高三高考数学总复习《平面向量》题型归纳与汇总.docx
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高三高考数学总复习《平面向量》题型归纳与汇总
高考数学总复习题型分类汇
《不等式》篇
经典试题大汇总
题型一
平面向量的基本定理
型二平面向量的线性运算
【题型归纳】
3
平面向量的数量积及其应用
【巩固训练】
平面向量的基本定理
11
题型二平面向量的线性运算
平面向量的数量积及其应用
高考数学《平面向量》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一平面向量的基本定理
例1给岀下列命题：
（1）向与向量亦是共线向量，不是平行向量：
（2）若向量方与向量乙都是单位向量，则a=b：
（3）若AB=DC,则A,3,C,D四点构成平行四边形；
（4）2,“为实数，若总=应，则方与乙共线.其中错误的命题的序号是.
【答案】
（1）
（2）（3）（4）
【解析】
（1）错误，因为共线向量就是平行向量，平行向量就是共线向就：
（2）错误，向量有方向和大小两个要素，只有方向相同且长度相等，两个向量才相等。
两个单位向量不一左相等，因为它们的方向不一泄相同；（3）是错误的，当A、B、C、D在一条宜线上时，它们不构成平行四边形；（4）是错误的，当2二〃二0时，方与乙可以共线可以不共线
【易错点】对平行向量单位向量的概念理解不透彻容易忽视一些特殊情况，若AB=DC,则A、B、C、D四点可能在一条直线上，所以不一泄能构成平行四边形。
2二“二0,若Aa=pb,则2与乙不一定共线。
【思维点拨】平面向量线性运算问题的求解策略：
（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来.
（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用.
（3）用儿个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：
1观察各向量的位置：
2寻找相应的三角形或多边形;
3运用法则找关系；
4化简结果.
例2已知方=（1,2）Z=（2忑一3）且a//b，则x=.
3
【答案】--
4
【解析】根^a//b有旺儿一曲儿=0.可知lx（-3）-2x2x=0,得兀=—°
4
【易错点】
（1）经典错解错在把向量平行的充要条件记成了旳勺-）卩2=0.
（2）2丽O和272”=°,不是恥2-〉订2二°,可以记为“斜乘相减等于零”.°丄〃0小2+）»=0,可以记为“竖乘相加等于零这两个公式是向量运算里经常要用到的，大家要区分并记牢.
【思维点拨】
1.平面向量的概念辨析题的解题方法
准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法.
2.儿个重要结论
（1）向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；
（2）向量可以平移，半移后的向量与原向量是相等向量；
（3）向量平行与起点的位置无关.
例1在o43CQ中，错误的式子是（）
【答案】D.
【解析】根据平行四边形法则知，错误的为B.在向量的加法运算中，第一个向量的终点和第二个向量的起点相同
4
时，可得第一个向量的起点指向第二个的终点，如A3+3C=AC,在向量的减法运算中，两向疑的起点相同，则由第二个向量的终点指向第一个的起点，如AD-AB=BD,对于。
选项，利用平行四边形法则结合图像可得AD+AB=AC.
【易错点】使用向量的加法三角形法则时，两向量必须首尾相接，使用向量的减法三角形法则时，两向量必须起点相同，差向量是减向量的终点指向彼减向量的终点。
【思维点拨】1.向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使儿何问题转
化为数量运算.2.两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同.此时注意方程（组）思想的应用.
例1已知：
=4喜为单位向量，当N7的夹角为二时，：
在：
上的投影为（）
3
【答案】B.
【解析】方在2上的投影为方cos〈Ne）=方竺=二=4X1xcos彳=一2,所以选择B.
aee、
【易错点】
（1）对方在厶上的投影的概念和公式理解不透彻.
（2）：
在乙上的投影为lalcos,由于lalnO,-lWcos51,所以：
在忌上的投影可以是正数，也可以是负数，也可以是零.有的同学把方在乙上的投影和射影混淆了，一个线段在另外一个线段上的射影是一个非负数.
【思维点拨】I.对两向量夹角的理解
（1）两向量的夹角是指肖两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同,应通过移动，使其起点相同，再观察夹角.
（2）两向量夹角的范圉为[0,71],特别当两向量共线且同向时，其夹角为0,共线且反向时，其夹角为71.
（3）在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范圉.
2.向量运算与数量运算的区别
（1）若a,bWR,且ab=O,则有°=0或b=0,但ab=0却不能得出“=0或b=0.
（2）若a,b,cWR,且停0,贝!
|由ab=ac可得b=c,但由ab=ac及却不能推出b=c.
（3）若a,b,c^R,则a（be）=（ah）c（结合律）成立，但对于向量a,b,c,而（a-b）c与a-（b-c）一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的.
