第一章《一元二次方程》竞赛拔尖题.docx

1、第一章一元二次方程竞赛拔尖题第一章一元二次方程竞赛拔 尖题1、若关于x的方程x2 2ax 7a 10 0没有实根，那么 ( )必有实根的方程是A.2ax3a 2 0B.2ax5a 6 0C.2ax10a 21 0D.2ax2a 3 0若关于x的一元二次方程(b c)x2 (a b)x c a 0有 两个相等的实数根，则 a、b、c之间的关系是(A.2、a、C.)专 B.b牙-b D a b c 02若X 2是关于x的方程X2 X a23、则a的值为5 0的一个根，3 24、已知x2 5x 2016 0，那么(x 2) ( “ 1的值为5、 满足(n2 n 1)n2 1的整数n有 个6、 设整数

2、a使得关于x的一元二次方程5x2 5ax 26a 143 0的两个根都是整数，则 a的值是7、设a、b是整数，方程x2 ax b 0的一根是7773， 求a+b的值8、 解方程:(y 4)( y 3)( y 2)(y 1) 1 09、 求方程x2 12x 5 5厂矿9的实数根的和与积10、一个批发兼零售的文具店规定： 凡一次购买 铅笔301支以上(包括301支)可以按批发价付 款；购买300支以下(包括300支)只能按零售 价付款，现有小王购买铅笔，如果给初三年级学生 每人买1支，只能按零售价付款，需用(m2-1)元,(m为正整数,且m2-1 100)如果多买60支, 则可按批发价付款，同样需

3、用(m2-1)元(1)设初三年级共有x名学生，则x的取值范围 是多少？铅笔的零售价每支多少元 ？批发价每支 应为多少元？(用含x、m的代数式表示)(2)若按批发价每购15支与按零售价每购15 支少一元,试求初三年级共有多少学生 ？并确定 m的值11、 设等腰三角形的一腰与底边长分别是方程 x2 6x a 0的量根，当这样的三角形只有一个时， 求实数a的取值范围12、 已知3个不同的实数a、b、c满足a-b+c=3， 方程x2 ax 1 0和x2 bx c 0有一个相同的实根，方程 x2 x a 0和x2 cx b 0也有一个相同的实根求a、b、 c的值.13、已知在关于x的分式方程三和一元二次

4、 方程(2 - k) x2+3mx+ (3 - k) n=0中，k、m、 n均为实数，方程的根为非负数.(1)求k的取值范围；(2)当方程有两个整数根XI、X2, k为整数， 且k=m+2， n=1时，求方程的整数根；(3)当方程有两个实数根Xi、X2，满足X1(X1 -k) +X2 (X2 - k) = (Xi - k) (X2 - k),且 k 为 负整数时，试判断|m| w是否成立？请说明理由.参考答案:1、 A2、 C3、 74、 20205、 46、 187、09、 两根之和为12,两根之积为4010、不难知道,x的取值范围应为240v x 300(x 为正整数);铅笔的零售价每支应

5、为 m2-1/x元； 铅笔的批发价每支应为 m2-1/x+60元.(2)从给出条件可得到如下等式：15*(m2-1)/x 15 *(m2-1)/x+60 = 1.整理后，得x2 + 60x 900(m2 1)= 0.解得 x1 = 30(m 1),或 x2 = 30(m 1)(不合 题意，舍去).怎样去求x与m的值呢？首先应当注意已获得的 等式和不等式,即 240v x 300; x = 30(m 1)从上式可见，求x、m的值,只要能确定其中的一 个值即可,则240V 30(m 1) 300 8 V m 1W 109v m 100,此时 x = 300 经检验x = 300是所列方程的根.11

6、、 a=9 或 0v a0且 x 工 1又.x=0且弓工1解得k - 1且k工1又一元二次方程(2- k) x2+3mx+ (3- k) n=0 中2-k工0k工2综上可得：k - 1且k工1且k工2(2)一元二次方程(2 - k) x2+3mx+ (3 - k) n=0有两个整数根X1、X2,且k=m+2, n=1时，把k=m+2, n=1代入原方程得：-mx2+3mx+ (1 - m) =0,即：mx2 - 3mx+m - 1=0,/. 0 即= ( 3m) 2 - 4m (m - 1),且 m0:, =9m2- 4m ( m- 1) =m (5m+4),t X1、X2是整数，k、m都是整

7、数，T X1+X2=3， X1?(2二珂丄=1 -，.1 -丄为整数，ID/. m=1 或-1,把m=1代入方程 mx2 - 3mx+m - 1=0得：x2-3x+1 - 1=0,x2 - 3x=0,x (x - 3) =0,X1=0, X2=3 ；把 m= - 1 代入方程 mx2 - 3mx+m - 1=0 得：- x2+3x - 2=0,x2 - 3x+2=0,(X - 1) (x - 2) =0,X1=1, X2=2；(3) |m| w不成立，理由是：由(1)知：k- 1且k工1且k工2 k是负整数，二 k= - 1,(2 - k) x2+3mx+ (3 - k) n=0且方程有两个实 数根XI、X2, X1+X2=为=加=m X1X2 _人 2-k k-2 HI,入 2 2-k 3，xi (xi k) +X2 (X2 k) = ( xi k) (X2 k),2 2 2xi2 xi k+X22 X2k=xiX2 xik X2k+k2,2 2 2Xi +X2 FlX2+k ,(Xi+X2)2 2XiX2 XiX2=k2,(Xi+X2) 2 3XiX2=k2,(m) 2 34 = ( i) 2,m2 4=i,m2=5,m=, |m| w不成立.