一元函数微分学练习题.docx

1、一元函数微分学练习题高等数学 ( ) 练习第二章一元函数微分学系专业班姓名学号习题一导数概念一填空题f (x0x)f ( x0 )f (x0 )1若 f ( x0 ) 存在，则 limx=,x 0f (x0 h)f ( x0h) 2 f (x0 )2若 f ( x0 ) 存在， limh=h 03设 f ( x0 )2x14, 则 limf (x0) )x 0 f (x0 2x). limf ( x0 3 x)f (x0 )3 f ( x0 )x=.x 04已知物体的运动规律为s tt2(米 )，则物体在t2 秒时的瞬时速度为5m/ s13)123( x)5曲线 ycos x 在 x处的切线方

2、程为y( xy22，法线方程为233336用箭头 ? 或 ? 表示在某一点处函数极限存在、连续、可导之间的关系，极限存在?连续?可导。二、选择题1设 f ( 0)0 ,且 f (0) 存在，则 lim f ( x) =Bx0x（ A ） f (x)( B) f(0)(C)f (0)1f ( 0)(D)22. 设 f ( x) 在 x 处可导， a , b 为常数，则f ( x a x)f ( x b x)Blimx=x 0a b（ A ） f (x)( B) (ab) f( x)(C)( ab) f(x)(D)f ( x)23. 函数在点 x0 处连续是在该点x0 处可导的条件B（ A ）充分

3、但不是必要（ B）必要但不是充分（ C）充分必要（D ）即非充分也非必要4设曲线 yx2x2 在点 M 处的切线斜率为3，则点 M 的坐标为B（ A ）(0,1)( B)(1, 0)(C) ( 0,0)(D)(1,1)5设函数 f ( x)| sin x | ，则f ( x) 在 x0 处B （ A）不连续。（ B）连续，但不可导。19(C) 可导，但不连续。 （ D）可导，且导数也连续。三、设函数 f (x)x 2x1f ( x) 在 x 1处连续且可导， a ，b 应取什么值。ax bx为了使函数1解：因为 f ( x)在 x1处连续，所以 f (1 )f (1 )f (1),f (1 )

4、lim x21f (1), f (1 )lim( ax b) ab, 所以 a b 1x 1x1因为 f ( x)在 x1处可导 , 所以 f(1)f (1)f (1)lim 2 x2, f (1)lim aa,x 1x 1所以 a2, b1四、如果f (x) 为偶函数，且f (0) 存在，证明 f (0) =0 。证 :因为 f ( x)为偶函数 , 所以 f ( x)f (x), 又因为f (0)lim f ( x)f (0)limf (x) f (0)limf ( x) f (0)f (0)x 0xx 0xx 0x而因为 f (0) 存在 ,故 f (0)f (0)f (0) ,所以 f

5、(0) =0.五、 证明：双曲线 xy a2 上任一点处的切线与两坐标轴构成三角形的面积为定值。证 : 设双曲线上的任意一点为( x0 , y0 ) ,则 x0 y0a2 ,又因 y xy 0 ,所以双曲线在该点的切线方程为yy0 (xx0 )y0 ,x0故它与两坐标轴的交点分别为(0, 2y 0 ) 和 (2 x0 ,0) ,所以三角形的面积 S1 (2 x0 ) (2 y0 )2x0 y02a2 为定值 .220高等数学 ( ) 练习 第二章 一元函数微分学系 专业 班级 姓名 学号习题二 求导法则（一）一、填空题1 y(2 secx) sin x ,2 ycos(2ex ) ， y =3

6、 rx log 2 xln 2,4. wln(secttan t) ,xy=tan2 x2cos x ; 1ye sin x ,y =cosxe sin x.2ex sin(2ex ) ;sin 2x ， y2x cos2xsin 2xy =x2.log 2 x1xcscrln 2ln tan，=;=2x21w =sect.yarccos(x2x) ， y1 ( x2x) 25.( 1x2 )1 x2;(1 x2C) =x.11 x216.ln( x1x2 )=1x2;(ln( x1x2 )C)=.1x2二、选择题1已知 y=sin xy=B，则x（ A ） xsin xcos x(B)x c

7、os xsin x(C)sin xx sin x(D) x3 cos xx 2 sin xx2x 2x 22.已知 y=sin x，则y =C1cos x（ A ） cos x1(B)1cos x(C)11(D)2cos x12cos x12cos x1cos x1cos x3.已知 ysecex ，则y= A（ A ） ex secex tan ex(B)secex tan ex(C)tan ex(D) ex cot ex4.已知 yln( x1x2 ) ，则 y=A （ A ）1(B)1x 2(C)x(D)x 211x 21 x2215.已知 yln cot x ，则y | =D x4（A

