三角函数最全知识点总结.docx

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三角函数最全知识点总结

三角函数、解三角形

一、任意角和弧度制及任意角的三角函数

1.任意角的概念

（1）我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角．

1正角：

按__逆时针__方向旋转形成的角．

2负角：

按__顺时针__方向旋转形成的角．

3零角：

如果一条射线__没有作任何旋转__，我们称它形成了一个零角．

（2）终边相同角：

与α终边相同的角可表示为：

｛β|β＝α＋2kπ，k∈Z｝，或｛β|β＝α＋k·360°，k∈Z｝．

（3）象限角：

角α的终边落在__第几象限__就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限.

象限角

轴线角

2．弧度制

（1）1度的角：

__把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1°的角

（2）1弧度的角：

__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角_

（3）角度与弧度的换算：

（4）

3．任意角的三角函数定义

（1）设α是一个任意角，α的终边上任意一点（非顶点）P的坐标是（x，y），yxy它与原点的距离为r，则sinα＝__r__，cosα＝__r__，tanα＝__x__.

rrx

（2）三角函数在各象限的符号是：

sinα

cosα

tanα

Ⅰ

＋

Ⅱ

＋

Ⅲ

－

＋

Ⅳ

－

＋

－

记忆口诀：

一全正，二正弦，三正切，四余弦．

（3）三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1,0）．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线．

4．终边相同的角的三角函数

sin（α＋k·2π）＝__sinα__

cos（α＋k·2π）＝__cosα

tan（α＋k·2π）＝__tanα__（其中k∈Z），

即终边相同的角的同一三角函数的值相等．

重要结论

1．终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角α终边相同的角时，单位必须一致．

2．确定αk（k∈N*）的终边位置的方法

（1）讨论法：

1用终边相同角的形式表示出角α的范围．

2写出α的范围．

3根据k的可能取值讨论确定k的终边所在位置．

（2）等分象限角的方法：

已知角α是第m（m＝1,2,3,4）象限角，求αk是第几象限角．

1等分：

将每个象限分成k等份．

2标注：

从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴．

3选答：

出现数字m的区域，即为αk所在的象限．

如α2判断象限问题可采用等分象限法．

、同角三角函数的基本关系式与诱导公式

1．同角三角函数的基本关系式

22sinx

（1）平方关系：

__sin2x＋cos2x＝1__.

（2）商数关系：

__＝tanxcosx

2．三角函数的诱导公式

组数

二

三

四

五

六

角

2kπ＋α（k∈Z）

π＋α

－α

π－α

2－α

2＋α

正弦

sinα

__－

－sinα

sinα

__cosα_

cosα

sinα

余弦

cosα

－

cosα

－

sinα

－

cosα

sinα

正切

tanα

－tanα

tanα

重要结论

2．特殊角的三角函数值表

角α

0°

30°

45°

60°

90°

120°

150°

180°

270°

角α的弧度数

2π

5π

3π

sinα

－1

cosα

－3

－1

－2

tanα

－3

3.诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·2＋α中的整数k是奇

数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若ππ

k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·π2＋α中，将α看成锐角时k·π2＋α所在的象限．

＋cosx、sinx－cosx、sinxcosx之间的关系

sinx＋cosx、sinx－cosx、sinxcosx之间的关系为（sinx＋cosx）2＝1＋2sinxcosx，（sinx

222

－cosx）＝1－2sinxcosx，（sinx＋cosx）＋（sinx－cosx）＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．

三、两角和与差的三角函数二倍角公式

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

（1）sin2α＝__2sinαcosα__；

（2）cos2α＝__cos2α－sin2α__＝__2cos2α__－1＝1－__2sin2α__；

（3）tan2α＝_

2tanαkπ

_2__（α≠1－tan2α2

ππ

＋4且α≠kπ＋2，k∈Z）．

3．半角公式（不要求记忆）

（1）sin2＝

1－cosα

1－c2osα；

（2）cos2＝

1＋cosα

1＋c2os；

1－cosαsinα

1－cosα

（3）tan2＝±1＋cosα＝1＋cosα＝sinα

重要结论

1．降幂公式：

21＋cos2α21－cos2α

cosα＝，sinα＝.

2．升幂公式：

1＋cos2α＝2cosα，1－cos2α＝2sinα.

3．公式变形：

tanα±tanβ＝tan（α±β）（1?

tanα·tanβ）．

（sinα±cosx）2.

4．辅助角（“二合一”）公式：

asinα＋bcosα＝a2＋b2sin（α＋φ），

5.三角形中的三角函数问题

在三角形中，常用的角的变形结论有：

A＋B＝π－C；2A＋2B＋2C＝2π；2＋

BCπ

＋＝.

2＋2＝2

三角函数的结论有：

sin（A＋B）＝sinC，cos（A＋B）＝－cosC，tan（A＋B）＝

A＋BCA＋BC

－tanC，sin＝cos，cos＝sin.

2222

A>B?

sinA>sinB?

cosA

四、三角函数的图象与性质

1．周期函数的定义及周期的概念

（1）对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做__周期函数__.非零常数T叫做这个函数的__周期__.如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小__正周期__.

（2）正弦函数、余弦函数都是周期函数，__2kπ（k∈Z，k≠0）__都是它们的周期，最小正周期是__2π__.