（4）若a,bWR,则\ab\=\a\\b\t但对于向量“,b,却有“创三⑷血I,等号当且仅当a//b时成立.
例2已知向量方巧满足：
方+2厶与丄2-乙垂直，且|方|=1,由1=1,则2与丹勺夹角为・
4
【答案】
【解析】由已知得（。
+2乙）・（？
方一5）=0,故&•乙=丄，贝ijcosvN•乙＞=］：
I=-,又因为＜方巧＞巳0,刃，42”制2
故“与b的夹角为上.
3
【易错点】
（1）经典错解错在对向疑的夹角的范用没有记淸.
（2）两个向量的夹角0的范用是0引0,则，不是
0丘［0,2龙］,所以本题只有一个答案.
【思维点拨】
1.求两非零向量的夹角时要注意：
（1）向量的数量积不满足结合律；
（2）数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角.
2.当“，b是非坐标形式时，求“与b的夹角，需求得“/及k/l,\b\或得出它们的关系.
【巩固训练】
1.给出下列命题:
1两个具有共同终点的向量，一定是共线向量;
2若久B,GD是不共线的四点，则而=呢是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;
3若“与b同向，且1«1＞血I,则
42,“为实数，若加=妙，则“与〃共线.
其中假命题的个数为（）
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】①不正确.当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线.
2正确.'：
AB=DC,・\\AB\=\DC\S.AB//DC.
乂TA,B,C,D是不共线的四点，
・・・四边形ABCD是平行四边形.
反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB=DC且丽与万E方向相同，因此而=万€.
3不正确•两向量不能比较大小.
4不正确.当久=“=0时，"与D可以为任意向量，满足加=迪,但4与b不一立共线.
2.设“（）为单位向量，①若“为平面内的某个向量，则a=k/la0;②若“与“o平行，则a=\（i\a0；③若“与“（）平行且01=1,则“=血・上述命题中，假命题的个数是（）
D.3
C.2
【答案】D
【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与0血的模相同，但方向不一泄相同，故①是假命题：
若"与伽平行，则d与血的方向有两种情况：
一是同向，二是反向，反向时。
=一切伽，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3・
3・已知⑺方不共线，OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OB=e,设胆乩如果3a=c,2b=（he=t（“+〃）,是否存在实数f使C,D,E三点在一条直线上？
若存在，求出实数/的值，若不存在,请说明理山.
【答案】见解析
【解析】解：
山题设知，CD=d-c=2b-3a,CE=e~c=（r-3）a+tb9C,D,E三点在一条直
线上的充要条件是存在实数h使得CE=kCD,即（r-3）a+tb=-3ka+2kb,整理得（r—3+3k）a=（2k—t）b.
因为“，〃不共线，所以有°’
\t—2£=0,
解之得『=|.
故存在实数/=|使C,D,E三点在一条直线上.
4.下列说法正确的是
A.向量兀g与向量乙万是共线向量，则点A,B,C,D必在同一条直线上
B.两个有共同终点的向量，一泄是共线向量
C.长度相等的向量叫做相等向量
D.两个有共同起点而且相等的向量，英终点必相同
【答案】D
【解析】对于£若向量而与向量而是共线向量，贝^AB//CD或点A,B,C,D在同一条直线上，故A错误：
对于B,共线向疑是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能既不相同又不相反，故B错误:
【解析】ABBC=\,且AB=2,:
.\=\~AB\\BC\cos,:
ABC\cosB=~\.在"BC中,
AC2=AB2+BC2-1ABBCcosB,即9=4+BC2~2x2x
3.若A、3、C、D是平而内任意四点，给岀下列式子：
®AB+CD=BC+1）A,②AC+BD=BC+AD,®~AC-~BD=~DC+AB.
其中正确的有
A.3个B・2个C.1个D0个
【答案】B
【解析】①AB+CD=BC+1）A的等价式是AB-DA=BC-CD,左边+右边=BC+~DC,不一泄
相等：
2~AC+BD=BC+AD的等价式是紀一而=貳一而，左边=右边=万€,故正确：
3AC-BD=DC+AB的等价式是AC-AB=^D+DC,左边=右边=BC,故正确.
所以正确的有2个，故选B.
D.AD=-AB-^AC
【答案】B
【解析】耳亦耳亦挥=亦扌（疋-码—亦挥，故选
5.已知71（-2,4）,B（3,-l）,C（-3,-4）,设AB=a,BC=b,CA=c.
（1）求3a+b—3c:
（2）求满足a=mb+nc的实数m,n.
【解析】
（1）由已知得a=（5,-5）,b=（-6,-3）,c=（1,8）,
则3«+於一3€=3（5,—5）+（-6,—3）—3（1,8）=（15—6—3,—15—3—24）=（6,-42）・
（2）•/mb+nc=（-6m+n,-3m+8?
z）,
-6〃z+h=5
=>〃Z=/2=_1・
一3用+8〃=一5
型三平面向量的数量积及其应用
1.对于非零向量7），下列命题正确的是（
C.a±ba-b=（ab）
【答案】C・
以D错误，排除法选C・故选C.
