高三高考数学总复习《平面向量》题型归纳与汇总.docx

1、高三高考数学总复习平面向量题型归纳与汇总高考数学总复习题型分类汇不等式篇经典试题大汇总题型一平面向量的基本定理型二平面向量的线性运算【题型归纳】3平面向量的数量积及其应用【巩固训练】平面向量的基本定理11题型二平面向量的线性运算平面向量的数量积及其应用高考数学平面向量题型归纳与训练【题型归纳】题型一平面向量的基本定理例1给岀下列命题：（1） 向与向量亦是共线向量，不是平行向量：（2） 若向量方与向量乙都是单位向量，则a = b：（3） 若AB = DC,则A,3,C,D四点构成平行四边形；（4） 2,“为实数，若总=应，则方与乙共线.其中错误的命题的序号是 .【答案】（1）（2） （3） （4

2、）【解析】（1）错误，因为共线向量就是平行向量，平行向量就是共线向就：（2）错误，向量有方向和大小两个要 素，只有方向相同且长度相等，两个向量才相等。两个单位向量不一左相等，因为它们的方向不一泄相同；（3） 是错误的，当A、B、C、D在一条宜线上时，它们不构成平行四边形；（4）是错误的，当2二二0时，方与乙可以 共线可以不共线【易错点】对平行向量单位向量的概念理解不透彻容易忽视一些特殊情况，若AB = DC,则A、B、C、D四点可 能在一条直线上，所以不一泄能构成平行四边形。2二“二0,若Aa = pb ,则2与乙不一定共线。【思维点拨】平面向量线性运算问题的求解策略：（1） 进行向量运算时，

3、要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反 向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来.（2） 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公 因式等变形手段在线性运算中同样适用.（3） 用儿个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：1观察各向量的位置：2寻找相应的三角形或多边形;3运用法则找关系；4化简结果.例 2 已知方=（1,2） Z = （2忑一3）且 a/b，则 x = .3【答案】-4【解析】根a/b有旺儿一曲儿=0.可知lx（-3）-2x2x = 0,得兀=4【易错点】（1）经典错解错在

4、把向量平行的充要条件记成了旳勺-）卩2=0. （2）2丽O和2 72”=, 不是恥2-订2二,可以记为“斜乘相减等于零”.丄0小2+）=0,可以记为“竖乘相加等于零这两 个公式是向量运算里经常要用到的，大家要区分并记牢.【思维点拨】1.平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位， 充分利用反例进行否定也是行之有效的方法.2.儿个重要结论（1） 向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；（2） 向量可以平移，半移后的向量与原向量是相等向量；（3） 向量平行与起点的位置无关.例1在o43CQ中，错误的式子是（ ）【答案】

5、D.【解析】根据平行四边形法则知，错误的为B.在向量的加法运算中，第一个向量的终点和第二个向量的起点相同4时，可得第一个向量的起点指向第二个的终点，如A3 + 3C = AC,在向量的减法运算中，两向疑的起点相同，则 由第二个向量的终点指向第一个的起点，如AD-AB = BD,对于。选项，利用平行四边形法则结合图像可得 AD+AB=AC.【易错点】使用向量的加法三角形法则时，两向量必须首尾相接，使用向量的减法三角形法则时，两向量必须起点 相同，差向量是减向量的终点指向彼减向量的终点。【思维点拨】1.向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使儿何问题转化为数量运算.2.两个向

6、量相等当且仅当它们的坐标对应相同.此时注意方程（组）思想的应用.例1已知：=4喜为单位向量，当N7的夹角为二时，：在：上的投影为（ ）3【答案】B.【解析】方在2上的投影为方cosN e）=方竺=二 =4 X1 x cos彳=一2,所以选择B .a e e 、【易错点】（1）对方在厶上的投影的概念和公式理解不透彻.（2）：在乙上的投影为lalcos,由于 lalnO,-lWcos51,所以：在忌上的投影可以是正数，也可以是负数，也可以是零.有的同学把方在乙上 的投影和射影混淆了，一个线段在另外一个线段上的射影是一个非负数.【思维点拨】I.对两向量夹角的理解（1）两向量的夹角是指肖两向量的起点相

7、同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同, 应通过移动，使其起点相同，再观察夹角.（2）两向量夹角的范圉为0, 71,特别当两向量共线且同向时，其夹角为0,共线且反向时，其夹角 为71.（3）在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范圉.2.向量运算与数量运算的区别（1） 若a, bWR,且a b=O,则有=0或b = 0,但a b=0却不能得出“ =0或b = 0.（2） 若a, b, cWR,且停0,贝!|由ab=ac可得b=c,但由a b=a c及却不能推出b=c.（3） 若 a, b, cR,则 a （be） = （ah） c （结合律）成立，但对于向量 a,

