第一章《一元二次方程》竞赛拔尖题.docx
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第一章《一元二次方程》竞赛拔尖题
第一章《一元二次方程》竞赛拔尖题
1、若关于x的方程x22ax7a100没有实根，那么（）
必有实根的方程是
A.
2ax
3a20
B.
2ax
5a60
C.
2ax
10a210
D.
2ax
2a30
若关于x的一元二次方程（bc）x2（ab）xca0有两个相等的实数根，则a、b、c之间的关系是
（
A.
2、
a、
C.
）
专B.b牙
-~~bDabc0
2
若X2是关于x的方程X2Xa2
3、
则a的值为
50的一个根，
32
4、已知x25x20160，那么（x2）（[“1的值为
5、满足（n2n1）n21的整数n有个
6、设整数a使得关于x的一元二次方程
5x25ax26a1430的两个根都是整数，则a的值是
7、设a、b是整数，方程x2axb0的一根是77^73，求a+b的值
8、解方程:
（y4）（y3）（y2）（y1）10
9、求方程x212x55厂矿9的实数根的和与积
10、一个批发兼零售的文具店规定：
凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款，现有小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，只能按零售价付款，需用（m2-1）元,
（m为正整数,且m2-1>100）如果多买60支,则可按批发价付款，同样需用（m2-1）元
（1）设初三年级共有x名学生，则x的取值范围是多少？
铅笔的零售价每支多少元？
批发价每支应为多少元？
（用含x、m的代数式表示）
（2）若按批发价每购15支与按零售价每购15支少一元,试求初三年级共有多少学生？
并确定m的值
11、设等腰三角形的一腰与底边长分别是方程x26xa0的量根，当这样的三角形只有一个时，求实数a的取值范围
12、已知3个不同的实数a、b、c满足a-b+c=3，方程x2ax10和x2bxc0有一个相同的实根，方程x2xa0和x2cxb0也有一个相同的实根■求a、b、c的值.
13、已知在关于x的分式方程三①和一元二次方程（2-k）x2+3mx+（3-k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数.
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根XI、X2,k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根Xi、X2，满足X1（X1-k）+X2（X2-k）=（Xi-k）（X2-k）,且k为负整数时，试判断|m|w是否成立？
请说明理由.
参考答案:
1、A
2、C
3、7
4、2020
5、4
6、18
7、0
9、两根之和为—12,两根之积为—40
10、
⑴不难知道,x的取值范围应为
240vx<300（x为正整数）;
铅笔的零售价每支应为m2-1/x元；铅笔的批发价每支应为m2-1/x+60元.
（2）从给出条件可得到如下等式：
15*（m2-1）/x—15*（m2-1）/x+60=1.
整理后，得
x2+60x—900（m2—1）=0.
解得x1=30（m—1）,或x2=—30（m—1）（不合题意，舍去）.
怎样去求x与m的值呢？
首先应当注意已获得的等式和不等式,即
①240vx<300;
②x=30（m—1）
从上式可见，求x、m的值,只要能确定其中的一个值即可,则
240V30（m—1）<300
「・8Vm—1W10
9vm<11
再考虑m为正整数，故m=10或m=11.
又因m=10时,m2—1=99V100,不合题意应舍
去.当m=11时,m2—1=120>100,此时x=300经检验x=300是所列方程的根.
11、a=9或0va<8
12、a=—2,b=—3,c=2
13、
（1）•••关于x的分式方程壬卜的根为非负数，
二x>0且x工1
又・.・x=^>0且弓工1
・•・解得k>-1且k工1
又・•一元二次方程（2-k）x2+3mx+（3-k）n=0中2-k工0
…k工2
综上可得：
k>-1且k工1且k工2
（2）・•一元二次方程（2-k）x2+3mx+（3-k）n=0有两个整数根X1、X2,且k=m+2,n=1时，
・••把k=m+2,n=1代入原方程得：
-mx2+3mx+（1-m）=0,即：
mx2-3mx+m-1=0,
/.△>0即△=（—3m）2-4m（m-1）,且m^0
:
△=9m2-4m（m-1）=m（5m+4）,
tX1、X2是整数，k、m都是整数，
TX1+X2=3，X1?
（2二珂丄=1--，
.•・1-丄为整数，
ID
/.m=1或-1,
・••把m=1代入方程mx2-3mx+m-1=0得：
x2
-3x+1-1=0,
x2-3x=0,
x（x-3）=0,
X1=0,X2=3；
把m=-1代入方程mx2-3mx+m-1=0得：
-x2+3x-2=0,
x2-3x+2=0,
（X-1）（x-2）=0,
X1=1,X2=2；
（3）|m|w不成立，理由是：
由
（1）知：
k>-1且k工1且k工2
•・•k是负整数，
二k=-1,
（2-k）x2+3mx+（3-k）n=0且方程有两个实数根XI、X2,
「・X1+X2=—为=加=—mX1X2_
人2-kk-2HI,入％22-k3，
xi（xi—k）+X2（X2—k）=（xi—k）（X2—k）,
222
xi2—xik+X22—X2k=xiX2—xik—X2k+k2,
222
Xi+X2FlX2+k,
（Xi+X2）2—2XiX2—XiX2=k2,
（Xi+X2）2—3XiX2=k2,
（—m）2—34=（—i）2,
m2—4=i,
m2=5,
m=±,
•••|m|w不成立.
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