AB或 AB 2 等（2） 利用正弦定理、 余弦定理化角为边，如 sin A 2aR，cosA222 bc a 2bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断(3) 注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种 形状的可能