8、 b, c,而（a-b） c 与 a- （b-c） 一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的.（4） 若a, bWR,则a b=a bt但对于向量“,b,却有“创三血I,等号当且仅当a/b时成立.例2已知向量方巧满足：方+ 2厶与丄2-乙垂直，且|方|=1,由1=1,则2与丹勺夹角为 4【答案】【解析】由已知得（。+ 2乙）（？方一5 ） =0,故& 乙=丄，贝ijcos vN 乙=：I =-,又因为 方巧巳0,刃， 4 2 ” 制 2故“与b的夹角为上.3【易错点】（1）经典错解错在对向疑的夹角的范用没有记淸.（2）两个向量的夹角0的范用是0引0,则，不是0丘0,2龙,所以本题只有一个答

9、案.【思维点拨】1.求两非零向量的夹角时要注意：（1） 向量的数量积不满足结合律；（2） 数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数 量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角.2.当“，b是非坐标形式时，求“与b的夹角，需求得“/及k/l, b或得出它们的关系.【巩固训练】1.给出下列命题:1两个具有共同终点的向量，一定是共线向量;2若久B, G D是不共线的四点，则而=呢是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;3若“与b同向，且11血I,则42, “为实数，若加=妙，则“与共线.其中假命题的个数为（ ）A.1 B. 2 C. 3 D. 4【答案

10、】C【解析】不正确.当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线.2正确.：AB= DC ,AB = DCS.AB/DC.乂TA, B, C, D是不共线的四点，四边形ABCD是平行四边形.反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB=DC且丽与万E方向相同，因此而=万.3不正确两向量不能比较大小.4不正确.当久=“ =0时，与D可以为任意向量，满足加=迪,但4与b不一立共线.2.设“（）为单位向量，若“为平面内的某个向量，则a = k/la0;若“与“o平行，则a = （ia0； 若“与“（）平行且01=1,则“=血上述命题中，假命题的个数是（ ）D. 3C. 2【答案】D【解析】向量是

11、既有大小又有方向的量，a与0血的模相同，但方向不一泄相同，故是假命题：若与伽平行， 则d与血的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时。=一切伽，故也是假命题.综上所述，假命题的 个数是33已知 方不共线，OA =a, OB=b, OC =c, OD =d, OB=e,设 胆乩 如果3a=c,2b=(h e =t (“+),是否存在实数f使C, D, E三点在一条直线上？若存在，求出实数/的值，若不存在, 请说明理山.【答案】见解析【解析】解：山题设知，CD=d-c = 2b-3a, CE =ec= (r-3) a + tb9 C, D, E三点在一条直线上的充要条件是存在实数h使得CE=k

12、CD,即(r-3) a+tb=-3ka + 2kb, 整理得(r3 + 3k) a= (2kt) b.因为“，不共线，所以有t2=0,解之得=|.故存在实数/=|使C, D, E三点在一条直线上.4.下列说法正确的是A.向量兀g与向量乙万是共线向量，则点A,B,C,D必在同一条直线上B.两个有共同终点的向量，一泄是共线向量C.长度相等的向量叫做相等向量D.两个有共同起点而且相等的向量，英终点必相同【答案】D【解析】对于若向量而与向量而是共线向量，贝AB/CD或点A, B, C, D在同一条直线上，故A错误：对于B,共线向疑是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能既不相同又不相

13、反，故B错误:【解析】AB BC = ,且 AB=2, :. =ABBCcos , :ABC cos B=.在BC 中,AC2=AB2+BC2-1AB BCcos B,即 9=4+BC22x2x3.若A、3、C、D是平而内任意四点，给岀下列式子：AB + CD = BC + 1)A, AC + BD = BC + AD , AC-BD = DC+ AB .其中正确的有A. 3个 B2个 C. 1个 D 0个【答案】B【解析】AB + CD = BC + 1)A的等价式是AB-DA=BC-CD,左边+ 右边=BC+DC ,不一泄相等：2AC + BD = BC + AD的等价式是紀一而=貳一而，

14、左边=右边=万 ,故正确：3AC-BD = DC + AB的等价式是AC-AB = D + DC ,左边=右边=BC,故正确.所以正确的有2个，故选B.D. AD = -AB-AC【答案】B【解析】耳亦耳亦挥=亦扌(疋-码亦挥，故选5.已知71(-2,4), B(3,-l), C(-3,-4),设AB = a, BC = b, CA=c.(1)求 3a +b3c :(2)求满足a = mb+nc的实数m , n.【解析】(1)由已知得a = (5,-5), b = (-6,-3), c = (1,8),则 3+於一3 = 3(5,5)+(-6,3)3(1,8) = (1563,15 324)

15、= (6,-42)(2) / mb + nc = (-6m + n,-3m + 8?z),-6z + h = 5=Z = /2 = _1一3用 + 8 = 一5型三 平面向量的数量积及其应用1.对于非零向量7)，下列命题正确的是(C. a b a -b = (a b)【答案】C以D错误，排除法选C故选C.2.已知“ =(1,2) , b= (一2, )，“与的夹角是 45。.(1)求方;(2)若c与同向，且“与ca垂直，求c.【答案】见解析【解析】解：(1)：a b = 2n-2, 01=卡，旳=咖+4,32 16一 12=0 (nl)2.*./? = 6 或=亍(舍).:b= ( 2,6).

