一元函数微分学练习题.docx
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一元函数微分学练习题
高等数学（Ⅰ）练习
第二章
一元函数微分学
系
专业
班
姓名
学号
习题一
导数概念
一．填空题
f（x0
x）
f（x0）
f（x0）
1．若f（x0）存在，则lim
x
=
x0
f（x0h）
f（x0
h）2f（x0）
2．若f（x0）存在，lim
h
=
h0
3．设f（x0）
2
x
1
4
则lim
f（x0））
x0f（x02x）
.lim
f（x03x）
f（x0）
3f（x0）
x
=
.
x0
4．已知物体的运动规律为
st
t
2
（米），则物体在
t
2秒时的瞬时速度为
5m/s
1
3
）
1
2
3
（x）
5．曲线y
cosx在x
处的切线方程为
y
（x
y
2
2
，法线方程为
2
3
3
3
3
6．用箭头?
或?
表示在某一点处函数极限存在、连续、可导之间的关系，
极限存在
?
连续
?
可导。
二、选择题
1．设f（0）
0,且f（0）存在，则limf（x）=
[
B
]
x
0
x
（A）f（x）
（B）f
（0）
（C）
f（0）
1
f（0）
（D）
2
2.设f（x）在x处可导，a,b为常数，则
f（xax）
f（xbx）
[
B
]
lim
x
=
x0
ab
（A）f（x）
（B）（a
b）f
（x）
（C）
（a
b）f
（x）
（D）
f（x）
2
3.函数在点x0处连续是在该点
x0处可导的条件
[
B
]
（A）充分但不是必要
（B）必要但不是充分
（C）充分必要
（D）即非充分也非必要
4．设曲线y
x2
x
2在点M处的切线斜率为
3，则点M的坐标为
[
B
]
（A）（0,1）
（B）
（1,0）
（C）（0,0）
（D）
（1,1）
5．设函数f（x）
|sinx|，则
f（x）在x
0处
[
B]
（A）不连续。
（B）连续，但不可导。
19
（C）可导，但不连续。
（D）可导，且导数也连续。
三、设函数f（x）
x2
x
1
f（x）在x1处连续且可导，a，b应取什么值。
axb
x
为了使函数
1
解：
因为f（x）在x
1处连续，所以f
（1）
f
（1）
f
（1）,
f
（1）
limx2
1
f
（1）,f
（1）
lim（axb）a
b,所以ab1
x1
x
1
因为f（x）在x
1处可导,所以f
（1）
f
（1）
f
（1）
lim2x
2,f
（1）
lima
a,
x1
x1
所以a
2,b
1
四、如果
f（x）为偶函数，且
f（0）存在，证明f（0）=0。
证:
因为f（x）为偶函数,所以f（x）
f（
x）,又因为
f（0）
limf（x）
f（0）
lim
f（
x）f（0）
lim
f（x）f（0）
f（0）
x0
x
x0
x
x0
x
而因为f（0）存在,故f（0）
f（0）
f（0）,所以f
（0）=0.
五、证明：
双曲线xya2上任一点处的切线与两坐标轴构成三角形的面积为定值。
证:
设双曲线上的任意一点为
（x0,y0）,则x0y0
a2,又因yxy0,
所以双曲线在该点的切线方程为
y
y0（x
x0）
y0,
x0
故它与两坐标轴的交点分别为
（0,2y0）和（2x0,0）,
所以三角形的面积S
1（2x0）（2y0）
2x0y0
2a2为定值.
2
20
高等数学（Ⅰ）练习第二章一元函数微分学
系专业班级姓名学号
习题二求导法则
（一）
一、填空题
1
．y
（2secx）sinx,
2．y
cos（2ex），y=
3
．r
xlog2x
ln2,
4.w
ln（sect
tant）,
x
y
=
tan2x
2cosx;1
yesinx,
y=
cosxesinx
.
2exsin（2ex）;
sin2x，y
2xcos2x
sin2x
y=
=
x2
.
log2x
1
x
csc
r
ln2
lntan
，
=
;
=
2x
2
1
w=
sect
.
y
arccos（x
2
x），y
1（x2
x）2
5.
（1
x2）
1x2
;
（
1x2
C
）=
x
.
1
1x2
1
6.
[ln（x
1
x2）]
=
1
x2
;
（
ln（x
1
x2）
C
）
=
.
1
x2
二、选择题
1．已知y=
sinx
y
=
[
B
]
，则
x
（A）xsinx
cosx
（B）
xcosx
sinx
（C）
sinx
xsinx
（D）x3cosx
x2sinx
x2
x2
x2
2.
已知y=
sinx
，则
y=
[
C
]
1
cosx
（A）cosx
1
（B）
1
cosx
（C）
1
1
（D）
2cosx
1
2cosx
1
2cosx
1
cosx
1
cosx
3.
已知y
secex，则
y
=
[A
]
（A）exsecextanex
（B）
secextanex
（C）
tanex
（D）excotex
4.
已知y
ln（x
1
x2），则y
=
[
A]
（A）
1
（B）
1
x2
（C）
x
（D）
x2
1
1
x2
1x2
21
5.