8、 ）1（ B）2（ C）1/ 2(D)26. 已知y1x ，则 y = B 1x（ A ）2(B)2(C)2x2x( x 1) 2(D)( x 1) 2(x 1)2(x 1)2三、计算下列函数的导数：(1)yln( 3x )3ln x(2) ytan(ln x)112121ysec2 (ln x) 11 sec2 (ln x)yx 3(ln x) 33 x33xxx21(1 (ln x) 3 )3xsin 2 13(3) uev(4 ) y sec (ln x)sin2 111121vy3sec (ln x)sec(ln x)tan(ln x)ue(2sincos (2 )xvvv312sin

9、 2 13sinvxsec (ln x) tan(ln x)2evv(5) y ln( x1 x2 )(6) y arctan1x1xy12( x1 x2 )y1(1 x) (1 x)1x1 x1x2(1 x) 21 x2112x()(1)1xx1x221 x21(1x)x1x21x2四、设 f ( x) 可导，求下列函数 y 的导数 dydx22（ 1） y f (sin x) sin f ( x)y f (sin x)cos x cos( f ( x) f (x)cos x f (sin x) f ( x)cos( f ( x)(2) yf (sin 2x)f (cos 2 x)yf (s

10、in 2 x)2sin x cos xf(cos2 x)(2cos x ( sin x)sin 2x( f (sin 2 x)f (cos2 x)高等数学 ( ) 练习 第二章 一元函数微分学系 专业 班级 姓名 学号习题三 求导法则（二）一、填空题：x1 ye 2cos3x ， y2 y1， yarccosx3 yarcsin 2sin x 12sin xxln xe 2 (1 cos3 x3sin 3x)1 ln 2 x ， yx 1 ln 2 x2；y11arctan xx x21；yearx tan x ， y2 x(1x) e， y3 cos x| cos x | (2sin x)4

11、设 y arctan exe2x，则 dye1ln1x 122e2 xdx1 ee 1x215设 y ( x e 2 ) 3 ，则 y |x 036设 f (x) 有连续的导数，f (0)0 ，且 f (0)f ( x)a sin x ,x0b ，若函数 F (x)xx0A ,在 x0处连续，则常数A =ab二、选择题：1设 yf ( x) ，则 y D（ A ） f ( x)（ B ） f ( x)（ C） f ( x)（D ） f ( x)2设周期函数f ( x) 在 (,) 可导，周期为 4,又 lim f (1)f (1x)1, 则曲线x 02xy f (x) 在点 ( 5, f (5

12、) 处的切线的斜率为D（A） 1（B） 0（C） 1（D） 2212x3. 已知yarctan，则y =C2x2111（ A ）1(B) 1x2(C)(D)x 21x 2x21234. 已知 yarcsin( x ln x) ，则y = C （ A ） ln x(B)x ln x(C)1ln x1 ( x ln x) 21 (x ln x)21 ( x ln x) 2(D)ln x 1三、已知yf3x2, f (x)arctan x2 ，求： dy|x 03x2dxyf(3x2 )( 3x2)arctan( 3x2) 2123x23x23x2(3x2) 2y|x03344四、设 x0时，可导函

13、数f (x) 满足： f ( x) 2 f ( 1 )3 ，求 f (x) ( x 0)13xxf ( x)2 f ()x1xf (2 f (x)3x)xf ( x)2x1xf(x)21( x0)x2五、已知(x)a f 2 ( x)，且 f( x)1，证明： ( x) 2 ( x)ln af ( x)( x)a f 2 ( x)(x)a f2 ( x) ln a2 f ( x)f ( x)a f 2 (x ) ln a 2 f ( x)12a f 2 ( x)2 ( x)ln a f ( x)六、证明：可导的奇函数的导数是偶函数。证：设 f ( x)是可导的奇函数，则两边同时对 x求导可得

14、: f ( x)f (f ( x) x) 24f ( x),所以 f ( x)是偶函数。高等数学 ()练习第二章一元函数微分学系专业班姓名学号习题四隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、填空题eyey1设 y 1 xey ，则 y =2 y 1 xey,2.设 rtan(r ) ，则 r=csc2 (r ),x 2y2arctan y ,则 y =xy3.设 lnxy,xcostsin txetsin t， dy |=3 2cost。4设et，则 dy = sin tycostdxyxdxt3二、选择题xy1.由方程 sin yxe y0 所确定的曲线 yy( x) 在（ 0， 0）点处的切线斜率为A（A） 1（B）1（C） 1（ D ）1222.设由方程 xy 22所确定的隐函数为yy(x) ，则 dy =Adx（ A ）y（ B）y（ C）yy2xx（ D ）12xdyx3.设由方程 x