16、(2)由(1)知，“6=10, 1“卩=5.乂Tc与方同向，故可设c=)b (z0).*.* (ca) a=0f“_1“卩=0. = =7?;=.ba 10 2.c=b= ( 1,3).3.设向量“，b满足Sl=l, 0洌=羽，a (ab)=0,贝ijl加+州=( )A. 2 B. 2羽 C. 4 D. 4羽【答案】B【解析】由“(“b)=Q,可得ab=ar= 1,由labl=yj3f 可得(“一尸=3,即“一2abb1=3 解得 沪=4.故(加+)2=滋2+滋小+胪=12,故|加+洌=2羽.4.质点受到平面上的三个力鬥，F2, 单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知尺，F2成60。角,且Fi

17、,鬥的大小分别为2和4,则F3的大小为( )A. 2甫 B. 25 C. 2 D. 6【答案】A【解析】由已知条件Fi+F2+F3=0,则 F3=-Fi-F2, Fi=FHFi+2FiF2cos 60=28,因此，1码1=20新课程标准的内容与现形课标内容的对比如下表:必修 课程主题学 分课时包含的内容与现形课标的对 照，在现形课标中 的位置与现形课标对比，内容的 不同主题一（预备 知识）819A版：必修1第一 章 1.1 IJ考査知识点基本不变B版：必修1第一章 全部内容考査知识点基本不变常用逻辑用 语（与A版内 容较接近）A版：选修2-1第一 章1.1节,1.2节, 1.4 i*J基本不变

18、B版：选修2-1第一 章节，1.3 IV新课标增加了全称疑词与 存在量词一元二次函 数、方程和 不等式（与B版内 容接近）A版：必修1第二章 2.3节中与幕函数有 关的一元二次函数 提了出来必修5第二章3.1 节,3.2节，3.4节 中关于不等式的知 识知识点基本不变不等式与现形课标相比少 了二元一次不等式及线性 规划B版：必修1第二章2.2节中的2.2.2,2.2.3中的一元二次 函数知识必修5第三章3.1 节，3.2节，3.3节，3.4节中的不等式知 识基本不变主题二（函数 及应 用）54函数概念与 性质（与A版内 容接近）A版：必修1第一章1.2 1.3 Jii基本不变；函数的性质并 入

19、了三角函数来了解函数 的周期性B版：必修1第二章2.1节增加了函数的最值与周期 性幕函数、指 数函数、对 数函数（与A版内 容接近）A版：必修1第二章2.1 节，2.2 节,2.3 l*J基本不变B版：必修1第三章3.1 节，3.2 节，3.3 lj基本不变三角函数（与 A, BA版：必修4第一章 全部内容及第三章基本不变版内容相差 不大）全部内容B版:必修4第一章 全部内容及第三章 全部内容基本不变函数综合应 用（与A版内 容接近）A版：必修1第三章 全部内容基本不变B版：必修2第二章23节，2.4节增加了函数模型主题三 （几何 与代 数）44平而向呈:及 应用（*j A, B 版相差不 大

20、）A版：必修4第二章 全部内容基本不变B版：必修4中第二 章全部内容基本不变复数（与A版内 容接近）A版：选修2-2第三 章全部内容增加了选学内容“复数的 三角表示”B版：选修2-2无教 材立体几何初 步（与B版内 容接近）A版：必修2第一章 全部内容及第二章 全部内容基本不变B版：必修2第一章 全部内容基本不变主题四 （统计 与概 率）18统计（与A,B版 内容相差不 多）A版：必修3第二章 21节，2.2节基本不变；知识点统计图 表中加入了 “梳理义务教 育阶段学过的统讣图表”B版：必修3第二章21 节2.2基本不变概率（与A,B版 内容相差不 多）A版：必修3第三章 全部内容基本不变B版