2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质

函数

y＝sinx

y＝cosx

y＝tanx

图象

定义域

x∈R

x∈R，

且x≠＋kπ，k

∈Z

值域

{y|－

{y|－1≤y≤1}

1≤y≤1}

__R__

ππ

_[－2＋2kπ，2＋2kπ]

在[（2k－1）π，

在_

2kπ]__，k∈Z上

单调性

，

k∈Z上递增；

递增；

在（－

ππ

2＋kπ，2＋

在_

π3π

_[2＋2kπ，2＋2kπ]

在__[2kπ，（2k

kπ），

k∈Z上递增

＋1）π]__，k∈Z

，

k∈Z上递减

上递减

__π＋2kπ（k∈Z）__时，

x＝__2kπ（k∈

x＝

Z）__时，ymax＝1；

最值

1；x＝__－2＋2kπ（k∈

x＝__π＋2kπ（k

无最值

ymax＝

∈Z）__时，ymin＝

Z）__

时，ymin＝－1

－1

奇偶性

__奇__

__偶__

__奇__

对

称

性

对称中心

__（kπ，0），k∈Z__

kπ＋2，0,k∈Z__

kπ

（2，0），k∈Z__

对称轴

__x＝kπ＋，k∈Z__

__x＝kπ，k∈Z__

无对称轴

最小正周期

2π

__π__

重要结论

1．函数y＝sinx，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是

__（0,0）__、__（π2，1）__、__（π，

0）__、__（3π2，－1）__、__（2π，0）__.

函数y＝cosx，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关健点是__（0,1）__、__（2，0）__、__（π，

3π

－1）__、

__（2，0）__、__（2π，1）__.

3．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称

中心与对称轴之间的距离是14周期．而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．

4．三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为

y＝Acosωx＋b的形式．

五、函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用

1．五点法画函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0）的图象

（1）列表：

X＝ω·x＋φ

3π

2π

__－φ__ω

__π－φ__2ωω

__π－φ__ωω

__3π－φ__

2ωω

__2π－φ__ωω

sinx

－1

－A

（2）描点：

3π

__（－ωφ，0）__，

φ2π

，－A）__，（

φπφ

__（2ω－ωφ，A）__，（πω－φω，0），（2ωω

0）__.

（3）连线：

把这5个点用光滑曲线顺次连接，就得到y＝Asin（ωx＋φ）在区间长度为一个周期内的图象．

2．由函数y＝sinx的图象变换得到

y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图象的步骤

3．函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，x∈[0，＋∞）的物理意义

（1）振幅为A.

（2）周期T＝__2π__.ω

（3）频率f＝_

1ω

_T__＝____.（4）相位是__ωx＋φ__.（5）初相是φ.

T2π

重要结论

1．函数y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间的“长度”为2T.

2．“五点法”作图中的五个点：

①y＝Asin（ωx＋φ），两个最值点，三个零点；②y

＝Acos（ωx＋φ），两个零点，三个最值点．3．正弦曲线y＝sinx向左平移2个单位即得余弦曲线y＝cosx.

六、正弦定理、余弦定理

1．正弦定理和余弦定理

定理

正弦定理

余弦定理

a＝__

b2＋c2－2bccosA

__a＝b＝c__＝2R（其中R

内容

__sinA＝sinB＝sinC__＝2R（其中R

b2＝__

a＋c－2accosB__

是△ABC外接圆的半径）

c＝__

a＋b－2abcosC__

①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c

＝__2RsinC__；

②sinA＝____，sinB＝____，sinC2R2R

cosA＝

222

b＋c－a__2bc__；

常见变形

cosB＝

222a＋c－b

＝2R；

__2ac__；

③abc＝__sinAsinBsinC__

cosC＝

222a＋b－c

2ab

④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，

asinC＝csinA

解决解斜三

（1）已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；

（1）已知三边，求各角；

角形的问题

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角

（2）已知两边一角，求第三边和其他两个角

2．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系式

a＝bsinA

bsinA

a≥b

a>b

a≤b

解的个数

无解

一解

两解

一解

无解

3．三角形常用面积公式

（1）S＝2a·ha（ha表示a边上的高）．

111

（2）S＝2absinC＝2acsinB＝2bcsinA.

（3）S＝2r（a＋b＋c）（r为内切圆半径）．

重要结论

在△ABC中，常有以下结论

1．∠A＋∠B＋∠C＝π.

2．在三角形中大边对大角，大角对大边．

A＋BCA＋B

2＝cos2，cos2

3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

4．sin（A＋B）＝sinC；cos（A＋B）＝－cosC；tan（A＋B）＝－tanC；sin

C＝sin2.

5．tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.

6．∠A>∠B?

a>b?

sinA>sinB?

cosA

7．三角形式的余弦定理sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA，

222sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB，

222

sin2C＝sin2A＋sin2B－2sinAsinBcosC.

ππ

8．若A为最大的角，则A∈[3，π）；若A为最小的角，则A∈（0，3]；若A、B、C33

成等差数列，则B＝π3.

9.三角形形状的判定方法

222

（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角（如a＝2RsinA，a＋b－c＝2abcosC等），利

用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内π角关系，如sinA＝sinB?

A＝B；sin（A－B）＝0?

A＝B；sin2A＝sin2B?

A＝B或A＋B＝2等．

（2）利用正弦定理、余弦定理化角为边，

如sinA＝2aR，

cosA＝

222b＋c－a2bc

等，

通过代数恒

等变换，求出三条边之间的关系进行判断．

（3）注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．

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