已知y
lncotx，则
y|=
[D]
x
4
（A）1
（B）2
（C）
1/2
（D）2
6.已知
y
1
x，则y=
[B]
1
x
（A）
2
（B）
2
（C）
2x
2x
（x1）2
（D）
（x1）2
（x1）2
（x1）
2
三、计算下列函数的导数：
（1）
y
ln（3
x）
3
lnx
（2）y
tan（lnx）
1
1
2
1
2
1
y
sec2（lnx）1
1sec2（lnx）
y
x3
（lnx）3
3x
3
3
x
x
x
2
1（1（lnx）3）
3x
sin21
3
（3）u
e
v
（4）ysec（lnx）
sin
21
1
1
1
2
1
v
y
3sec（lnx）sec（lnx）
tan（lnx）
u
e
（
2sin
cos（
2））
x
v
v
v
3
1
2
sin21
3
sin
v
x
sec（lnx）tan（lnx）
2
e
v
v
（5）yln（x
1x2）
（6）yarctan
1
x
1
x
y
1
2
（x
1x2）
y
1
（1x）（1x）
1
x
1x
1
x
2
（1x）2
1x2
1
1
2x
（
）
（1
）
1
x
x
1
x2
2
1x2
1
（1
x
）
x
1
x2
1
x2
四、设f（x）可导，求下列函数y的导数dy
dx
22
（1）yf（sinx）sin[f（x）]
yf（sinx）cosxcos（f（x））f（x）
cosxf（sinx）f（x）cos（f（x））
（2）y
f（sin2
x）
f（cos2x）
y
f（sin2x）2sinxcosx
f
（cos2x）（2cosx（sinx））
sin2x（f（sin2x）
f（cos2x））
高等数学（Ⅰ）练习第二章一元函数微分学
系专业班级姓名学号
习题三求导法则
（二）
一、填空题：
x
1．y
e2
cos3x，y
2．y
1
，y
arccos
x
3．y
arcsin2sinx1
2
sinx
x
lnx
e2（1cos3x
3sin3x）
1ln2x，y
x1ln2x
2
；
y
1
1
arctanx
xx2
1
；
y
earxtanx，y
2x（1
x）e
，y
3cosx
|cosx|（2
sinx）
4．设yarctanex
e
2x
，则dy
e
1
ln
1
x1
2
2
e2x
dx
1e
e1
x
2
1
5．设y（xe2）3，则y|x0
3
6．设f（x）有连续的导数，
f（0）
0，且f（0）
f（x）
asinx,
x
0
b，若函数F（x）
x
x
0
A,
在x
0处连续，则常数
A=
a
b
二、选择题：
1．设y
f（x），则y
[D
]
（A）f（x）
（B）f（x）
（C）f（x）
（D）f（x）
2．设周期函数
f（x）在（
）可导，周期为4,
又limf
（1）
f（1
x）
1,则曲线
x0
2x
yf（x）在点（5,f（5））处的切线的斜率为
[
D
]
（A）1
（B）0
（C）1
（D）2
2
1
2x
3.已知
y
arctan
，则
y=
[
C
]
2
x2
1
1
1
（A）
1
（B）1
x2
（C）
（D）
x2
1
x2
x
2
1
23
4.已知y
arcsin（xlnx），则
y=
[C]
（A）lnx
（B）
xlnx
（C）
1
lnx
1（xlnx）2
1（xlnx）2
1（xlnx）2
（D）
lnx1
三、已知
y
f
3x
2
f（x）
arctanx
2，求：
dy
|x0
3x
2
dx
y
f
（3x
2）
（3x
2）
arctan（3x
2）2
12
3x
2
3x
2
3x
2
（3x
2）2
y
|x
0
3
3
4
4
四、设x
0
时，可导函数
f（x）满足：
f（x）2f
（1）
3，求f（x）（x0）
1
3
x
x
f（x）
2f（
）
x
1
x
f（
2f（x）
3x
）
x
f（x）
2x
1
x
f
（x）
2
1
（x
0）
x2
五、已知
（x）
af2（x）
，且f
（x）
1
，证明：
（x）2（x）
lna
f（x）
（x）
af2（x）
（x）
af
2（x）lna
2f（x）
f（x）
af2（x）lna2f（x）
1
2af2（x）
2（x）
lnaf（x）
六、证明：
可导的奇函数的导数是偶函数。
证：
设f（x）是可导的奇函数，则
两边同时对x求导可得:
f（x）
f（
f（x）x）24
f（x）,
所以f（x）是偶函数。
高等数学（Ⅰ）练习
第二章
一元函数微分学
系
专业
班
姓名
学号
习题四
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
一、填空题
ey
ey
1．设y1xey，则y=
2y1xey
2.
设r
tan（
r），则r
=
csc2（
r）
x2
y2
arctany,则y=
x
y
3.
设ln
x
y
x
cost
sint
x
et
sint
，dy|
=32
cost
。
4．设
et
，则dy=sint
y
cost
dx
y
x
dx
t
3
二、选择题
x
y
1.
由方程siny
xey
0所确定的曲线y
y（x）在（0，0）点处的切线斜率为
[
A
]
（A）1
（B）1
（C）1
（D）
1
2
2
2.
设由方程xy2
2所确定的隐函数为
y
y（x），则dy=
[
A
]
dx
（A）
y
（B）
y
（C）
y
y
2x
x
（D）
1
2x
dy
x
3.
设由方程x
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