21、：必修3第三章3.1 节，3.2 节,3.4 节基本不变主题五（数学 建模与 数学探 究）5数学建模与 数学探究要求学生完成一个 课题研究，包括选 题、开题、做题、 结题四个环节。学 生需要撰写开题报 告，根据选题内容， 报告可以采用专题 作业、测量报告、 算法程序、制作的 实物或研究论文等 多种形式。在课题 研究中逐步提升数数学探究、数学建模、数 学文化是贯穿于整个高中 数学课程的重要内容，这 些内容不单独设置，渗透 在每个模块或专题中。选修主题一 61 （函数 及应 用）主题二（几何 与代 数）主题三 （统计 与槪 率）学建模、数学抽象、 数据分析、数学运 算、逻辑推理和直 观想象静养。3

22、2数列（与A版内 容接近）A版：必修5第二章 全部内容增加了 “数学归纳法”B版：必修5第二章 全部内容增加了 “数学归纳法”一元函数导 数及应用（与A版内 容接近）A版：选修2-2第一 章全部内容1.删掉了 生活中的优化 问题举例”这一知识点2.微积分的创 立与发展没有提到通 过实例。B版：选修2-2无教 材42空间向呈:与 立体几（与B版内 容接近）A版：选修2-1第三 章全部内容基本不变；用向量方法解 决点到直线、点到平而、 相互平行的直线、相互平 行的平而距离问题这一知 识点中加入了 “能用框图 描述解决这一类问题的思 路”B版：选修2-1第三 章全部内容同上平面解析几 何（j A,

23、B 版内容相差 不多A版：必修2第三章 全部内容及第四章 全部内容选修2-1第二章全 部内容基本不变B版：必修2第二章 2.2 节，2.3 节 选修2-1第二章全 部内容基本不变26计数原理 （与A版内容接近）A版：选修2-3第一 章全部内容基本不变B版：选修2-3全部 内容基本不变统计与概率 （与A版内 容接近）A版：选修2-3第二 章全部内容、第三 章全部内容及必修 3第二章2.3节变量 间的相关关系概率中“正态分布与超几 何分布”要通过具体实例 分析B版：选修2-3第二 章全部内容、第三 章全部内容及必修同上3第二章23节变量间的相关关系主题四（数学 建模与 数学探 究）4数学建模与 探

24、究要求学生完成一个 课题研究，也可以 在必修“数学建模 活动”或“数学探 究活动”所作的研 究基础上继续进行 深入探究。按照必 修部分的要求，完 成开题、做题、结 题的过程。如果选 题不变，需要在研 究报告中说明与必 修研究的差异，深 入研究所得到的新 思路、新方法、新 结果。选修2A2.5微积分A版：选修2-2第一 章1.6节，2.7节内 容的拓展、深化及 部分增加内容增加了数列极限，函数极 限等少量内容，内容划分 的比较细，B版：缺少相对应内 容的教材2空间几何与 代数A版:选修4-2矩阵 与变换及部分增加 内容有少量新加内容 内容划分的比较细，B版：选修4-2矩阵 与变换及部分增加 内容

25、有少量新加内容 内容划分的比较细，1.5统计与概率A版：选修2-3第二 章与第三章内容的 拓展、深化内容进行了拓展、深化B版：选修2-3第二 章与第三章内容的 拓展、深化内容进行了拓展、深化B2微积分A版：选修2-2第一 章1.6节，1.7节内 容的拓展、深化及 部分增加内容内容进行了拓展、深化及 少量新加内容B版:选修2-2第一 章1.6节，1.7节内 容的拓展、深化及 部分增加内容内容进行了拓展、深化及 少量新加内容1空间向量与 代数A版：选修4-2矩阵 与变换及部分增加 内容有少量新加内容B版:选修4-2矩阵 与变换及部分增加 内容有少量新加内容2应用统讣A版：选修2-3第二 章、第三章

26、内容的 拓展、深化及少量 新加内容内容进行了拓展、深化及 少量新加内容B版：选修2-3第二 章、第三章内容的 拓展、深化及少量 新加内容内容进行了拓展、深化及 少戢新加内容1模型不能与某一知识点 对应不能与某一知识点对应C2逻辑推理初 步不能与某一知识点 对应不能与某一知识点对应2数学模型不能与某一知识点 对应不能与某一知识点对应2社会调查与 数据分析不能与某一知识点对心不能与某一知识点对应D1美与数学不能与某一知识点 对2不能与某一知识点对应1音乐中的数 学不能与某一知识点 对应不能与某一知识点对应1美术中的数 学不能与某一知识点对2不能与某一知识点对应1体育运动中 的数学不能与某一知识点对2不能与某一知识点对应与现形课标对比，必修3中的“算法初步”删掉了: 删掉了必修5中的解三角形，不等式的大部分内容。 删掉了选修2-2中推理与证明。删掉了选修4-1几何证明选讲删掉了选修4-4坐标系与参数方程删掉了选修4-5不等式选讲。