2.已知“=（1,2）,b=（一2,〃），“与〃的夹角是45。
.
（1）求方;
（2）若c与〃同向，且“与c~a垂直，求c.
【答案】见解析
【解析】解：
（1）'：
ab=2n-2,01=卡，旳=咖+4,
・・・3〃2—16〃一12=0（n>l）・
2
.*./?
=6或〃=—亍（舍）.:
・b=（—2,6）.
（2）由
（1）知，“6=10,1“卩=5.
乂Tc与方同向，故可设c=）b（z>0）.
*.*（c—a）a=0f
・°・〃“_1“卩=0.==7?
;=^.
ba102
.\c=^b=（—1,3）.
3.设向量“，b满足Sl=l,0—洌=羽，a（a~b）=0,贝ijl加+州=（）
A.2B.2羽C.4D.4羽
【答案】B
【解析】由“•（“—b）=Q,可得ab=ar=1,由la—bl=yj3f可得（“一〃尸=3,即“'一2ab~\~b1=3>解
得沪=4.故（加+〃）2=滋2+滋小+胪=12,故|加+洌=2羽.
4.质点受到平面上的三个力鬥，F2,单位：
牛顿）的作用而处于平衡状态，已知尺，F2成60。
角,
且Fi,鬥的大小分别为2和4,则F3的大小为（）
A.2甫B.2^5C.2D.6
【答案】A
【解析】由已知条件Fi+F2+F3=0,则F3=-Fi-F2,Fi=FHFi+2\Fi\\F2\cos60°=28,因此，1码1
=20
新课程标准的内容与现形课标内容的对比如下表:
必修课程
主题
学分
课
时
包含的内容
与现形课标的对照，在现形课标中的位置
与现形课标对比，内容的不同
主题一
（预备知识）
8
19
A版：
必修1第一章1.1IJ
考査知识点基本不变
B版：
必修1第一章全部内容
考査知识点基本不变
常用逻辑用语
（与A版内容较接近）
A版：
选修2-1第一章1.1节,1.2节,1.4i*J
基本不变
B版：
选修2-1第一章"节，1.3IV
新课标增加了全称疑词与存在量词
一元二次函数、方程和不等式
（与B版内容接近）
A版：
必修1第二章2.3节中与幕函数有关的一元二次函数提了出来
必修5第二章3.1节,3.2节，3.4节中关于不等式的知识
知识点基本不变
不等式与现形课标相比少了二元一次不等式及线性规划
B版：
必修1第二章
2.2节中的2.2.2,
2.2.3中的一元二次函数知识
必修5第三章3.1节，3.2节，3.3节，
3.4节中的不等式知识
基本不变
主题二
（函数及应用）
54
函数概念与性质
（与A版内容接近）
A版：
必修1第一章
1.21.3Jii
基本不变；函数的性质并入了三角函数来了解函数的周期性
B版：
必修1第二章
2.1节
增加了函数的最值与周期性
幕函数、指数函数、对数函数
（与A版内容接近）
A版：
必修1第二章
2.1节，2.2节,2.3l*J
基本不变
B版：
必修1第三章
3.1节•，3.2节，3.3l'j
基本不变
三角函数
（与A,B
A版：
必修4第一章全部内容及第三章
基本不变
版内容相差不大）
全部内容
B版:
必修4第一章全部内容及第三章全部内容
基本不变
函数综合应用
（与A版内容接近）
A版：
必修1第三章全部内容
基本不变
B版：
必修2第二章
2・3节，2.4节
增加了函数模型
主题三（几何与代数）
44
平而向呈:
及应用
（*jA,B版相差不大）
A版：
必修4第二章全部内容
基本不变
B版：
必修4中第二章全部内容
基本不变
复数
（与A版内容接近）
A版：
选修2-2第三章全部内容
增加了选学内容“复数的三角表示”
B版：
选修2-2无教材
立体几何初步
（与B版内容接近）
A版：
必修2第一章全部内容及第二章全部内容
基本不变
B版：
必修2第一章全部内容
基本不变
主题四（统计与概率）
18
统计
（与A,B版内容相差不多）
A版：
必修3第二章2・1节，2.2节
基本不变；知识点统计图表中加入了“梳理义务教育阶段学过的统讣图表”
B版：
必修3第二章
2・1节2.2
基本不变
概率
（与A,B版内容相差不多）
A版：
必修3第三章全部内容
基本不变
B版：
必修3第三章
3.1节，3.2节,3.4节
基本不变
主题五
（数学建模与数学探究）
5
数学建模与数学探究
要求学生完成一个课题研究，包括选题、开题、做题、结题四个环节。
学生需要撰写开题报告，根据选题内容，报告可以采用专题作业、测量报告、算法程序、制作的实物或研究论文等多种形式。
在课题研究中逐步提升数
数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容，这些内容不单独设置，渗透在每个模块或专题中。
选修主题一6
1（函数及应用）
主题二
（几何与代数）
主题三（统计与槪率）
学建模、数学抽象、数据分析、数学运算、逻辑推理和直观想象静养。
32
数列
（与A版内容接近）
A版：
必修5第二章全部内容
增加了“数学归纳法”
B版：
必修5第二章全部内容
增加了“数学归纳法”
一元函数导数及应用
（与A版内容接近）
A版：
选修2-2第一章全部内容
1.删掉了"生活中的优化问题举例”这一知识点
2.微积分的创立与发展没有提到通过实例。
B版：
选修2-2无教材
42
空间向呈:
与立体几
（与B版内容接近）
A版：
选修2-1第三章全部内容
基本不变；用向量方法解决点到直线、点到平而、相互平行的直线、相互平行的平而距离问题这一知识点中加入了“能用框图描述解决这一类问题的思路”
B版：
选修2-1第三章全部内容
同上
平面解析几何
（'jA,B版内容相差不多〉
A版：
必修2第三章全部内容及第四章全部内容
选修2-1第二章全部内容
基本不变
B版：
必修2第二章2.2节，2.3节选修2-1第二章全部内容
基本不变
26
计数原理（与A版内
容接近）
A版：
选修2-3第一章全部内容
基本不变
B版：
选修2-3全部内容
基本不变
统计与概率（与A版内容接近）
A版：
选修2-3第二章全部内容、第三章全部内容及必修3第二章2.3节变量间的相关关系
概率中“正态分布与超几何分布”要通过具体实例分析
B版：
选修2-3第二章全部内容、第三章全部内容及必修
同上
3第二章2・3节变量
间的相关关系
主题四
（数学建模与数学探究）
4
数学建模与探究
要求学生完成一个课题研究，也可以在必修“数学建模活动”或“数学探究活动”所作的研究基础上继续进行深入探究。
按照必修部分的要求，完成开题、做题、结题的过程。
如果选题不变，需要在研究报告中说明与必修研究的差异，深入研究所得到的新思路、新方法、新结果。
选修
2
A
2.5
微积分
A版：
选修2-2第一章1.6节，2.7节内容的拓展、深化及部分增加内容
增加了数列极限，函数极限等少量内容，内容划分的比较细，
B版：
缺少相对应内容的教材
2
空间几何与代数
A版:
选修4-2矩阵与变换及部分增加内容
有少量新加内容内容划分的比较细，
B版：
选修4-2矩阵与变换及部分增加内容
有少量新加内容内容划分的比较细，
1.5
统计与概率
A版：
选修2-3第二章与第三章内容的拓展、深化
内容进行了拓展、深化
B版：
选修2-3第二章与第三章内容的拓展、深化
内容进行了拓展、深化
B
2
微积分
A版：
选修2-2第一章1.6节，1.7节内容的拓展、深化及部分增加内容
内容进行了拓展、深化及少量新加内容
B版:
选修2-2第一章1.6节，1.7节内容的拓展、深化及部分增加内容
内容进行了拓展、深化及少量新加内容
1
空间向量与代数
A版：
选修4-2矩阵与变换及部分增加内容
有少量新加内容
B版:
选修4-2矩阵与变换及部分增加内容
有少量新加内容
2
应用统讣
A版：
选修2-3第二章、第三章内容的拓展、深化及少量新加内容
内容进行了拓展、深化及少量新加内容
B版：
选修2-3第二章、第三章内容的拓展、深化及少量新加内容
内容进行了拓展、深化及少戢新加内容
1
模型
不能与某一知识点对应
不能与某一知识点对应
C
2
逻辑推理初步
不能与某一知识点对应
不能与某一知识点对应
2
数学模型
不能与某一知识点对应
不能与某一知识点对应
2
社会调查与数据分析
不能与某一知识点
对心
不能与某一知识点对应
D
1
美与数学
不能与某一知识点对2
不能与某一知识点对应
1
音乐中的数学
不能与某一知识点对应
不能与某一知识点对应
1
美术中的数学
不能与某一知识点
对2
不能与某一知识点对应
1
体育运动中的数学
不能与某一知识点
对2
不能与某一知识点对应
与现形课标对比，必修3中的“算法初步”删掉了:
删掉了必修5中的解三角形，不等式的大部分内容。
删掉了选修2-2中推理与证明。
删掉了选修4-1几何证明选讲
删掉了选修4-4坐标系与参数方程
删掉了选修4-5不等式选讲。
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